ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ(ಲೆಕ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆ)

ಈ article the branch of mathematics ಬಗ್ಗೆ. other uses ಗಾಗಿ, Calculus (disambiguation) ನೋಡಿ.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (Calculus‌)(ಲ್ಯಾಟಿನ್‌: Calculus , ಎಣಿಸಲು ಬಳಸಲಾದ ಸಣ್ಣ ಕಲ್ಲು) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಭಾಗ. ಇದು ಪರಿಮಿತಿಗಳು (limits‌‌), ಫಲನಗಳು (Functions‌), ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳು (derivatives), ಅನುಕಲಜಗಳು (integrals‌) ಮತ್ತು ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿ (infinite series‌) ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. (ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಕುರಿತ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೇಲೆ ಕಲನ ಶಬ್ದದ ಉತ್ಪತ್ತಿ). ಈ ವಿಷಯವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಶಿಕ್ಷಣದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಗಳಿವೆ: ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (Differential calculus‌) ಮತ್ತು ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (Integral calculus) .ಇವೆರಡೂ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾವ ರೀತಿಯಾಗಿ ರೇಖಾಗಣಿತವು ರೂಪಾಕೃತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತವು ನಿರ್ವಹಣೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಸೂತ್ರ ಹುಡುಕುವ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆಯೋ, ಇದೇ ರೀತಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬದಲಾವಣೆಯ ಗುರುತಿಸುವ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಸೇರಿದಂತೆ, ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರೆ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎನ್ನಲಾದ) ಅಧುನಿಕ ಮುಂದುವರೆದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೆಬ್ಬಾಗಿಲಾಗಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಶಿಲ್ಪವಿಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ವ್ಯಾಪಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೇವಲ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದಲೇ ಬಗೆಹರಿಸಲಾಗದ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನುಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತದ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಅನಂತ ಅಥವಾ 'ಅತ್ಯಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (calculus‌)(ಬಹುವಚನ: ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳು(calculi)) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಾಧನಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಇತರೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ-ಪೂರಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (Proportional calculus‌‌), ಪರಿವರ್ತನಕ್ಕೊಳಪಟ್ಟ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (Variational calculus), ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ(λ) ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (lambda calculus‌), ಪೈ(π) ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ(ವರ್ತುಲದ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ) (Pi calculus‌) ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನಾ-ಸಂಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (join calculus‌) ಸದಿಶ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (vector calculus) ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಇವೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದವರಲ್ಲಿ ಸರ್‌ ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಸಹ ಒಬ್ಬರು. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಬಳಸಿದ್ದರು.

Main article: History of calculus

ಪ್ರಾಚೀನ, ಪುರಾತನ

ಪುರಾತನ ಕಾಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಧ್ಯಯನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಆಲೋಚನಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು. ಆದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ, ತರ್ಕಬದ್ದ ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಿದಂತೆ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಧ್ಯಯನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಾದ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಗಣನೆಯನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಮಾಸ್ಕೊ ಪಪೈಯರಸ್ ನಷ್ಟು ಹಿಂದಿನ ಕಾಲದ ವರೆಗಿನ ಹೆಜ್ಜೆ ಗುರುತನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. (ಪಪೈಯರಸ್ :ಇದೊಂದು ಜೊಂಡು ಜಾತಿಯ ಜಲಸಸ್ಯ ಇದನ್ನು ಆಗ ಈಜಿಪ್ತಿಯನ್ನರು ಕಾಗದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು) (c. 1820 BC). ಇದರಲ್ಲಿ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ಶಿಯನೊಬ್ಬ ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಶಂಕುವಿನಆಕೃತಿಯ ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲವನ್ನು(ವಸ್ತುವೊಂದು ಸ್ಥಳಾಕ್ರಮಿಸಿದ ಸಾಂದ್ರತೆ,ಪರಿಧಿ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವದರಲ್ಲಿ ಸಫಲನಾದ. ಗ್ರೀಕ್‌ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಶಿಕ್ಷಣ ಕೇಂದ್ರದಿಂದಯುಡೊಕ್ಸಸ್‌ (c. 408−355 BC) ಮಿತಿ ಅಥವಾ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ನಿಶ್ಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ. ಆದರೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡೆಸ್‌ (c. 287−212 BC)ರಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಿದ. ಈತ ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹೋಲುವ ಸ್ವಯಂ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ. ವಿಕಲ್ಪಗಳ ತೊಡೆದು ಹಾಕುವ ಸಮಗ್ರ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ನಂತರದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಚೀನಾದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಯಿತು. ವೃತ್ತದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಲಿಯು ಹುಯಿ ಕ್ರಿ.ಶ. ಮೂರನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನ ಬಳಸಿಕೊಂಡ. ಕ್ರಿ.ಶ. ಐದನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗೋಲಾಕಾರದ ಘನ ಫಲದ (ಅದು ಆಕ್ರಮಿಸಿದ ಸ್ಥಳ-ಪ್ರದೇಶದ ಅಳತೆ) ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಝು ಚೊಂಗ್‌ಝಿ ಕೆವೆಲಿಯೆರಿ ತತ್ವವೆಂದು ಆನಂತರ ಜನಜನಿತವಾದ ತತ್ವಸಿದ್ದಾಂತ ಬಳಸಿದ.

ಮಧ್ಯಯುಗ (ಪ್ರಾಚೀನ)

ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. 1000ರಲ್ಲಿ ಇಬ್ನ್‌ ಅಲ್‌-ಹಯತಮ್‌ (ಅಲ್‌-ಹಸನ್‌) ಎಂಬ ಇಸ್ಲಾಮಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಅನುಕಲನ(ಪೂರ್ಣಾಂಕದ) ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಬಳಸಿದ ಉನ್ನತ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೆ ಘಾತದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ರೂಪಿಸಿದ.

ಸರಿ ಸುಮಾರು 11ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಷೆನ್‌ ಕುವೊ ಎಂಬ ಚೀನೀ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ನು, ಅನುಕಲನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಹಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದೇ ಅಳತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮೃದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಿದ. ಸುಮಾರು 12ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರ IIಎಂಬಾತ ,ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಗಾತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ.ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದ ರೋಲ್ಸ್‌ ಪ್ರಮೇಯದ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪವನ್ನೂ ಸಹ ವಿವರಿಸಿದ್ದ. ಹಿಂದೆ 12ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿಯೇ, ಷರಫ್‌ ಅಲ್‌-ದೀನ್‌ ಅಲ್‌-ತೂಸಿ ಎಂಬ ಪರ್ಷಿಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು, ಘನಾಕೃತಿಯ ಬಹುಪದೀಯ ಬೀಜ ಗಣಿತದ ಪದ ಪುಂಜಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ಇದು ವಿಲಕನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲು 14ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸಂಗಮಗ್ರಾಮದ ಮಾಧವ ಹಾಗೂ ಕೇರಳ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಶಾಲೆಯ ಇತರೆ ಖಗೋಳ-ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸೇರಿ, ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ಇವನ್ನು ಯುಕ್ತಿಭಾಸ ವೆಂಬ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆಧುನಿಕತೆ (ನವಯುಗ)

ಆಧುನಿಕ ಕಾಲದ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು 17ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜಪಾನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಸೆಕಿ ಕೊವಾರಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿಶ್ಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೊನಾವೆಂಚುರಾ ಕೆವೆಲಿಯೆರಿ ಅವರ ಗ್ರಂಥವು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಘನಫಲ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಣ್ಣ ಛೇದಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ವಾದಿಸಿದ್ದರು. ಈ ವಿಚಾರಧಾರೆ-ಆಲೋಚನೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡೆಸ್‌ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತಿತ್ತು. ಆದರೆ ಈ ಗ್ರಂಥವು ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದ ವರೆಗೂ ಲಭಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ಕೆವೆಲಿಯರಿಯವರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮನ್ನಣೆ ಸಿಗಲಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಕಂಡುಕೊಂಡ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹಳಷ್ಟು ದೋಷಭರಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಎಡೆಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿಯು ಮೊದಲಿಗೆ ಅವರಿಗೆ ಅಪಕೀರ್ತಿ ತರುವಂತಿತ್ತು.

ಇದೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆವೆಲಿಯೆರಿಯ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿ, ಹಾಗೂ ಎಲ್ಲೆಯುಳ್ಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೋಕ್ತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವು ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಕಂಡಿತು. ಜಾನ್‌ ವಾಲಿಸ್, ಐಸಾಕ್‌ ಬ್ಯಾರೊ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್‌ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಇವರಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್‌ ಬ್ಯಾರೊ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್‌ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಸುಮಾರು 1675ರಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು.

ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಣಿ ನಿಯಮ, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಲ್ಪನೆ, ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಗಳನ್ನು ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಿದ ಅಪರೂಪದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮೂಲಕ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭಾಷಾವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ತಮ್ಮ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದರು. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಬದಲಿಗೆ ಸರಿಸಮನಾದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಾದಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಹೊಸ ರೀತಿಯು ಯಾವುದೇ ಟೀಕೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.

ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆ, ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಕಾರ, ಭೂಮಿಯ ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ ಚಪ್ಪಟ್ಟೆಯಾಗಿರುವುದು, ಚಕ್ರಜದ ಮೇಲೆ ಜಾರುವ ಕಾಯದ ಚಲನಶೀಲತೆಯ ವಿಚಾರಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನ ಬಳಸಿದರು. ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮಾಟಿಕಾದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಗಳೂ ಸೇರಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ(ಫನ್ಷನ್‌)ಗಳಿಗೆ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇದರಿಂದಾಗಿ, ಅವರು ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿಯ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ; ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಪದ್ದತಿಗಳು ಅಷ್ಟಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯತೆ ಗಳಿಸಿರಲಿಲ್ಲ ಆಗ ಇನ್ನೂ ಇದರ ಸುಧಾರಣೆ ಅಗತ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಸರ್‌ ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಲೇಖನಗಳ ನಕಲು ಮಾಡಿರುವ ಆಪಾದನೆಯನ್ನು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೇಡ್‌ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಎದುರಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಆನಂತರ ಕಲನಶಾಶ್ತ್ರಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಹಾಗೂ ಇತರೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿ, ಮನ್ನಣೆ ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ.

ಗಾಟ್‌ಫ್ರೇಡ್‌ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ನೈಜ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನಾಗಿಸಿದರು. ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇದೇ ವೇಳೆಗೆ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ವಿರುದ್ಧ ಕೃತಿಚೌರ್ಯದ ಆರೋಪ ಹೊರಿಸಿದ್ದರು. ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ಗೆ ಈಗ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಶೋಧಕ ಹಾಗೂ ದೇಣಿಗೆದಾರ ಎಂಬ ಮನ್ನಣೆ ದೊರೆಕಿದೆ. ಅತ್ಯಲ್ಪ ಗಾತ್ರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತಬಳಕೆಗಾಗಿ ಹೊಸ ನಿಯಮಾವಳಿ ರಚಿಸುವುದು ಅವರ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ (ಕಟು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ) ರೂಪನಿಷ್ಠೆಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಗಮನ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ದಿನಗಟ್ಟಲೇ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರು.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇಬ್ಬರಿಗೂ ಮನ್ನಣೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಳವಡಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮೊದಲಿಗ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂದೂ ಬಳಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದರು. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಏರಿಳಿತ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹಾಗೂ, ಬಹುಪದೀಯ ಸರಣಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಳಗೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಇಬ್ಬರೂ ನೀಡಿದ ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಕೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌‌ ವೇಳೆಗೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿಯಲಾಗಿತ್ತು.

ತಮ್ಮ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟಿಸಿದಾಗ, ಯಾವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ (ಮತ್ತು ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವ ದೇಶ) ಮನ್ನಣೆಗೆ ಅರ್ಹ ಎಂಬುದು ಭಾರೀ ವಿವಾದದ ವಿಚಾರವಾಗಿತ್ತು. ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮೊದಲು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೂ, ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ್ದು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌. ರಾಯಲ್‌ ಸೊಸೈಟಿಯ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಂಡಿದ್ದ ತಮ್ಮ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಂದ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಕದ್ದರೆಂದು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಈ ವಿವಾದವು ಐರೊಪ್ಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ ಭಾಷಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ನಡುವೆ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಬಿರುಕಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಈ ವಿವಾದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌-ಭಾಷಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಇದು ಕೇಡಿನ ಸ್ಥಿತಿ ತಂದೊಡ್ಡಿತು. ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇವರಿಬ್ಬರ ಮಂಡನೆಗಳನ್ನು ಕೂಲಂಕಷವಾಗಿ ನೋಡಿದಾಗ, ಅವರಿಬ್ಬರೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ತಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿರುವುದು ರುಜುವಾತಾಗಿದೆ. ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮೊದಲಿಗೆ ಅನುಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ ವಿಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗ ಆರಂಭಿಸಿದ್ದರು. ಇಂದು, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಿದ್ದಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಇಬ್ಬರಿಗೂ ಸಹ ಮನ್ನಣೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿದ್ದು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌. ಅವರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ 'ನಿರಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರವಾಹದ ವಿಜ್ಞಾನ' ಎಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಹಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಂದುವರೆದ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಕೌಚಿ, ರೀಮನ್‌ ಮತ್ತು ವೇಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿಸಿದರು ((ε, δ)- ಪರಿಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ನೋಡಿ). ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್‌ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ (ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಆಕಾಶದ ಸಿಂಧು ಬಿಂದು) ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಲೆಬೆಸ್ಗ್‌ ಅನುಕಲದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯು ವಸ್ತುತಃ ಅನುಕಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಲಾರೆಂಟ್‌ ಷ್ವಾರ್ಟ್ಜ್‌ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಲನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ.

ವಿಶ್ವಾದ್ಯಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಆಧುನಿಕ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಧಿಸಲಾಗುವ ಸರ್ವೇಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಮಹತ್ವ

ಈ ಮೊದಲು ಗ್ರೀಸ್‌, ಚೀನಾ, ಭಾರತ, ಇರಾಕ್‌, ಪರ್ಷಿಯಾ, ಮತ್ತು ಜಪಾನ್‌ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಆಲೋಚನೆ-ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇದರ ಆಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯು ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ, 17ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮುಂಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಡೆಸಿದ ಸಂಶೋಧನಾಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೇಡ್‌ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರು.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ 'ತತ್ ಕ್ಷಣದ ಚಲನೆ' ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಡಿಯಿರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಾಣಗೊಂಡಿತು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನೆಡೆಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷಕ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಮುಖದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುವಿಕೆ - ಇವುಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗ, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡಗಳ ಅಳತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.

ಇನ್ನಷ್ಟು ಆಧುನಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪವರ್‌ ಸೀರಿಸ್ ಮತ್ತು ಫೊರಿಯರ್‌ ಸೀರಿಸ್‌ ಸಹ ಸೇರಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರಿಕ್ಷ ನಿಲ್ದಾಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಅಂತರಿಕ್ಷ ನೌಕೆಯ ಕ್ಷಿಪಣಿ ಪಥ ಹಾಗೂ ಅಲ್ಲಿರುವ ಹಿಮದ ಪ್ರಮಾಣ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತರಿಕ್ಷದ ಸ್ಥಳ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚಲನಾ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ವಭಾವಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಶತಮಾನಗಳಿಂದಲೂ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಗಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸೆಣಸಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಚಲನೆಯ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೇಳುತ್ತವೆ. ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕ್‌ ತತ್ವವಾದಿ ಝೀನೊ ಇಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಹಲವು ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ. ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯಂತಹ ಸಾಧನ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಡಿಪಾಯಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಿಪಾಯ ಗಳೆಂದರೆ ನಿಖರ ಆಧಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌ನಂತರದ ಕಾಲಮಾನದ ಬಹಳಷ್ಟು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಈ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗದಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಡಿಪಾಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಮಗ್ನರಾಗಿದ್ದರು. ಇದು ಇಂದಿಗೂ ಸಹ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯದ ಮರ್ಮ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟಳೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಸತತ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಡೆಯುತ್ತಿವೆ. ಇಂದು ಬಳಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯೆಂದರೆ ಪರಿಮಿತಿಯ (ಲಿಮಿಟ್ಸ್‌) ಕಲ್ಪನೆ. ಇದನ್ನು ಸಹಜ ಅಂಕಿಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಪ್ರವಾಹದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ ನ್ಯೂಟನ್‌-ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯಾಮಾಲೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಾಕ್ಷ್ಯಾಧಾರಗಳಿವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಮಾಪನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ.

ತತ್ವಸಿದ್ದಾಂತಗಳು

ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮಾತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳು

Main articles: Limit of a function and Infinitesimal

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರರಚನಾಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ; ಆದರೆ ಅವು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 'ಅತಿಸಣ್ಣ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ'. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ dx 0ಗಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ 1, ½, ⅓, ... ಕ್ಕಿಂತ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಹುದು. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಇನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಥಾತ್‌ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್‌ ಗುಣ-ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಅತ್ಯಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಾತ್ರ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕುಶಲಬಳಕೆಯ ತಂತ್ರಮಾಲೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ 19ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಯತ್ನವು ಜನಪ್ರಿಯತೆ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಲು ಬಹಳ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಆದರೂ, ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸುಗಮ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳ ಪರಿಚಯದ ಮೂಲಕ 20ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪುನರ್ಜನ್ಮ ದೊರಕಿತು.

ಸುಮಾರು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪರಿಮಿತಿಗಳು (limits) ಅತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಾಗಿ ಬಂದವು. ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯ ಫಲನದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸನಿಹದ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಅವು ಸಣ್ಣ-ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅದು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಧಾರಣ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಂಸ್ಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಿತಿಗಳ(limits) ಸೂಕ್ತ ಬಳಕೆ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹದ ಬದಲಿಗೆ ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ, ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಫಲನದ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಒದಗಿಸಲು ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಅತಿಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವಾಗಿವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಪ್ರಮಾಣಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ/ಭೇದ ತೋರಿಸುವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ)

(x, f(x)) ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕರೇಖೆ. ಬಿಂದುವೊಂದರಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಕಲಜನ್ಯ f′(x)ವು , ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯ ಇಳಿಮುಖ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

Main article: Differential calculus

ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ವಿಕಲನ (differentiation) ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರದೇಶ(Domain‌)ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಲನ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸನಿಹದಲ್ಲಿರುವ ಫಲನದ ಸಣ್ಣ-ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸಂಕೇತಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ತನ್ನ ಪ್ರದೇಶವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲೂ ಫಲನದ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ವಿಕಲಜನ್ಯವಾದ ಫಲನ ಅಥವಾ ಮೂಲತಃ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಎಂಬ ಹೊಸ ಫಲನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಫಲನವನ್ನು ಒಳ ಸೇರಿಸಿ ಎರಡನೆಯ ಫಲನವನ್ನು ಹೊರತರುವ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಫಲನಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಪಡೆದು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಗಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹಲವು ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಈ ಸಂಗತಿ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಮೂರರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಲ್ಲಿ ಅದು ಆರನ್ನು ಹೊರತರುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನಕ್ಕೆ ಮೂರರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂಬತ್ತು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಫಲವು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಫಲನವನ್ನು ಒಳಬರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಇದರ ಅರ್ಥ, ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಆ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನ್ನು ನಾಲ್ಕು, ಮೂರನ್ನು ಒಂಬತ್ತು, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಹದಿನಾರು ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ವರ್ಗಗೊಳಿಸಿ, ಈ ಮಾಹಿತಿ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಫಲನ ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. (ಅದು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಫಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತ 'ಪ್ರೈಮ್‌' ಎಂಬ ಷಷ್ಠೀವಿಭಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, f ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯವು f′ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, 'ಎಫ್‌ ಪ್ರೈಮ್‌' ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f(x) = x ² ವರ್ಗಗೊಳಸುವ ಫಲನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, f′(x) = 2x ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಫಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲನದ ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯು ಸಮಯ ನಿರೂಪಿಸಿದಲ್ಲಿ, ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಸಮಯನುಸಾರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಸಮಯವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಫಲನವಾಗಿ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡೊಂದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ನೀಡಿದಲ್ಲಿ, f ನ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಸಮಯಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಚೆಂಡಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ‌ ಅದು ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ವೇಗವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಫಲನವೊಂದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ (ಫಲನದ ನಕ್ಷೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ) ಅದರ ಫಲನವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು: y = mx + b . ಇದರಲ್ಲಿ x ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರ, y ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರ, b y-ಪ್ರತಿಬಂಧಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು

$m={\frac {\mbox{rise}}{\mbox{run}}}={{\mbox{change in }}y \over {\mbox{change in }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}.$

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ನಿಖರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫಲನದ ನಕ್ಷೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರದಿದ್ದಲ್ಲಿ, x ನಲ್ಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ y ನಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರ ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ನಿಖರ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ, f ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿರಲಿ. f ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ a ಎಂಬ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರಲಿ. (a , f (a )) ಫಲನದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. h ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸನಿಹವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, a + h ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಗೆ ಸಮೀಪದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, (a + h , f (a + h )) ಸಂಖ್ಯೆಯು (a , f (a ))ಗೆ ಸನಿಹವಾಗಿದೆ. ಇವರೆಡೂ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಮುಖತೆ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ:

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

ಈ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಭೇದದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆ (ಸೀಕೆಂಟ್‌ ಲೈನ್‌) ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ, (a , f (a )) ಮತ್ತು (a + h , f (a + h )) ನಡುವೆ m ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಫಲನದ ವರ್ತನೆಗೆ ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಮೀಪನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು a ಮತ್ತು a + h ನಡುವೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ. h ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿರಿಸಿ a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಾಣುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. 'h ಶೂನ್ಯದತ್ತ ಚಲಿಸುವುದು' ಎಂದು ಪರಿಮಿತಿ (limit‌)ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ‌, h ನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ f ನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, h ನ ಮೌಲ್ಯ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಸುಸಂಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತದೆ:

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.$

ರೇಖಾಗಣಿತದಂತೆಯೇ, a ಬಿಂದುವಿನ f ನ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಕಲಜನ್ಯದ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯು ಇಳಿಜಾರಾಗಿದೆ. ವಿಕಲಜನ್ಯವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಪರಿಮಿತಿಯಂತೆಯೇ, ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯು ವೃತ್ತ ಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೂಲವನ್ನು f ಫಲನದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಿದೆ - ದತ್ತಮಾಹಿತಿ 3ಕ್ಕೆ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ಮೂಲ ಫಲನ f(x) = x ² ಇದು ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನವಾಗಿರಲಿ.

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ f′(x), ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಛೇದಕ‌ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಲನ (ಮೊತ್ತ)(ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ) f(x) = x3 − x ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿರುವ, (−3/2, −15/8) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯು, 23/4 ಮೌಲ್ಯದ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ.ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೇರ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಮಾಪನಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{aligned}}$

(3,9) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯ ಇಳಿಕೆ ಮೌಲ್ಯ 6 ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ‌, ಅದು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅದರ ವೇಗ ಆರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ನಡೆಸಬಹುದಾಗಿದೆ. 'ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಫಲನ ', ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, 'ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯ ' ಎಂದು ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಫಲನವೆಂದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಚಾರದಂತೆಯೇ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಸಂಕೇತ (ಸಂಜ್ಞೆ)

Main article: Leibniz's notation

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ, ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಪರಿಚಿಯಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತ ಹೀಗಿದೆ:

${\begin{aligned}y=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}=2x.\end{aligned}}$

ಪರಿಮಿತಿ ಆಧರಿಸಿದ ಯತ್ನದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಬದಲು ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೆಂದು dy/dx ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದರೂ, ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಲೆಂದು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಇಚ್ಛೆಯಾಗಿತ್ತು. x ಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಬದಲಾವಣೆ dx ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, y ನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಬದಲಾವಣೆ dy ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

d/dx ನ್ನು ವಿಕಲನ(ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಭೇದ ತೋರಿಸುವ) ನಿರ್ವಾಹಕವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದು ಫಲನವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ, 'ಉತ್ಪನ್ನ'ವೆಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಫಲನವನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.$

ಈ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ dx ನ್ನು 'xಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ' ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೂ, dx ಮತ್ತು dy ನಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಚತುರತೆಯಿಂದ ಬಳಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ. ಆದರೂ, ಇಂತಹ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಒಟ್ಟು ವಿಕಲಜನ್ಯದಂತಹ ನಿರ್ವಹಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅವುಗಳು ಸಂಕೇತರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ.

ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ(ಅನುಕಲಜಗಳ ಅಧ್ಯಯನಶಾಸ್ತ್ರ)

Main article: Integral

ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಅನುಕಲಜದ ಮೌಲ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೂಡಾ ಅನುಕಲನ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವು ವಿಕಲಜನ್ಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ನಿರ್ವಹಣೆ, ಅಥವಾ 'ಅವಿಕಲಜನ್ಯ'ವಾಗಿದೆ. F ನ ವಿಕಲಜನ್ಯ (derivative‌) f ಆಗಿದ್ದರೆ, f ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ F ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಫಲನ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವು ಫಲನವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜದ ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆಯತಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತ (Riemann sum)ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

$\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}$

ವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ವೇಗವು ಬದಲಾದಲ್ಲಿ, ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಬಲ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪದ್ದತಿ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಯವನ್ನು ಹಲವು ಅಲ್ಪಸಮಯಾವಧಿಗಳಾಗಿ ಛೇದಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ ಗತಿಸಿದ ಕಾಲವನ್ನು ಅಲ್ಲಿನ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಅಂದಾಜು ದೂರದ ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. 'ಕೇವಲ ಅಲ್ಪಸಮಯದ ಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಅಷ್ಟೇ ಇರುತ್ತದೆ' ಎಂಬುದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೂ, ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತವು ಕೇವಲ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ನಿಖರ ಅಂತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇಂತಹ ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತಗಳ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

f(x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಡಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ (ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b) ನಡುವಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಳೆಯುವುದನ್ನು ಅನುಕಲನವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ವೇಗವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ, a ಮತ್ತು b ಸಮಯಾವಧಿಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ದೂರವನ್ನು ಛಾಯೆಗೊಳಿಸಿದ ವಲಯ s ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅಂದಾಜಿಗೆ, ಆಂತರಿಕ ಪದ್ದತಿ ಪ್ರಕಾರ, a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಹಲವು ಸಮನಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಭಾಗಿಸುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ Δx ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುವುದು. ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಭಾಗಕ್ಕೂ, ನಾವು f(x) ಫಲನದ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು h ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ, Δx ತಳಹದಿ ಮತ್ತು h ಎತ್ತರವಿರುವ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅಂತರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಸಮಯ Δx ಹಾಗೂ ಆ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ವೇಗವನ್ನು h ಗುಣಿಸಲಾಗಿರುವುದು). ಅದರ ಮೇಲಿನ f(x) =h ಫಲನದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಇಂತಹ ಆಯತಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು, ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ (ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರದ ಅಂದಾಜು ಅಂತರ ನೀಡುತ್ತದೆ. Δx ಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಆಯತಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಲವು ನಿರೂಪಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಿಖರ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ನಾವು Δx ಶೂನ್ಯ ಸಮೀಪಿಸುವುದು ಎಂಬ ಪರಿಮಿತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

$\int \,$ ಅನುಕಲನ(ಅನುಕಲಜದ ಅನುಕಲಜತೆ) ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉದ್ದವಾಗಿ ಎಳೆದ S ಅಕ್ಷರದಂತಿದೆ (S ಎಂಬುದು ಮೊತ್ತ(sum)ವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ದಾಖಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

ಮತ್ತು " ದಿ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲ್ ಫ್ರಮ್ a ಟು b ಒಫ್ f-ಒಫ್-x ವಿಥ್ ರೆಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಟು x" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯಡಿಯಿರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಘನಫಲವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಗಳಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲೆಂದು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಸಂಕೇತ dx ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಅಗಲ Δx ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ dx ಆಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತ$\int _{a}^{b}\ldots \,dx$ನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಕ್ರಿಯಾನಿರ್ವಾಹಕ ಫಲನವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ ಅಂಕಿರೂಪದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ; dx ಅಂಕಿಯಲ್ಲ,ಸಂಜ್ಞೆ; ಅದನ್ನು f(x) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ, ಅಥವಾ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ ಈ ರೀತಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

$\int f(x)\,dx.$

ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಫಲನಗಳು ಅದೇ ವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ಇದರ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. y = x ² + C (ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯವು y′ = 2x ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, y′ = 2x ನ ಅವಿಕಲಜನ್ಯವನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

$\int 2x\,dx=x^{2}+C.$

ಅವಿಕಲಜನ್ಯದಲ್ಲಿರುವ C ನಂತಹ ಅನಿರ್ಣೀತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅನುಕಲನದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ

Main article: Fundamental theorem of calculus

ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಗಳ ಪ್ರತ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ ಸಾಧನ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಕಲನವೆಂಬುದು ಅನುಕಲನದ ವಿರುದ್ಧದ ಕ್ರಿಯೆಯೆಂದು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲೂಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವುದು ಹೀಗೆ: ಫಲನ f ಅವಧಿ [a , b ] ಮೇಲೆ ಮುಂದುವರೆದರೆ, ಹಾಗೂ, ಫಲನ F ಅವಧಿ (a , b ) ಮೇಲೆ ಉತ್ಪನ್ನ f ನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ, ಅವಧಿ (a , b) ಯಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರತಿ x ಗೆ,(ಗುಣಲಬ್ಧ)

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).$

ಐಸಾಕ್‌ ಬ್ಯಾರೊ ಮೊದಲು ನಡೆಸಿದ್ದ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ತಮ್ಮ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ನೆಲೆಕಂಡುಕೊಂಡರು. ತಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಜನಜನಿತವಾದ ನಂತರ ಈ ಯಶಸ್ವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಅವಿಕಲಜನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಮೂಲಕ, ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಿಮಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಲ್ಲದೇ ಹಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಮಾದರಿಯು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವೂ ಹೌದು. ಸಂಕಲನದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಫಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧ ಸರ್ವೇಸಾಮಾನ್ಯ.

ಅಳವಡಿಕೆಗಳು

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ನಾಟಿಲಸ್‌ ಚಿಪ್ಪಿನ ಲಘುಗಣಕೀಯ ಸುರುಳಿಯು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

• ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಾದ, ವಿಮಾಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅಂಕಿಅಂಶಶಾಸ್ತ್ರ, ಶಿಲ್ಪಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ವ್ಯಾಪಾರ, ವೈದ್ಯಕೀಯಕ್ಷೇತ್ರ, ಜನಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಹಾಗೂ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಳ್ಳ ಇತರೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಬಳಸಿ, ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೂ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮಾಣ ಗೊತ್ತಿರುವ ಕಾಯವೊಂದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾಯಗಳ ಜಡತ್ವ ಸ್ಥಿತಿ ಹಾಗೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಳಗಿನ ಕಾಯವೊಂದರ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪದ್ದತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
• ವಿದ್ಯುತ್ಚಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಕಾಂತತ್ವದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್‌-ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಮೊತ್ತ ಗಣನೆಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಳಕೆಯ ಇನ್ನಷ್ಟು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ಚಲನೆಯ ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮ, ಇದರಲ್ಲಿ 'ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ ' ಎಂಬ ಪದಪುಂಜ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಅರ್ಥವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ: ಕಾಯವೊಂದರ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಡೆಸುತ್ತಿರುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದು ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ಚಲನೆಯ ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮದಲ್ಲಿನ 'ಬಲ = ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ x ವೇಗವರ್ಧಕ' ಎಂಬ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
• ಏಕೆಂದರೆ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವು ವೇಗದ ಮೂಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದು. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ರ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹಾಗೂ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣದ ಪ್ರದೋಶ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ರಸಾಯನ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರೆ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಡನೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,ಜಮೀನೊಂದರಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಂದಾಜು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಡನೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಥವಾ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಫಲನದಿಂದ ನಿರಂತರ ದಾಖಲಾಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಗ್ರೀನ್ಸ್‌ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸಮಪಾತಳಿಯ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಇದು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯಾ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗಮವನ್ನು ನೋಡಿ ಅದರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಚಿನ್ಹೆಗಳ ಮೂಲಕ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.ಪ್ಲ್ಯಾನಿಮೀಟರ್‌ ನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮತಲದ ಘನಫಲ ತೆಗೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಖಾಲಿ ನಿವೇಶನದಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆ ವಿನ್ಯಾಸ ರೂಪಿಸುವಾಗ ಅಸಮ ಆಕಾರದ ತಳ ಅಥವಾ ಈಜುಕೊಳವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಳೆಯಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ವೈದ್ಯಕೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ರಕ್ತದ ಪರಿಚಲನವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಂತೆ ರಕ್ತನಾಳಗಳ ಅಳತೆಯ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಪ್ರವೃತ್ತ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳು (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ) ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳು (ಮಿನಿಮಾ), ಇಳಿಕೆ, ಒಳಬಾಗಿಕೆ ಮತ್ತು (ಸಂಗಮ)ವಲನಸಂಧಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಅದಾಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಗರಿಷ್ಠ ಲಾಭಾಂಶ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ರೀತಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಪುನರಾವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು - ಇಂತಹ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂನ್ಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪರಿಸರಗಳಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪಥಗಳಿಗೆ ಯೂಲರ್‌ ರೀತಿಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅಥವಾ ಗಗನನೌಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತವೆ.(ಯೂಲರ್‌ ಸ್ವಿಜರ್ಲ್ಯಾಂಡಿನ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯ ಮಾಪನಕ್ಕೆ ವಿಧಾನ ಕಂಡುಹಿಡಿದ).

ಇದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ

Main article: Outline of calculus

ಪಟ್ಟಿಗಳು

• ವಿಕಲನ ಅನನ್ಯತೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ
• ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಧ್ಯಾಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ
• ಪರ್ಯಾಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳ ಮತ್ತು ಅನುಕಲಜಗಳ ಪಟ್ಟಿ
• ವಿಕಲನ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ
• ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು
• ಅನುಕಲನಗಳ ಕೋಷ್ಠಕ

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಚಾರಗಳು

• ಬಹುಪದೀಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
• ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
• ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು
• ವಿಕಲನ ರೇಖಾಗಣಿತ
• ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
• ಫೌರಿಯರ್‌ ಸರಣಿಗಳು
• ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣ
• ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
• ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ
• ಬಹು-ಸಂಖ್ಯಾಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
• ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
• ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
• ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
• ಪೂರ್ವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಗಣಿತೀಯ ಶಿಕ್ಷಣ)
• ಗುಣಲಬ್ಧ ಅನುಕಲನಗಳು
• ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
• ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿಗಳು

ಆಕರಗಳು

ಪುಸ್ತಕಗಳು

• ಲಾರ್ಸನ್‌, ರಾನ್‌, ಬ್ರೂಸ್‌ ಹೆಚ್. ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್‌ (2010). "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌", 9ನೆಯ ಸಂಪುಟ., ಬ್ರೂಕ್ಸ್‌ ಕೋಲ್‌ ಸೆಂಗೇಜ್‌ ಲರ್ನಿಂಗ್‌. ISBN 0791067726
• ಮೆಕ್ವಾರೀ, ಡೊನಾಲ್ಡ್‌ ಎ. (2003). ಮ್ಯಾಥಮಾಟಿಕಲ್‌ ಮೆಥಡ್ಸ್‌ ಫಾರ್‌ ಸಯನ್ಟಿಸ್ಟ್ಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಇಂಜಿನಿಯರ್ಸ್‌ , ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ ಸಯನ್ಸ್‌ ಬುಕ್ಸ್‌. ISBN 0791067726
• ಸ್ಟೀವರ್ಟ್‌, ಜೇಮ್ಸ್‌ (2008). ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌: ಅರ್ಲಿ ಟ್ರಾನ್ಸೆಂಡೆನಷಿಯಲ್ಸ್‌ , 6ನೆಯ ಸಂಪುಟ, ಬ್ರೂಕ್ಸ್‌ ಕೋಲ್‌ ಸೆಂಗೇಜ್‌ ಲರ್ನಿಂಗ್‌. ISBN 0791067726
• ಥಾಮಸ್‌, ಜಾರ್ಜ್‌ ಬಿ., ಮೌರಿಸ್‌ ಡಿ. ವೇರ್‌, ಜೊಯೆಲ್‌ ಹಾಸ್‌, ಫ್ರ್ಯಾಂಕ್‌ ಆರ್‌. ಗಿಯೊರ್ಡನೊ (2008), "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌", 11ನೆಯ ಸಂಪುಟ, ಅಡಿಸನ್‌-ವೆಸ್ಲೇ. ISBN 0-321-48987-X

ಇತರೆ ಮೂಲಗಳು

ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ

• ಕೊರಂಟ್‌, ರಿಚರ್ಡ್‌ ISBN 978-3540650584 ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್‌ ಟು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಅನಲಿಸಿಸ್‌ 1.
• ಎಡ್ಮಂಡ್‌ ಲಾಂಡೊ. ISBN 0-8218-2830-4 ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ ಅಂಡ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ , ಅಮೆರಿಕನ್‌ ಮ್ಯಾತೆಮಾಟಿಕಲ್‌ ಸೊಸೈಟಿ.
• ರಾಬರ್ಟ್‌ ಎ. ಆಡಮ್ಸ್‌. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌: ಎ ಕಂಪ್ಲೀಟ್‌ ಕೋರ್ಸ್‌ .
• ಆಲ್ಬರ್ಸ್‌, ಡೊನಾಲ್ಡ್‌ ಜೆ.; ರಿಚರ್ಡ್‌ ಡಿ. ಆನ್ಡರ್ಸನ್‌ ಮತ್ತು ಡಾನ್‌ ಒ. ಲಾಫ್ಟ್ಸ್‌ಗಾರ್ಡನ್‌, ಸಂಪಾದಕರು. (1986) ಅಂಡರ್‌ಗ್ರಾಜುಯೆಟ್‌‌ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮ್ಸ್‌ ಇನ್‌ ದಿ ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಸಯನ್ಸಸ್‌: ದಿ 1985-1986 ಸರ್ವೇ , ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕಲ್‌ ಅಸೊಷಿಯೇಷನ್‌ ಆಫ್‌ ಅಮೆರಿಕಾ ನಂ. 7.
• ಜಾನ್‌ ಎಲ್‌. ಬೆಲ್‌: ಅ ಪ್ರೈಮರ್‌ ಆಫ್‌ ಇನ್ಫೈನೈಟೆಸಿಮಲ್‌ ಅನಾಲಿಸಿಸ್‌ , ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್‌ ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್‌, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. ಯುಸಸ್‌ ಸಿನ್ತೆಟಿಕ್‌ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿ ಅಂಡ್‌ ನಿಲ್‌ಪೊಟೆಂಟ್‌ ಇನ್ಫೈನೈಟೆಸಿಮಲ್ಸ್‌.
• ಫ್ಲೊರಿಯನ್‌ ಕೆಜೊರಿ, "ದಿ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್‌ ನೊಟೆಷನ್ಸ್‌ ಆಫ್‌ ದಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌." ಅನಲ್ಸ್‌ ಆಫ್‌ ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್‌ , 2ನೆಯ ಸರಣಿ, ಸಂಪುಟ. 25, ಸಂಚಿಕೆ. 1 (ಸೆಪ್ಟ್‌., 1923), ಪಿಪಿ. 1-46.
• ಲಿಯೊನಿಡ್‌ ಪಿ. ಲೆಬೆಡೆವ್‌ ಮತ್ತು ಮೈಕಲ್‌ ಜೆ. ಕ್ಲೌಡ್‌: "ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೆಟಿಂಗ್‌ ಪರ್ಫೆಕ್ಷನ್‌: ಎ ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಷಿಯನ್ಸ್‌ ಜರ್ನೀ ಇಂಟು ದಿ ವರ್ಲ್ಡ್‌ ಆಫ್‌ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌, ಅಧ್ಯಾಯ 1: ದಿ ಟೂಲ್ಸ್‌ ಆಫ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌", ಪ್ರಿನ್ಸ್‌ಟನ್‌ ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್‌, 2004.
• ಕ್ಲಿಫ್‌ ಪಿಕೊವರ್‌. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಪಿಜ್ಜಾ: ಎ ಮ್ಯಾಥ್‌ ಕುಕ್‌ಬುಕ್‌ ಫಾರ್‌ ದಿ ಹಂಗ್ರಿ ಮೈಂಡ್‌ .
• ಮೈಕಲ್‌ ಸ್ಪಿವಕ್‌. ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 29 ISBN 978-0-914098-89-8 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ . ಪಬ್ಲಿಷ್‌ ಆರ್‌ ಪೆರಿಷ್‌ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್‌.
• ಟಾಮ್‌ ಎಂ. ಅಪೊಸ್ಟಲ್‌. (1967). ISBN 9780471000051 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌, ವಾಲ್ಯೂಮ್‌ 1, ಒನ್‌-ವೆರಿಯಬಲ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ವಿತ್‌ ಆನ್‌ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್‌ ಟು ಲೀನಿಯರ್‌ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ . ವೈಲೆ, 2001.
• ಟಾಮ್‌ ಎನ್‌. ಅಪೊಸ್ಟಲ್‌. (1969). ISBN 9780471000075 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌, ವಾಲ್ಯೂಮ್‌ 2, ಮಲ್ಟಿ-ವೇರಿಯಬಲ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌‌ ಅಂಡ್‌ ಲೀನಿಯರ್‌ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ವಿತ್‌ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್‌ . ವೈಲೆ, 2001.
• ಸಿಲ್ವಾನಸ್‌ ಪಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್‌ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಟಿನ್‌ ಗಾರ್ಡ್ನರ್‌. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಮೇಡ್‌ ಈಸಿ .
• ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕಲ್‌ ಅಸೊಷಿಯೇಷನ್‌ ಆಫ್‌ ಅಮೆರಿಕಾ. (1988). ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಫಾರ್‌ ಅ ನ್ಯೂ ಸೆಂಚುರಿ; ಎ ಪಂಪ್‌, ನಾಟ್‌‌ ಎ ಫಿಲ್ಟರ್‌ , ದಿ ಅಸೊಷಿಯೇಷನ್‌, ಸ್ಟೊನಿ ಬ್ರೂಕ್‌, NY. ED 300 252.
• ಥಾಮಸ್‌/ಫಿನೇ. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಅನಾಲಿಟಿಕ್‌ ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿ 9ತ್‌ , ಅಡಿಸನ್‌ ವೆಸ್ಲೇ.
• ವೆಸ್ಟೇನ್‌, ಎರಿಕ್‌ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. "ಸೆಕೆಂಡ್‌ ಫಂಡಾಮೆಂಟಲ್‌ ಥಿಯರಮ್‌ ಆಫ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌." ಫ್ರಮ್‌ ಮ್ಯಾಥ್‌ವರ್ಲ್ಡ್‌ - ಎ ವುಲ್ಫ್ರಾಮ್‌ ವೆಬ್‌ ರಿಸೋರ್ಸ್‌.

ಆನ್ಲೈನ್‌ ಪುಸ್ತಕಗಳು

• ಕ್ರೊವೆಲ್‌, ಬಿ. (2003). "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ " ಲೈಟ್‌ ಅಂಡ್‌ ಮ್ಯಾಟರ್‌, ಫುಲರ್ಟನ್‌. http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಗ್ಯಾರೆಟ್‌, ಪಿ. (2006). "ನೋಟ್ಸ್‌ ಆನ್‌ ಫಸ್ಟ್‌ ಇಯರ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ " ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್‌ ಮಿನೆಸೊಟಾ. http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಫರಾಜ್‌, ಹೆಚ್‌. (2006). "ಅಂಡರ್ಸ್ಟಾಂಡಿಂಗ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ", URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML ಮಾತ್ರ) ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಕೇಸ್ಲರ್‌, ಹೆಚ್‌. ಜೆ. (2000). "ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌: ಆನ್‌ ಅಪ್ರೋಚ್‌ ಯೂಸಿಂಗ್‌ ಇನ್ಫೈನೈಟೆಸಿಮಲ್ಸ್‌ " http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಮೌಚ್‌, ಎಸ್‌. (2004). "ಸೀನ್ಸ್‌ ಅಪ್ಲೈಡ್‌ ಮ್ಯಾಥ್‌ ಬುಕ್‌ " ಕ್ಯಾಲಿಫೊರ್ನಿಯಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್‌ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ. http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf Archived 2007-06-14 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಸ್ಲೌಟರ್‌, ಡ್ಯಾನ್‌ (2000). "ಡಿಫರೆನ್ಸ್‌ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್‌ ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್‌: ಆನ್‌ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್‌ ಟು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ".

http://synechism.org/drupal/de2de/ ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.

• ಸ್ಟ್ರೊಯಾನ್‌, ಕೆ.ಡಿ. (2004). "ಎ ಬ್ರೀಫ್‌ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್‌ ಟು ಇನ್ಫೈನೈಟೆಸಿಮಲ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ " ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್‌ ಅಯೊವಾ. ಮೇ 6ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.

http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm Archived 2005-09-11 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. (HTML ಮತ್ರ) ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.

• ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಂಗ್‌, ಜಿ. (1991). "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ " ಮ್ಯಾಸಚ್ಯೂಸೆಟ್ಸ್‌ ಇಂಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್‌ ಆಫ್‌ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ. http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm ಇಂದ 6 ಮೇ 2007ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು.
• ಸ್ಮಿತ್‌, ವಿಲಿಯಮ್‌ ವಿ. (2001). "ದಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ " ಇಂದ 4 ಜುಲೈ 2008ರಂದು ಪುನರ್ಪಡೆದದ್ದು. [೨] Archived 2017-10-30 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. (HTML ಮಾತ್ರ).

ಜಾಲಪುಟ

• Weisstein, Eric W., "Calculus", MathWorld.
• Topics on Calculus at PlanetMath
• ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಮೇಡ್ ಈಸಿ (1914) ಲೇಖಕರು: ಸಿಲ್ವಾನಸ್‌ ಪಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್‌ PDFನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಠ್ಯ
• ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌.ಒಆರ್‌ಜಿ: ದಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲುಸ್‌ ಪೇಜ್‌ ಡೇವಿಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ಯಾಲಿಫೊರ್ನಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ — ಇತರೆ ಜಾಲತಾಣದಗಳ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
• COW: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಆನ್‌ ದಿ ವೆಬ್‌ Archived 2011-04-08 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. ಟೆಂಪಲ್‌ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲದಲ್ಲಿ - ಪೂರ್ವ-ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರೆ ಮೂಲಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
• ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪದಗಳ ಅತಿ ಮುಂಚಿನ ಬಳಕೆಗಳು: ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
• ವುಲ್ಫ್ರಾಮ್‌ ರಿಸರ್ಚ್‌ನಿಂದ ಆನ್ಲೈನ್‌ ಇಂಟೆಗ್ರೇಟರ್‌ (ವೆಬ್‌ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕಾ)
• ದಿ ರೋಲ್‌ ಆಫ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಇನ್‌ ಕಾಲೇಜ್‌ ಮ್ಯಾಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್‌ Archived 2021-07-26 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. ERICDigests.orgನಿಂದ
• ಮ್ಯಾಸಚ್ಯೂಸೆಟ್ಸ್‌ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್‌ ಆಫ್‌ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯಿಂದ ಒಪ್‌ಕೋರ್ಸ್‌ವೇರ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ Archived 2010-05-05 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.
• ಇನ್ಫೈನೈಟೆಸಿಮಲ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ - ಎನ್ಸೈಕ್ಲೊಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್‌ ಮ್ಯಾಥಮಾಟಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದರ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕುರಿತು ಲೇಖನ; ಸಂಪಾದಕರು: ಮೈಕಿಲ್‌ ಹೇಜ್ವಿಂಕೆಲ್‌.
• ನೊಟ್ರೆ ಡೇಮ್‌ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಿಂದ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌ ಆಫ್‌ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ II ಫಾರ್‌ ಬ್ಯುಸಿನೆಸ್‌, ಒಪೆನ್‌ಕೋರ್ಸ್‌ವೇರ್‌ - ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತರಮುಖಯುಳ್ಳ ಆಪ್ಲೆಟ್‌ಗಳ ಸಹಿತ.
• ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್‌ ಫಾರ್‌ ಬಿಗಿನ್ನರ್ಸ್‌ ಅಂಡ್‌ ಆರ್ಟಿಸ್ಟ್ಸ್‌ ಲೇಖಕರು: ಡೇನಿಯಲ್‌‌ ಕ್ಲೇಟ್ಮನ್‌, MIT