ಬೈಜಿಕ ಸಮೀಕರಣ

ಬೈಜಿಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಅಕ್ಷರ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ ಇದಕ್ಕೆ ದತ್ತ ಮಾಹಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ನಿಯಮಾನುಸಾರ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿ (ಆಲ್ಜಿಬ್ರೇಕ್ ಇಕ್ವೇಶನ್). ಇದರ ಪರಿಹಾರ ಅಜ್ಞಾತದ ಬೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಬ್ಬ ತಂದೆ ಮತ್ತು ಮಗ ಇವರ ಇಂದಿನ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಮೊತ್ತ 50. ಐದು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಇವರ ವಯಸ್ಸುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 30 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವರ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸು ಎಷ್ಟು?

ತಂದೆಯ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸು x ಆಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಗನ ವಯಸ್ಸು 50-x. ಐದು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಅವರ ವಯಸ್ಸು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x-5 ಮತ್ತು 45-‍x. ಇವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2x-50. ಇದರ ಬೆಲೆ 30 ಎಂದು ದತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

x = 40 

ಆದ್ದರಿಂದ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು 40, ಮಗನದು 10.

ax + b = 0

ಇದು x ನಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ.

ax² + bx + c = 0

ಇದು ‍x ನಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ.

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x + a_n = 0

ಇದು x ನಲ್ಲಿ n ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣ. ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ 1 ಮೂಲವೂ (ಪರಿಹಾರ - solution), ವರ್ಗಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ 2 ಮೂಲಗಳೂ, n ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n ಮೂಲಗಳೂ ಇವೆ. ಈ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ.

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ರಿ.ಶ. 6ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ ಆರ್ಯಭಟ, 7ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಮತ್ತು 9ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ ಮಹಾವೀರಾಚಾರ್ಯ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಬಿಡಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. 12ನೆಯ ಶತಮಾನದವನಾದ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಎರಡು ಮೂಲಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದ.

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 91 ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ (sum) 20 ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಕೇವಲ ಮಾನಸಿಕ ಗಣನೆಯಿಂದ ಅವನ್ನು 7, 13 ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳು ದತ್ತವಾದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕಠಿಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗುಣಲಬ್ಧ 527. ಮೊತ್ತ 48 ಆದಾಗ? ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ x ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಇನ್ನೊಂದು 48-x.

∴ x(48 -x) = 527

x2 - 48x + 527 = 0

x = 17, 31

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ax² + bx + c =0 ಎಂಬ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

ಇಲ್ಲಿ b² - 4ac ಋಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಊಹ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ.

ಘನಸಮೀಕರಣ

ಇದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪ

a₀x³ + 3a₁x² + 3a₂x + a₃ = 0...............(1)

ಇದರಲ್ಲಿ $x=y-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}$ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ

$y^{3}+{\frac {3H}{a_{0}^{2}}}y+{\frac {G}{a_{0}^{3}}}=0$

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ z = a₀y ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ

z³ + 3Hz + G = 0.................(2)

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ $H=a_{0}a_{2}-a_{1}^{2}$ ಮತ್ತು $G=a_{0}^{2}a_{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}+2a_{1}^{3}$ ಈಗ $z=p^{\frac {1}{3}}+q^{\frac {1}{3}}$ ಆಗಿದ್ದರೆ

$z^{3}-3p^{\frac {1}{3}}q^{\frac {1}{3}}z-(p+q)=0$................(3)

(2) ಮತ್ತು (3) ನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ p + q = G ಮತ್ತು $p-q=\pm {\sqrt {G^{2}+4H^{2}}}$. ಹೀಗಾಗಿ $p={\frac {1}{2}}\left(-G+{\sqrt {G^{2}+4H^{3}}}\right)$  ಮತ್ತು $q={\frac {1}{2}}\left(-G-{\sqrt {G^{2}+4H^{3}}}\right)$  ಎಂದರೆ p, q ಗಳನ್ನು a₀, a₁, a₂, a₃ ಗಳ ಬೈಜಿಕ ರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಬೀಜರಾಶಿಗಳಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಈಗ $q=-{\frac {H^{3}}{P}}$ ಮತ್ತು $p={\frac {1}{2}}\left(-G+{\sqrt {G^{2}+4H^{3}}}\right)$

∴ ${\sqrt[{3}]{p}}$ ಯು p ಯ ವಾಸ್ತವ ಘನಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ $p^{\frac {1}{3}}$ರ ಮೂರು ಬೆಲೆಗಳು ${\sqrt[{3}]{p}}$, $\omega {\sqrt[{3}]{p}}$ ಮತ್ತು $\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{p}}$. ಇಲ್ಲಿ ω³ = 1.

ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು (2) ರ ಮೂರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

$p^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{p}}$ ಆದಾಗ $z=z_{1}={\sqrt[{3}]{p}}+{\frac {(-H)}{\sqrt[{3}]{p}}}$

$p^{\frac {1}{3}}=\omega {\sqrt[{3}]{p}}$ ಆದಾಗ $z=z_{2}=\omega {\sqrt[{3}]{p}}+\omega ^{2}{\frac {(-H)}{\sqrt[{3}]{p}}}$

$p^{\frac {1}{3}}=\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{p}}$ಆದಾಗ $z=z_{3}=\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{p}}+\omega {\frac {(-H)}{\sqrt[{3}]{p}}}$

ಇವು ತಿಳಿದ ಮೇಲೆ $z=a_{0}y,y=x-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}$ ಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಮೂಲಗಳಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಈ ಪರಿಹಾರವಿತ್ತವರು ಇಟಲಿ ದೇಶದ ಗಣಿತವಿದರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಾನೋ (15-16ನೆಯ ಶತಮಾನ).

ಚತುರ್ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕಾರ್ಡಾನೋವಿನ ಶಿಷ್ಯನಾದ ಫರ‍್ರಾರಿ (ಇಟಲಿ, 1522-65) ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕಣವನ್ನು 1545ರ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದ.

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0...............(1)

ಇದೊಂದು ಚತುರ್ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

$\left(x^{2}+{\frac {ax}{2}}+\lambda \right)^{2}-\left\{x^{2}\left({\frac {a^{2}}{4}}+2\lambda -b\right)+x(a\lambda -c)+(\lambda ^{2}-d)\right\}=0$................(2)

ಈಗ ಎರಡನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜರಾಶಿ ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಾಗಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧವೆಂದರೆ

$(a\lambda -c)^{2}=(\lambda ^{2}-d)(a^{2}+8\lambda -4b)$...............(3)

ಆದರೆ λ ದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಘನ ಸಮೀಕರಣ. ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ a, b, c, d ಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ಬೀಜರಾಶಿಗಳನ್ನು ಘನಮೂಲಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. (3) ರ ಯಾವ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನೇ ಆಗಲಿ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಅದು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದರೆ x ಅಜ್ಞಾತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಿಕ್ಕುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ (1) ರ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಸಮೀಕರಣ (1) ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬೈಜಿಕ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆತಂತಾಯಿತು.

ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕ ಘಾತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕ ಘಾತದ (exponent) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೈಜಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವೆಂದು ಪ್ರೌಢ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯ. ಅಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾದರೆ ಬೇರೆ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹಿಡಿಯಬೇಕು; ಇದರಿಂದ ಮೂಲಗಳ ನಿಖರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೋ ಸರಿಸುಮಾರು ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆಗಳನ್ನೋ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿಯಲ್ಲೂ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಹಾಗೂ ಸ್ವಭಾವದ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸುಲಭವಾದ ಹಾಗೂ ಮುಖ್ಯವಾದ ಎರಡು ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದೆ:

1. F ಯಾವ ಕ್ಷೇತ್ರವೇ ಆಗಲಿ. f(x) ಅದರಲ್ಲಿ ಗುಣಕಗಳಿರುವ (multiplier) n ಘಾತದ ಬಹುಪದಿಯಾದರೆ f(x) = 0 ಯ ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಳನ್ನೂ ಪಡೆದಿರುವ F ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ ಕ್ಷೇತ್ರ (extension field) K ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂಥ ಯಾವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿಯೂ ದತ್ತ n ಘಾತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.
2. ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೈಜಿಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಒಂದು ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಪ್ರಮೇಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ, ಅಂಥ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಳೂ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

• "Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W., "Algebraic Equation", MathWorld.