ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಂಶಿಕ ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿವೆ. ಇವು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಅಭಿಜಾತ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯತೆ, ಅಭಿಜಾತ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುನ್ಮಂಡಲಗಳ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಪಾದನೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮೋಟರ್‌ಗಳು, ನಿಸ್ತಂತು ಸಂವಹನ, ಮಸೂರಗಳು, ರೇಡಾರ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ವಿದ್ಯುತ್, ದೃಗ್ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತುರೇಡಿಯೊ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಆವೇಶಗಳು, ಪ್ರವಾಹಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಹೇಗೆ ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಏರಿಳಿಯುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ (c) ("ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ") ಹೇಗೆ ಹರಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವು ತೋರಿಸಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ತರಂಗಗಳು ರೇಡಿಯೊ ತರಂಗಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಗಾಮಾ ಕಿರಣಗಳವರೆಗೆ ರೋಹಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ವಿವಿಧ ತರಂಗಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಅವರು 1861 ಮತ್ತು 1862 ರ ನಡುವೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಬೆಳಕು ಒಂದು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿದ್ಯಮಾನ ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲೂ ಅವರು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಬಳಸಿದರು.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮನ್ವಿತ (ರ‍್ಯಾಷನಲೈಜ್ಡ್) MKSA ಏಕಮಾನಪದ್ಧತಿ ಹಾಗೂ SI ಏಕಮಾನಪದ್ಧತಿಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಬಂಧಿತ ಆವೇಶ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹ

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮೈಕ್ರೋಸ್ಕೋಪೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅವು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಿವೆ. ಅವು ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಆವೇಶ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳು ಸೇರಿವೆ. "ಸ್ಥೂಲಗೋಚರ" ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಮಾಣು ಪ್ರಮಾಣದ ಆವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಗಿರಕಿಗಳಂತಹ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಿರದೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದೊಡ್ಡ-ಪ್ರಮಾಣದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಸಹಾಯಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ವಸ್ತುಗಳ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಇಂದ್ರಿಯಗೋಚರಾನುಭವವಾದದ ವಿವರಣೆಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

"ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‍ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಪದವನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಸಮಾನ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ವಿಭವಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಹವ್ಯತ್ಯಯಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು (ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ದೇಶ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಬದಲಾಗಿ ದೇಶಕಾಲದ ಮೇಲೆ) ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಾಗಿದ ದೇಶಕಾಲದಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾದ ಬೆಳಕಿನ ಅಚರ ವೇಗಕ್ಕೆ ಎಡೆ ಮಾಡಿಕೊಡಲು ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಚಲನೆ ಮಾತ್ರ ಭೌತಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತತ್ತ್ವದೊಂದಿಗೆ.

20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿದ್ಯುದ್ಬಲವಿಜ್ಞಾನದ ಮೂಲಭೂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿಜಾತ ಮಿತಿ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‍ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥಗಳು

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಈ ಎಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರು ಗೌಸ್ (ಕೂಲಂಬ್), ಫ್ಯಾರಡೆ ಮತ್ತು ಆಂಪಿಯರ್ ಮಾಡಿದ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು.

ಆದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಆಂಪಿಯರ್‌ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ (4 ನೇ ಸಮೀಕರಣ) ಒಂದು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ - ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪ್ರವಾಹ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

1. ಸ್ಥಿರ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಗೌಸ್‌ನ ನಿಯಮ

2. ಸ್ಥಿರ ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಗೌಸ್‌ನ ನಿಯಮ

3. ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ (ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಹೇಳುವ ಫ್ಯಾರಡೆ ನಿಯಮವು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ

4. ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ) ಎಂದು ಹೇಳುವ ಆಂಪಿಯರ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ನಿಯಮವು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ

3 ಮತ್ತು 4 ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು (ಬೆಳಕಿನಂತಹ) ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರವು ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಂಯೋಜನೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಚಕ್ರವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗದ ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲಕ ಹರಡುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣ (ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಥವಾ ನಿರ್ವಾತ ಆವೃತ್ತಿ)

ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವೇಶ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹ ವಿತರಣೆಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕೃತಿ ನಿಯಮವಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲ ನಿಯಮವು ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರವು ಆವೇಶಿತ ಕಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಆದರೆ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ ಈಗ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಲಿವರ್ ಹೆವಿಸೈಡ್ ಕಾರಣದಿಂದ ಬಂದಿರುವ ಕೆಳಗಿನ ಸದಿಶ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ರೂಪನಿಷ್ಠೆಯು ಈಗ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಾಗಿ x, y, z ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಮೂಲ 20 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿವೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ವಿಕಲನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅನುಕಲನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ದೇಶದ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದೊಳಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಗಡಿಯ ಮೇಲಿನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಆವೇಶಗಳು ಹಾಗೂ ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ (ಕಡಿಮೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ) ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ B = ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ (ಇದು ಒಂದು ಹುಸಿ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ); E = ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಇದು ಒಂದು ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ); ρ = ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಗಾತ್ರ ಸಾಂದ್ರತೆ; J = ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯುತ್‍ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆ; t = ಕಾಲ

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೆಂದರೆ (ಮೊದಲ ಎರಡು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಸ್‌ಐ ಏಕಮಾನಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ:

• ಮುಕ್ತ ದೇಶದ ವಿದ್ಯುತ್‍ಶೀಲತೆ, ε₀, ಮತ್ತು
• ಮುಕ್ತ ದೇಶದ ವ್ಯಾಪ್ಯತೆ, μ₀, ಮತ್ತು
• ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ, $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ,

• ನ್ಯಾಬ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆ, ∇, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಾಟ ಕ್ರಿಯಾಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಡೆಲ್,
• ∇⋅ ಚಿಹ್ನೆ ("ಡೆಲ್ ಡಾಟ್" ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಪಸರಣ ಕ್ರಿಯಾಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ,
• ∇× ಚಿಹ್ನೆ ("ಡೆಲ್ ಕ್ರಾಸ್" ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕರ್ಲ್ ಕ್ರಿಯಾಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಮುಚ್ಚಿದ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ. ಎಫ್ ಇ ಅಥವಾ ಬಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಮತ್ತೆ, n ಯುನಿಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. (ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸುರುಳಿ ಅಕ್ಷರಶಃ "ಪ್ರಸರಣಗಳು" ನಂತೆ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ)

ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ,

• ಆವೃತ ಗಡಿ ಮೇಲ್ಮೈ ∂Ω ಯೊಂದಿಗೆ Ω ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು
• ಆವೃತ ಗಡಿ ಬಾಗು ∂Σ ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ Σ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದರೆ ಅದು ಕಾಲಾಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಲ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಿ, ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕಾಲ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫ್ಯಾರಡೆ ಅವರ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ ಅನುಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಲನವನ್ನು ತರಬಹುದು:

${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,$

ವಿಕಲನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಗೌಸ್ ಹಾಗೂ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಕಾಲ-ಅವಲಂಬಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಹಾಗೂ ಪರಿಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು.

• ${\scriptstyle \partial \Omega }$ ಇದು ಗಡಿ ಮೇಲ್ಮೈ ∂Ω ಮೇಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಕಲನವಾಗಿದೆ, ಕುಣಿಕೆಯು ಮೇಲ್ಮೈ ಮುಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ
• $\iiint _{\Omega }$ ಪರಿಮಾಣ Ω ಮೇಲಿನ ಪರಿಮಾಣ ಅನುಕಲನವಾಗಿದೆ,
• $\oint _{\partial \Sigma }$ ಇದು ಗಡಿ ಬಾಗು ∂Σ ಸುತ್ತಲಿನ ರೇಖಾ ಅನುಕಲನವಾಗಿದೆ , ಬಾಗು ಮುಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ಕುಣಿಕೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
• $\iint _{\Sigma }$ ಇದು ಮೇಲ್ಮೈ Σ ಮೇಲಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲನವಾಗಿದೆ,
• Ω ದಲ್ಲಿ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯುತ್ ಆವೇಶ Q ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ρ ನ Ω ಮೇಲಿನ ಪರಿಮಾಣ ಅನುಕಲನವಾಗಿದೆ:

$Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,$ ಇಲ್ಲಿ dV ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

• ನಿವ್ವಳ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹ I ಸ್ಥಿರ ಮೇಲ್ಮೈ Σ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆ J ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಅನುಕಲನವಾಗಿದೆ:

$I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$

ಕಾಂತೀಯತೆಗೆ ಗೌಸ್‌ನ ನಿಯಮ: ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರದ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಕುಣಿಕೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಅನಂತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರವಾಹದ ವರ್ತುಲದಿಂದ ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ dS ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ S ನ ವಿಕಲನ ಸದಿಶ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮೇಲ್ಮೈ Σ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. (ಸದಿಶ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ S ಬದಲಾಗಿ A ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಕಾಂತವಿಭವದ ಸಂಕೇತನದೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಸ್‌ಐ ಏಕಮಾನಗಳ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣ

ಹೆಸರು	ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು	ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಗೌಸ್ ನಿಯಮ	${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
ಕಾಂತೀಯತೆಗೆ ಗೌಸ್‌ನ ನಿಯಮ	${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್-ಫ್ಯಾರಡೆ ಸಮೀಕರಣ (ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಚೋದನಾ ನಿಯಮ)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
ಆಂಪೇರ್‌ನ ವಿದ್ಯುನ್ಮಂಡಲ ನಿಯಮ (ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‍ನ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ)	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\left(\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{aligned}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‍ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ

ಸ್ಥಾಯೀ ವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಗುಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ, Q ಕೂಲಾಂಬ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ (ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಕೊಂಡು) r ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಬಲ E ವೋಲ್ಟ್ / ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದಿದೆ: $$\mathbf {E} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|^{2}}}$$ ....... (1)

ಇಲ್ಲಿ $\mathbf {\hat {r}} _{12}=$ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿಯ ಏಕಮಾನ ಸದಿಶ (ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್). ಏಕಮಾನ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣದ (ಒಂದು ಕೂಲಾಂಬ್) ಮೇಲೆ ಉಂಟಾಗುವ ಬಲವನ್ನು E ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ E ಯನ್ನು ಆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ. E ರೇಖೆಗಳು ಧನವಿದ್ಯುತ್ತಿನಿಂದ ಹೊರಟು ಋಣವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು ಸೇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಧನ ಇಲ್ಲವೇ ಋಣವಿದ್ಯುತ್ತು ಒಂದನ್ನೇ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ E ರೇಖೆಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಇಲ್ಲವೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳು) E ಯಿಂದಾಗಿ ಚಲಿಸಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಉಂಟು ಮಾಡಲು ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕಬಲವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುವಂಥ ಸಾಧನಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕೋಶಗಳು) ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕಬಲ E ಯನ್ನು ವೋಲ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯುವುದಿದೆ. ಏಕಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದಲ್ಲಿಯ (ಯೂನಿಟ್ ಏರಿಯ) E ರೇಖೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ ಆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಿರ್ದ್ರವ್ಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ (ಇಲ್ಲವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾತಾವರಣಕ್ಕೆ) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ε₀ = ನಿರ್ದ್ರವ್ಯದ ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ. ನಿರ್ದ್ರವ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೊಧಕ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿಯ (ಅನಿಲ, ದ್ರವ ಇಲ್ಲವೆ ಘನವಸ್ತು) ವಿದ್ಯುತ್‌ಕ್ಷೇತ್ರಬಲವನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿಯ ε₀ ಗೆ ಬದಲಿಗೆ ε₀ ε_r ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದಿದೆ. ε_r = ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಥಿರಾಂಕ. ಇದಕ್ಕೆ ವಸ್ತುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿರೋಧಕತ್ವ (ರಿಲೆಟಿವ್ ಪರ್ಮಿಟಿವಿಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ನಿರ್ದ್ರವ್ಯದ (ಇಲ್ಲವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಯುವಿನ) ಸ್ಥಿರಾಂಕ -1.

ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತು E ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರುವಾಗ, ವಸ್ತುವಿನ ಪರಮಾಣುಗಳ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳು (ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳು) ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ಹೊಂದುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತುವಿನ ಧ್ರುವೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ D = ε₀E ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ (ಅಥವಾ ಆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿಯ) ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದ್ರವ್ಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ D = ε₀E.

ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ E ಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಂತೆ D ರೇಖೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುವುದಿದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ E ಮತ್ತು D ಗಳ ಅಭಿವಾಹವನ್ನು (ಫ್ಲಕ್ಸ್) ಗುರುತಿಸುವುದುಂಟು. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ E ಮತ್ತು D ಗಳು ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲದೆ ಇನ್ನಿತರ ಕೆಲವು ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸವುದಿದೆ. ಈ ಸದಿಶಗಳು ಸ್ಥಾನವ್ಯತ್ಯಾಸ ದರಗಳನ್ನೂ ಕಾಲವ್ಯತ್ಯಾಸದರಗಳನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಏರಿಳಿತಗಳು ಒಂದೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಇರಬಲ್ಲವು. ಮೂರು ಸ್ಥಾನದರ ಏರಿಳಿತಗಳು $\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಲದರ ಏರಿಳಿತವನ್ನು $\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)$ ಬಳಸಿ ಸದಿಶದ ಒಟ್ಟು ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. x, y, z ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು ಆಗಿರಲಿ. ಸದಿಶಗಣಿತದಲ್ಲಿ x, y, z ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ i, j, k ಗಳು ಏಕಮಾನ ಸದಿಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಾನದರ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಾಗ ಡೈವ್ $\nabla$ - ಮತ್ತು ಕರ್ಲ್ $\nabla$ X (div ಮತ್ತು curl) ಎಂಬ ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳನ್ನು (ಆಪರೇಟರ್ಸ್) ಉಪಯೋಗಿಸುವುದಿದೆ. ಇವನ್ನ ಬಳಸಿದಾಗ ಎರಡು ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನದರ ಏರಿಳಿತಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. $\nabla$ . D ಮತ್ತು $\nabla$ . X ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನದರ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

Q ಕೂಲಾಂಬ್ ವಿದ್ಯುತ್‌ಪರಿಮಾಣ E ಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದಾಗ ತತ್ಫಲವಾಗಿ D ಯು ಅಭಿವಾಹಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಷ್ಟೇ. D ಮತ್ತು E ಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಯೀ ವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸದಿಶಗಣಿತದ ಗೌಸನ ಅಪಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವುದುಂಟು. Q ಪರಿಮಾಣದ ವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು ಆವರಿಸಿರುವ S ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. S ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೂಲಕ E ರೇಖೆಗಳ ಅಭಿವಾಹ (ಹೊರಗಿನಿಂದ ಒಳಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲವೆ ಒಳಗಿನಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ) ಇರುತ್ತದೆ. E ರೇಖೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು Q ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣದ ಸಂಬಂಧ ನಿರ್ದ್ರವ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಮುಂದಿನಂತಿದೆ.

$\iint E.dS=_{s}\phi E.dS={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ .......(2)

E.dS = EdS cosθ

ಇಲ್ಲಿ dS = ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಎಡಬದಿಯ ಸಮಾಸಕಲನ ಇಡೀ ಕ್ಷೇತ್ರ S ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (2) ರಲ್ಲಿ Q ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರೋಢೀಕರಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ S ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲವೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರ ಆವರಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳದ ಗಾತ್ರ V ಯಲ್ಲಿ ಹರಡಿಕೊಂಡಿರಲೂಬಹುದು. ವಿದ್ಯುತ್‌ಪರಿಮಾಣದ ಗಾತ್ರಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ρ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ Q ಮತ್ತು ρ ಗಳ ಸಂಬಂಧ

$Q=\iiint \rho \,dv=\int \limits _{v}\rho \,dv$ .........(3)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ dv ಚಿಕ್ಕ = ಗಾತ್ರ. (2) ನೆಯ ಮತ್ತು (3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಜೊತೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದಾಗ

$_{s}\phi E.dS=1/\epsilon _{0}\int \limits _{v}\rho \,dv$ ..........(4)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ D = ε₀E (ಇಲ್ಲವೇ ε₀ε_rE) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

$_{s}\phi D.dS=\int \limits _{v}\rho \,dv$ ..........(5)

ಸದಿಶಗಣಿತದ ಗೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯ D, dS ಮತ್ತು v ಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.

$_{s}\phi D.dS=\int \limits _{v}\nabla .D\,dv$

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಾಗ (5) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ

$_{s}\phi \nabla .Ddv=\int \limits _{v}\rho \,dv$

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರದೇಶ dv ಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದರಿಂದ

$\nabla .D=\rho$ ...........(6)

ಸಮೀಕರಣ (6) ನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್‌ನ ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲೇ ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ಥಾಯೀವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿತ್ತು.

ಸ್ಥಾಯೀ ವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ $\nabla .D=\rho$ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಥಾಯೀ ಕಾಂತತ್ವದ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಕಾಂತದ ಧ್ರುವಶಕ್ತಿಯ (m) ಸಲುವಾಗಿ (Q ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರಮಾಣದಂತೆ), ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರಬಲ H (E = ಇರುವಂತೆ) ಇರುತ್ತದೆ.

H = m / 4πμ₀r² ..........(7)

ಇಲ್ಲಿ μ₀ = ನಿರ್ದ್ರವ್ಯದ ಪಾರಗಮ್ಯತೆ (ಪರ್ಮಿಯಬಿಲಿಟಿ). ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಧ್ರುವೀಕರಣ ಉಂಟಾಗಿ, ಇದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ D ಇರುವಂತೆ, ಕಾಂತೀಯ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯಪ್ರೇರಕತ್ವ B ಇರುತ್ತದೆ. B ಮತ್ತು H ಗಳ ಸಂಬಂಧ

B = μ_rμ₀H

ಸ್ಥಾಯೀವಿದ್ಯುತ್‌ನಲ್ಲಿ ಧನವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣ (+Q) ಇಲ್ಲವೆ ಋಣವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು (-Q) ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ E ಬಲರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವುದು (+Q ನಿಂದ) ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವುದು (-Q) ಸಾಧ್ಯ ಇದೆ. ಆದರೆ ಕಾಂತತ್ವ ಪ್ರಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಕಾಂತದಲ್ಲೂ ಧನಕಾಂತಧ್ರುವ (+m) ಮತ್ತು ಋಣಕಾಂತಧ್ರುವಗಳು (-m) ಜೊತೆಜೊತೆಯಾಗೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಧನ, ಋಣಕಾಂತಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ಎನ್ನುವುದು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ

$\int \limits _{\grave {A}}H.dS=1/\mu _{0}(m-m)=0$ ...........(8)

ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ H ನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತೆ ಬರೆದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (6) ನ್ನು ಬರೆಯುವಂತೆಯೇ (8) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

$\nabla .B=0$ ............(9)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದೇ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರೇರಣೆ B ಯು S ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದಾಗ B ಮತ್ತು S ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಕಾಂತೀಯಪ್ರೇರಣಾ ಅಭಿವಾಹ (φ) ಎಂದು ಹೆಸರು. φ ನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ B ರೇಖೆಗಳು S ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರರಬೇಕು. S ಕ್ಷೇತ್ರದ ಲಂಬ ಸದಿಶ n ಮತ್ತು B ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ θ ಆಗಿದ್ದರೆ

φ = BS cos θ = B.S

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ B ತಂತ್ರವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಕ. ವಿದ್ಯುತ್‌ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹದಿಂದ, ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ ಉಂಟಾಗುವುದು ಎಂದು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ ಆಂಡ್ರೆ ಆಂಪೇರ್ (1775-1836) ಎಂಬವ ಸೂತ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ. ಇದರ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸುವ ಕಾಂತವೊಂದು ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಉಂಟುಮಾಡುವುದು; ಇಲ್ಲವೆ ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಚಲಿಸುವ ವಿದ್ಯುತ್ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಉಂಟಾಗುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ ಮೈಕಲ್ ಫ್ಯಾರಡೆ (1791-1867) ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ. ಈ ಎರಡು ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ, ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯ ಇರುವುದು ಆಂಪೇರ್ ಫ್ಯಾರಡೆಯರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇವರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಸ್ಥೂಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ಅರಿಯುವುದು ಉಚಿತ.

ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಉಂಟಾಗುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ವಿದ್ಯುದೊತ್ತಡ ಅಥವಾ ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕ ಬಲ. ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ E ವೋಲ್ಟ್ ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕ ಬಲವನ್ನು A, B ಗಳ ನಡುವೆ ಅಳವಡಿಸಿದೆ. ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ I ಆಂಪೇರ್. ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವಿರುವಾಗ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಗೆ ಕಾರಣವಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಬಲ ε ಪರಿಧಿ t ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕ ಬಲ Eಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸದಿಶಗಣಿತದ ರೀತ್ಯ

$\epsilon =\int \limits _{A}^{B}E.dl$ ...........(10)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ABಯು ಪರಿಧಿಯ ಉದ್ದ l ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Edl ಪರಿಮಾಣ ಏಕಮಾನ ವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು, E ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ dl ದೂರದಷ್ಟು ಸರಿಸಲು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದ ಸಮಾಸಕಲ ಏಕಮಾನ ವಿದ್ಯುತ್ತನ್ನು ಪರಿಧಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಲು ವ್ಯಯಿಸಬೇಕಾಗುವ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕಬಲ ಇಲ್ಲದಿರುವಾಗ ABಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

$\int \limits _{A}^{B}E.dl=\phi E.dl=0$ ...........(11)

ವಿದ್ಯುತ್‌ಕ್ಷೇತ್ರ E ಮತ್ತು ಕಾಂತಕ್ಷೇತ್ರ H ಗಳ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ಹೇಳಿದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (10) ರಲ್ಲಿ Eಗೆ ಬದಲು Hಅನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ ಆ ಪರಿಮಾಣ ಕಾಂತಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾಂತಚಾಲಕಬಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾಂತಪರಿಧಿ ಎಂಬುದು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಂತಚಾಲಕ ಬಲ ಎಂಬುದು ಆಂಪೇರನ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರೆದ ಪರಿಧಿಗೆ

φ H.dl = I ಆಂಪೇರುಗಳು .............(12)

ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದ ಸಮಾಸಕಲ ಏಕಮಾನ ಕಾಂತಧ್ರುವವನ್ನು ಕಾಂತಪರಿಧಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಬೇಕಾಗುವ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನು (I ಆಂಪೇರ್) ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪರಿವೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ಕಾಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ದರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿದೆ. ವಿದ್ಯುದ್ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಸ್ಥಳದ ಮೂಲಕ dQ ಪರಿಮಾಣದ ವಿದ್ಯುತ್ತು dt ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವಹಿಸಿದರೆ, ಆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿಯ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ $I={\frac {dQ}{dt}}$ ಆಂಪೇರುಗಳು ಆಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುದ್ವಾಹಕದ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ds ಆಗಿದ್ದಾಗ, ವಾಹಕದಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹದ ಸಾಂದ್ರತೆ j = I/ds ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (12)ರಲ್ಲಿ j ಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಾಗೂ S ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದ t ಪರಿಧಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ

$_{I}\phi \,H.dl=\int \limits _{S}j.dS$ .............(13)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಸದಿಶಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ

$_{I}\phi \,H.dl=\int \limits _{S}(\nabla \times H).dS$ ............(14)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (13) ಮತ್ತು (14)ನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ

$\int \limits _{S}(\nabla \times H).dS=\int \limits _{S}j.dS$

ಎಂಬುದು ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ

$\nabla \times H=j$ ............(15)

ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲ-ದರ ∂/∂t ಇದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ. ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಅನ್ವಯ ಆಗುವುದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಇದನ್ನು ಯುಕ್ತವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ್ದೇ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಶೋಧನೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಧಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

MN ಸಂಧಾರಿತ್ರವನ್ನು (ಕೆಪಾಸಿಟರ್) ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕ ಬಲದ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಲೋಹದ ತಂತಿ W ದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದೆ. M,N ಗಳು ಸಂಧಾರಿತ್ರದ ಫಲಕಗಳು. M ಫಲಕವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದ v ಗಾತ್ರದ ಜಾಗದ ಹೊರಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ S. ಈ ಹೊರಮೈಯಲ್ಲಿ I ಪರಿಧಿ ಇದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ ಗುಂಡಿ K ಯನ್ನು ಒತ್ತಿದಾಗ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳು (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳು) ಸಂಧಾರಿತ್ರದ ಫಲಕವನ್ನು ಸೇರುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣ (13)ರ ಆಂಪೇರ್ ತತ್ತ್ವವನ್ನು S ಮತ್ತು I ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ

$_{I}\phi \,H.dl=\int \limits _{S}j.dS$

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ t ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿ ಕಿರಿದುಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರಿಧಿ t = 0 ಆಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ S ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

$_{S}\phi \,j.dS=0$ ...........(16)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಅರ್ಥ ಇಷ್ಟು: S ಜಾಗವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಶೂನ್ಯ. ಅಂದರೆ, S ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಹೊಕ್ಕ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ S ನಿಂದಲೇ ಹೊರಬರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಎಂದರೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಚಲನೆ ಎಂದೂ ಇದು ವಹನವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಎಂದೂ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದೆ. ವಹನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳು ವಿದ್ಯುದ್ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ (W ತಂತಿ) ಇರುತ್ತವೆಯೇ ಹೊರತು ಸಂಧಾರಿತ್ರದ ವಿದ್ಯುತ ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣ (16)ರಲ್ಲಿ ಸಂಧಾರಿತ್ರದ M ಫಲಕವನ್ನು ತಲುಪುವ ವಹನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳು) S ಮೂಲಕ ಹರಿದು N ಫಲಕವನ್ನು ತಲುಪುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (16) ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈ ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದ ಗೌಸ್ ತತ್ತ್ವವನ್ನು [ಸಮೀಕರಣ t (5) v ಮತ್ತು S ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ (v ಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಮಾಣದ ಘನ ಸಾಂದ್ರತೆ p ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದೆ)

$\int \limits _{v}p\,dv=_{S}\phi \,D.dS$ ...............(17)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

v ನಲ್ಲಿ ವಹನ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, p ನ ಕಾಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ದರವನ್ನು (∂p/∂t) ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (17) ರಿಂದ

$\int \limits _{v}{\frac {\partial }{\partial t}}p\,dv=\int \limits _{S}{\frac {\partial }{\partial t}}(D.dS)$ ..............(18)

ಒದಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಎರಡು ತತ್ತ್ವಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲನೆಯದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾ ಸಮೀಕರಣ (ಈಕ್ವೇಷನ್ ಆಫ್ ಕಂಟಿನ್ಯುಯಿಟಿ). ಇದರ ರೀತ್ಯ ಆವರಣದೊಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಕಣಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ p ನ ಕಾಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ದರವು ಆವರಣ ಮೈಯಿಂದ ಹೊರ ಬರುವ ಕಣಗಳ ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ (j) ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಆವರಣದೊಳಗೆ ಕಣಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ ಅವಿರತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲವೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ವಸ್ತುಸ್ಥಾಯಿತ್ವ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಈ ನಿಯಮದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನ ಅವಿರತ ಹೆಚ್ಚಳ ಇಲ್ಲವೆ ವ್ಯಯ ಎಂಬುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ತತ್ತ್ವಗಳಿಂದ, v ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ (ಇಲ್ಲವೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ) ಘನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ದರ, S ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಿಂದ ಹೊರಬರುವ (ಇಲ್ಲವೆ ಒಳಹೋಗುವ) ಕಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಲೇಬೇಕು. ಇದರಿಂದಾಗಿ

$\int \limits _{v}{\frac {\partial }{\partial t}}dv=_{S}\phi \,j.dS$ ...............(19)

ಬಲಭಾಗದ ಋಣಚಿಹ್ನೆ (-) ಒಳಹೊಗುವ p ವನ್ನು ಹೊರಬರುವ j ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದೆ. ಈಗ (18)ನೆಯ ಮತ್ತು (19)ನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ

$\int \limits _{S}{\frac {\partial }{\partial t}}(D.dS)=-\int \limits _{S}j.dS$

ಆದ್ದರಿಂದ $\int \limits _{S}\left(j+{\frac {\partial D}{\partial t}}\right).dS=0$ ...............(20)

ಇದು ಈ ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣ (16)ರ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ M ಫಲಕವನ್ನು ಆವರಿಸಿರುವ S ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಒಳಹೋಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹದ ಸಾಂದ್ರತೆ j ಯು, ಆವರಣದೊಳಗಿನಿಂದ ಹೊರಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹದ ಸಾಂದ್ರತೆ ${\frac {\partial D}{\partial t}}$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ∂D/∂t ಯನ್ನು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ (ಡಿಸ್‌ಪ್ಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್ ಕರೆಂಟ್) ಎಂದು ಕರೆದ.

ಭೌತಿಕವಾಗಿಯೂ ಇದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ D ಯು ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕದಲ್ಲಿನ ಪರಮಾಣುಗಳ ವಿದ್ಯುತ್‌ಕಣಗಳ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದಿಂದ (R) ಉಂಟಾಗುವುದರಿಂದ ${\frac {\partial D}{\partial t}}$ ಯಲ್ಲಿ ${\frac {\partial R}{\partial t}}$ ಯು ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕ ಧ್ರುವೀಕರಣ ಹೊಂದಿದಾಗ ಜರುಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಿ, ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣ (20)ರಿಂದ ಆಂಪೇರ್ ತತ್ತ್ವವನ್ನು (ಸಮೀಕರಣ 13) ಸೂತ್ರರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ವಹನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೆ, ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ, ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಇಲ್ಲವೆ ಎರಡೂ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹಗಳು ಇರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ವಿದ್ಯುಚ್ಛಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವಹನ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವೇ ಪ್ರಧಾನ. ಆಂಪೇರ್ ತತ್ತ್ವದ ಸಮೀಕರಣ (12)ರಂತೆ

$_{l}\phi \,H.dI=\int \limits _{S}\left(j+{\frac {\partial D}{\partial t}}\right).dS$

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಮೀಕರಣ (15)ನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ ಬರೆಯುವುದಿದೆ. ಇದು

$\nabla \times H=j+{\frac {\partial D}{\partial t}}$ ..............(21)

ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಮೂರನೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಮುಖ್ಯ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣ. ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವೂ ಇಷ್ಟೇ ಮಹತ್ತ್ವದ್ದು.

ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿಯೂ ಈ ಮುಂದಿನ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಈ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಧಾರಿತ್ರದ MNಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಮಾಪಕ G ಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಸಂಪರ್ಕ ಮೊಳೆ k ಯ ಅಲಗು AB ತಂತಿಯ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಏರ್ಪಡಿಸಿದೆ. G ಮಾಪಕದ ಸೂಚಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಪಕದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದು ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಇರುವಾಗ ಎಡಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲವೆ ಬಲಕ್ಕೆ (ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ದಿಕ್ಕು ಬದಲಾದಂತೆ) ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

AB ತಂತಿಯ ಮೇಲೆ k ಯು ತಟಸ್ಥವಾಗಿದ್ದಾಗ G ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. K ಯನ್ನು AB ಗೆ ತಾಗಿಸಿ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ G ಯ ಸೂಚಿ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. K ಚಲಿಸದಿದ್ದಾಗ, ಧ್ರುವೀಕರಣ ಹೊಂದಿದ ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧಕದಲ್ಲಿನ (MN ನಲ್ಲಿ) ಪರಮಾಣುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾಣೆಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. K ಚಲಿಸಿದಾಗ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿನ E ಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಧ್ರುವೀಕೃತ ಪರಮಾಣುಗಳ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಣಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆ ${\frac {\partial D}{\partial t}}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು G ಮಾಪಕ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಂಪೇರ್ ಪ್ರಯೋಗದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಯೋಗ ಎಂದರೆ ಫ್ಯಾರಡೆ ನಡೆಸಿದ ಕಾಂತ ಕ್ಷೇತ್ರವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಪ್ರಯೋಗ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾಂತೀಯಪ್ರೇರಣೆ ಅಭಿವಾಹದಲ್ಲಿಯ ಕಾಲವ್ಯತ್ಯಾಸ ದರ ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}$ ಯಿಂದಾಗಿ φ ಯನ್ನು ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಿದ ವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕಬಲ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯುಚ್ಚಾಲಕ ಬಲದ ದಿಕ್ಕು ∂φ/∂t ಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆಯೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

ಫ್ಯಾರಡೆಯ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂತ್ರರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ

$\epsilon ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}$ ..........(22)

ಕಾಂತೀಯಪ್ರೇರಣೆ ಅಭಿವಾಹ φ =B.S

ಆದ್ದರಿಂದ $\epsilon ={\frac {\partial {\dot {}}{\dot {}}B}{\partial t}}.S=\int \limits _{S}-{\frac {\partial B}{\partial t}}.dS$

ಸಮೀಕರಣ (10) ರಿಂದ

$\epsilon =_{l}\phi E.dI=-\int \limits _{S}{\frac {\partial B}{\partial t}}.dS$ ................(23)

ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಾಗ

$_{l}\phi E.dI=\int \limits _{S}(\nabla \times E).dS=\int \limits _{S}{\frac {\partial B}{\partial t}}.dS$

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣ ಯಾವೊಂದು ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ

$\nabla \times E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$ ..............(24)

ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ.

ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ D = ε_r ε₀E, B=μ_rμ₀ H=σE; σ=ವಸ್ತುವಿನ ವಿದ್ಯುದ್ವಾಹಕತ್ವ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಮುನ್ನಡೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆಧುನಿಕ ಸಂಪರ್ಕಸಾಧನಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಮತ್ತು ಬಳಕೆಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಡಿಯೋ, ಟೆಲಿವಿಷನ್) ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ಬುನಾದಿಯಾಗಿವೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಇವು E ಮತ್ತು H ಗಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಉತ್ತರಗಳು E ಮತ್ತು H ಗಳ ಕಾಲ ಸ್ಥಾನಗಳ ಮಾರ್ಪಾಡನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಸದಿಶಗಣಿತದ ರೀತ್ಯ

$\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}$

$\nabla ^{2}H={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial t^{2}}}$

$c^{2}=1/\epsilon _{0}\mu _{0}$ ...............(25)

ಇಲ್ಲಿ $\nabla ^{2}$ ಎಂಬುದು $\nabla .$ ಮತ್ತು$\nabla \times$ ಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದು ಪರಿಕರ್ಮಿ ಸಮೀಕರಣ (೨೫) ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (x, y ಮತ್ತು z ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ) ಪ್ರವಹಿಸುವ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇವಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ವೆಲ್ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಅಲೆಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಿಟ್ಟ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Maxwell equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• Mathematical aspects of Maxwell's equation are discussed on the Dispersive PDE Wiki.

ಆಧುನಿಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳು

• Electromagnetism (ch. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
• MIT Video Lecture Series (36 × 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.

ಇತರೆ

• Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions
• Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations