ಪೈ

π (ಪೈ) ಒಂದು ಗಣಿತೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ. ಇದರ ಮೊತ್ತ ೩.೧೪೧೫೯೨೬೫. ಮಾರ್ಚ್ ೧೪ (೩/೧೪) ಅನ್ನು ಪೈ ದಿನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗ್ರೀಕ್‍ನ ಅಕ್ಷರ π ನಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪೈ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರ ಮೊತ್ತ ೨೨/೭ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂದಾಜು; ಹಾಗೂ ಇದರ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವ ಎಂದಿಗೂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಮರುಕಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪೈ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಾನುಗತಿಯಿಂದ ತೋರಿಸಲು ಸಾದ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಇದಕ್ಕೆ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಲ್ಯೂಡೋಲ್‌ಫಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಹೆಸರುಗಳೂ ಇವೆ. ಗಣಿತದ ಮೂಲಪಾಠಗಳ ಪರಿಚಯವಿರುವವರೆಲ್ಲರಿಗೂ π ಯ ಮೌಲ್ಯ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ 22/7 ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ π ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

π = 3.141 592 653 589 793 238 384 622 643 383 279 950 2...........

ಪ್ರಕೃತ ಗಣಕದ ನೆರವಿನಿಂದ ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಲಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಇತಿಹಾಸದ ಪುಟಗಳನ್ನು ತೆರೆದು ನೋಡಿದಾಗ ಅಂಗೀಕೃತ π ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಈ ಮೌಲ್ಯ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಕುಶಲ ಕರ್ಮಿಗಳು ತಮ್ಮ ನೈಪುಣ್ಯ ಸಿದ್ಧಿಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆಂಬುದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಕ್ರಗಳ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತನಾಗಿದ್ದ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದ π ಯ ಮೌಲ್ಯ 3.14 ಮತ್ತು 3.142 ರ ನಡುವಿನದು. ಯಂತ್ರಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತನಾಗಿದ್ದ ಚೀನದ ಟ್ಸು ಚುಂಗ್ ಚಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಮೌಲ್ಯ 3.1415926 ಮತ್ತು 3.1415927ಗಳು ನಡುವಿನದು. ಅನೇಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ಕುಶಲಕರ್ಮಿಗಳು, ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಯಂತ್ರಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಹಿಂದಿನಿಂದ ಬಳಸುತ್ತ ಬಂದಿರುವ π ಯ ಹಲವಾರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.

ವಿಜ್ಞಾನಿಯ ಹೆಸರು	ದೇಶ	ಕಾಲ	ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದ π ಮೌಲ್ಯ
	ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯರು ಹೀಬ್ರೂಗಳು ಮತ್ತು ಚೀನೀಯರು	ಕ್ರಿ. ಪೂ 1500 ಕ್ಕೂ ಹಿಂದೆ	3
	ಈಜಿಪ್ಟ್	1500	3.16
ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್	ಗ್ರೀಸ್	240	3.14 ಮತ್ತು 3.142 ಗಳ ನಡುವೆ
ಲಿಯಹ್ಸಿಂಗ್	ಚೀನ	ಕ್ರಿಶ 25	3.16
ಟಾಲೆಮಿ	ಗ್ರೀಸ್	90-168	3.1415929
ವಾಂಗ್ ಫನ್	ಚೀನ	250	3.15
ಆರ್ಯಭಟ	ಭಾರತ	450	3.1416
ಟ್ಸುಚಿಂಗ್‌ಚ್ಹಿ	ಚೀನ	480	3.1415926 ಮತ್ತು 3.1415927
ಮಹಮದ್ ಇಬ್ನಮೂಸ	ಅರೇಬಿಯ		22/7
ಅಲ್‌ಕಾಶಿ	ಅರೇಬಿಯ	1430	3.141 592 635 897 932
ವೀಟಾ	ಫ್ರಾನ್ಸ್	1593	3.141 592 635 7 ಮತ್ತು 3.14 592 635 5ಗಳ ನಡುವೆ
ಸ್ಯೂಲೆನ್	ಜರ್ಮನಿ	1610	ಅಸಂಖ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ
ವಾಲಿಸ್	ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್	1654	35 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ
ಗ್ರೆಗೊರಿ	ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್	1668	ಅಸಂಖ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ
ಟಕೆಬೆ	ಜಪಾನ್	1690	ಅಸಂಖ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ
ಮಟ್ಸುನಾಗಾ	ಜಪಾನ್	1720	50 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವೆರೆಗೆ

ಇಷ್ಟು ವಿವಿಧ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ, ನಿಷ್ಕರ್ಷೆಯಾದ ಬೆಲೆ ಯಾವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಕುಶಲ ಕರ್ಮಿಗಳು ತಮ್ಮ ಪರಿಕರಗಳ ರಚನೆಗೆ ಯುಕ್ತವಾಗುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ.

π ಯ ಅಪರಿಮೇಯತೆ ಮತ್ತು ಅಬೀಜೀಯತೆ

ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಡನಿಗಿಂತಲೂ ಹಿಂದಿನಿಂದ ಬೆಳೆದುಬಂದಿದ್ದ ಭಾವನೆಯಂತೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖಾಕೃತಿಯ ರಚನೆಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಸಲಕರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಕೈವಾರ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚು. ಇವುಗಳಿಂದ ಸಾಧ್ಯವೆನಿಸಿದ ಕೆಲವು ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಗಳು ಅಂದಿನ ವಿದ್ವಾಂಸರಿಗೆ ಸವಾಲಾಗಿದ್ದುವು. ಅವೆಂದರೆ

(a) ವೃತ್ತದ ಸಲೆಯಷ್ಟೇ ಸಲೆಯಿರುವ ಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು (ವೃತ್ತದ ಚೌಕೀಕರಣ);

(b) ದತ್ತ ಕೋನವನ್ನು ಸಮ ತ್ರಿಭಾಗಿಸುವುದು (ಕೋನ ತ್ರಿಭಾಜನ);

(c) ದತ್ತ ಘನದ ಎರಡರಷ್ಟು ಗಾತ್ರವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಘನವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು (ಘನದ ದ್ವಿಗುಣನ).

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ. 1 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಲೆ π ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. π ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಸಲೆ ಇರುವ ಚೌಕದ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ${\sqrt {\pi }}$ ಸೆಂ.ಮೀ. ಆಗಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಡಿನ ಕ್ರಮದಂತೆ, ಕೈವಾರ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚುಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ${\sqrt {\pi }}$ ಯ ರಚನೆಯಾಗಬೇಕು. ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳಷ್ಟು ಕಾಲ ಕಳೆದರೂ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.

p ಮತ್ತು q ಎಂಬ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ (q#o), p/q ಎಂಬ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ (ಪರಿಮೇಯ) ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಂಥ ನಿರೂಪಣೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ (ಅಪರಿಮೇಯ) ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ${\sqrt {2}}$ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. π ಕೂಡ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ 1768 ರಲ್ಲಿ ಶೋಧಿಸಿದ್ದ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಡನ ಕ್ರಮದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ರಚಿಸಬೇಕಾದಲ್ಲಿ, ಅಂಥ ಸಂಖ್ಯೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ

$\alpha _{0}x^{n}+\alpha _{1}x^{n-1}+\cdots +\alpha _{n}=0$

ಎಂಬ ಬೀಜೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಬೀಜೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆ ಅಸಾಧ್ಯ. π ಒಂದು ಅಬೀಜೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಂಡ್‌ಮನ್ 1882 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ. ಆದ್ದರಿಂದ π ಅಥವಾ ${\sqrt {\pi }}$ ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂದಂತಾಯಿತು. ಈ ಸತ್ಯ ಬೆಳಕಿಗೆ ಬಂದ ಬಳಿಕ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಕಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಗೆಹರಿಯಿತು.

ಮೂಲಸೂತ್ರಗಳು

ವಿವರಣೆ

ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್, ಪೈ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ ಗಣಿತಜ್ಞ

$\pi ={\frac {C}{d}}$

$C$ ಯೆಂದರೆ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ

$d$ ಯೆಂದರೆ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ

C/d ಎಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಗಳಿಗೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪೈ ನ ವಿವರಣೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದರ ವಿವರಣೆ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ಪೈಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇಚ್ಛಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಪೈ ಹೆಸರಿನ ಇತಿಹಾಸ

ವಿಲಿಯಮ್ ಜೋನ್ಸ್ ಪೈ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಇವರು ಇದನ್ನು ೧೭೦೬ ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಪರಿಚಯ ಎಂಬ ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದರು. ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಳತೆ ಪದದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಪೈ ಅಗಿದ್ದರ ಕಾರಣವಾಗಿ, ಜೋನ್ಸ್ ರವರು ಪೈ ಪದದ ಬಳಕೆ ಮಾಡಿದರು ಎಂದು ಕೆಲವರು ಹೇಳುವರು. ಜೋನ್ಸ್ ಪೈ ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರಾದರೂ, ಬಹುಪಾಲು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ೧೭೩೬ ನೆ ಇಸವಿಗೂ ಮುಂಚೆ c ಅಥವಾ p ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಆದರೆ ೧೭೩೬ ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಪೈ ನ ಬಳಿಕೆಯನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು.

ಗುಣಗಳು

ಪೈ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ತೋರಿಸಲು ಸಾದ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪೈ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ರಿಡಕ್ಟಿಯೊ ಅಡ್ ಅಬ್ಸರ್ಡಮ್ ಎಂಬ ತಂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪೈ ನ ಅಪರಿಮೇಯತಾ ಅಳತೆ ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿದು ಬಂದಿಲ್ಲ; ಅಂದಾಜಾಗಿ ಅಪರಿಮೇಯತಾ ಅಳತೆಯ ಮೊತ್ತ e ಮತ್ತು ln 2 ರ ಅಳತೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು ಲ್ಯೂವೀಲ್ ಸಂಖೆಗಳ ಅಳತೆಗಿಂತ ಕಮ್ಮಿಯಿದೆಯೆಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಪೈ ಬೀಜಗಣಿತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಮೇಯ ಗುಣಾಂಕವುಳ್ಳ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಲ್ಲದ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ${\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0$ ಯಂಥವಕ್ಕೆ ಪೈ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೌಲ್ಯನಿರ್ಧಾರ

ಕ್ರಿ.ಪೂ. 240ಕ್ಕೆ ಹಿಂದೆ ಮತ್ತು ತರುವಾಯದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ π ಯ ಮೌಲ್ಯನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ತರ್ಕದ ಬೆಂಬಲವಿರಲಿಲ್ಲ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‍ನ ಸಾಧನೆ

ಕ್ರಿ.ಪೂ. 287 ರಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸಿ ನೇರ ಅಂಚು, ಕೈವಾರ ಮತ್ತು ಮಣಿಚೌಕಟ್ಟುಗಳೇ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದ ಸರ್ವಮಾನ್ಯ ಪರಿಕರಗಳಾಗಿದ್ದ ವೃತ್ತವೊಂದರ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸಗಳ ದಾಮಾಶಯ 22/7 ಮತ್ತು 223/71 ರ ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದ. ಈ ಸಾಧನೆಗೆ ಬಳಸಿದ ಕ್ರಮವನ್ನಿಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ.

C ಒಂದು ವೃತ್ತ. ಇದರ ತ್ರಿಜ್ಯ r ಮತ್ತು S ಪರಿಧಿ. S=2πr. C ಒಳವೃತ್ತದ್ದಾಗಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಸಮ_n- ಭುಜವನ್ನೂ ಪರಿವೃತ್ತವಾಗಿರುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮ_n- ಭುಜವನ್ನೂ ರಚಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿನದರ ಭುಜದ ಉದ್ದ d_n ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರ ಭುಜದ ಉದ್ದ d'_n ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

nd_n > S

nd'_n < S

ಅಥವಾ nd'_n < S < nd_n

ಎಂಬವು ಫಲಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ n ಅನಂತಗಾಮಿಯಾದಾಗ (tends to infinity) d_n ಹಾಗೂ d'_n ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ (tends to zero) ಆಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತಿಯಲ್ಲಿ nd_n ಬಲದಿಂದಲೂ nd'_n ಎಡದಿಂದಲೂ ಬಂದು S ನೊಡನೆ ಐಕ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$n\xrightarrow {\lim } \infty \ nd_{n}\xrightarrow {\lim } \infty \ nd_{n}=S=2\pi r$

ಅಥವಾ $n\tan {\frac {360}{2n}}>\pi >n\sin {\frac {360}{2n}}$

ಆದ್ದರಿಂದ $n\xrightarrow {\lim } \infty \ n\tan {\frac {360}{2n}}=n\xrightarrow {\lim } \infty \ n\sin {\frac {360}{2n}}=\pi$

n ಗೆ ವಿವಿಧ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವುದರ ಮೂಲಕವಾಗಿ π ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ

ಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n	$n\tan {\frac {360}{2n}}$	${\frac {1}{x-1}}$	π ಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ	ಸೇಕಡಾ ತಪ್ಪು
      3	         2.598	        5.196	      3.9                   24
      4	         2.828	          4	      3.41	            8.5
      6	           3	        3.464	      3.23	            2.8
      8	         3.062	        3.314	      3.19	            1.5
     12	         3.106	        3.215	      3.16	            0.3
     18	         3.125	        3.17	      3.15	            0.03
     36	         3.139	        3.15	      3.144	            0.07

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್, ಈ ತತ್ತ್ವವನ್ನು 96 ಭುಜಗಳ ಆಕೃತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ π ಮೌಲ್ಯ $3{\frac {10}{71}}$ ಮತ್ತು $3{\frac {1}{7}}$ ನಡುವೆ ಇದೆಯೆಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದನೆಂದು ಇತಿಹಾಸದ ಆಧಾರಗಳು ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ.

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನ ಸಾಧನೆ

ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಖಗೋಳ ವೀಕ್ಷಣಾಲಯದಲ್ಲಿ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಅನಂತರ ಮುಖ್ಯಸ್ಥನಾಗಿದ್ದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ (ಜನನ ಕ್ರಿ. ಶ. 1114) ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ π ಬೆಲೆಯನ್ನು 384 ಭುಜಗಳ ಬಹುಭುಜದಿಂದ ಗಣಿಸಿ ಅದು 3.141666 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪೈಕಿ ನಿಖರವಾದುದು 3927/1260. ನಿಖರತೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಲ್ಲದ ಉಪಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ${\sqrt {10}}$.

ಜಪಾನ್ ಮತ್ತು ಯೂರೋಪ್‍ನಲ್ಲಿ

1700 ರಲ್ಲಿ ಜಪಾನ್ ಮತ್ತು ಯೂರೊಪಿನ ಹಲವಾರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅನೇಕ ಚಿಕ್ಕಚಿಕ್ಕ ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಆಯತಗಳ ಸಲೆಯನ್ನು ಶೋಧಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ π ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕ್ರಮ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ಆಯತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೂ π ಮೌಲ್ಯ ಉತ್ತಮವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಜಪಾನಿನ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮಟ್ಸುನಾಗ ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ π ಬೆಲೆಯನ್ನು ಐವತ್ತು ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಶೋಧಿಸಿದ್ದ. 1960 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಕೊಮೆಟಾ-ಡಿ-ಬಫನ್ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ. ಸುಲಭ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ π ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೋಧಿಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದ. π ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡುವ ಈ ಸಣ್ಣ ಸುಲಭ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಅವಶ್ಯಕವಾದುದು ಲೇಖನಿ, ಬಿಳಿ ಕಾಗದ ಮತ್ತು ಗುಂಡು ಸೂಜಿ (ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಯಾದರೂ ಆಗಬಹುದು). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗುಂಡುಸೂಜಿಯ ಉದ್ದದ ಎರಡರಷ್ಟು ಅಂತವಿರುವ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬೇಕು. ಬಿಳಿ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇಟ್ಟು ಸೂಜಿಯನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವಂತೆ ಹಾಕಿದಾಗ ಸೂಜಿ ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಸೂಜಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗಲೂ ಛೇದಿಸಿದೆ ಎಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಇದೇ ರೀತಿ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾಕಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಗುರುತಿಸೋಣ. ಅನಂತರ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಬಾರಿ ಹಾಕಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಅದು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ದಾಮಾಶಯವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದರೆ, ಅದು π ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೂಜಿಯನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಹಾಕಿದ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ π ಮೌಲ್ಯವೂ ನಿಖರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ತತ್ತ್ವದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಒಂದು ಕ್ರಮ

ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ತತ್ತ್ವದ ಮೇಲೆಯೇ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸುಲಭ ಕ್ರಮದಿಂದಲೂ π ಮೌಲ್ಯದ ನಿರ್ಧಾರ ಸಾಧ್ಯ. 1 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಲೆ π ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ವೃತ್ತ ಪಾದದ (quadrant) ಸಲೆ ಠಿ/4 ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಬಾಹುವಾಗಿ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ರಚಿಸಿರುವ ಚೌಕದ ಸಲೆ 1 ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಈ ವೃತ್ತ ಪಾದದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಯಮರಹಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ಎರಡರ ಸಲೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಲೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚೌಕದಲ್ಲಿ 200 ಬಿಂದುಗಳಿದ್ದರೆ

ವೃತ್ತ ಪಾದದಲ್ಲಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $={\frac {\pi /4}{1}}=\pi /4$

200

4 x ವೃತ್ತ ಪಾದದಲ್ಲಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಆದ್ದರಿಂದ π = 200

ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಂದ ಮೌಲ್ಯನಿರ್ಧಾರ

π ಯ ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು ಕುತೂಹಲಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮುಖ್ಯವಾದವು ಇವು;

(i) ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdots$

(ii) ${\frac {v}{(v-2)(v-1)^{2}}}$

(iii) $\pi =4\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots \right)$

(iv) $\pi =2\cdot 2\left({\frac {2\cdot 4}{3\cdot 3}}\right)\left({\frac {4\cdot 6}{5\cdot 5}}\right)\left({\frac {6\cdot 8}{7\cdot 7}}\right)\cdots$

(v) $\pi =2{\sqrt {3}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots \right)$

ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಮೂಲಗಳು

• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Retrieved 5 June 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2 ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Schepler, Herman C. (1950). "The Chronology of PI". Mathematics Magazine. 23 (3): 165–170. doi:10.2307/3029284. ISSN 0025-570X. JSTOR 3029284..
• Volkov, Alexeï (1997). "Zhao Youqin and his calculation of π". Historia Mathematica. 24 (3): 301–331. doi:10.1006/hmat.1997.2163. MR 1470103..
• Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). The Number π. Translated by Wilson, Stephen. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2. English translation of Autour du nombre π (in ಫ್ರೆಂಚ್). Hermann. 1999.