ಬೀಜಗಣಿತ

algebar structures

ಬೀಜಗಣಿತವು (algebra) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಗ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಸದಿಶಗಳು ಮುಂತಾದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನೂ ಇತರ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಮಂಡಿಸಿ ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಗಣಿತ ಶಾಖೆ (ಆಲ್ಜಿಬ್ರ). ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಗಣಿತದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಅರಿವಾಗಲು ಸಾದ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ತಂತ್ರಜ್ಞರು ದಿನನಿತ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಣಿಜ್ಯ ಹಾಗೂ ಕೈಗಾರಿಕೋದ್ಯಮದಲ್ಲಿಯೂ ಬೀಜಗಣಿತ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಶಾಲಾ ಕಾಲೇಜುಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ೫ ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಾರಂಭ ಮಾಡುವರು. ನಂತರದ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನ ಬಹು ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದೈವದತ್ತವೆಂದೇ ಭಾವಿಸುವ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ಎಂಬ ಅಂಕಗಳಿಂದ ಯಾವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನೇ ಆಗಲಿ ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನೂ ಅಭ್ಯಸಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಇವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು. ವರ್ಗಮೂಲ, ಘನಮೂಲ ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಪರಿಕರ್ಮಗಳೆಂಬ ಹೆಸರು ಕೊಡಬಹುದು. ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ವಿಭಜಿಸಲು ತಕ್ಕ ಕ್ರಮ ಏರ್ಪಡಿಸಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಇವುಗಳಿಗೂ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಅಥವಾ ಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮನಗಂಡು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊದಲನೇ ಹೆಜ್ಜೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಬೆಲೆ ರೂ 5 ಆದರೆ ಅಂಥ 8 ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ರೂ 40. ಇದು ಅಂಕಗಣಿತ. x ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ರೂ y ಆದರೆ t ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ರೂ ${\frac {yt}{x}}$. ಇದು ಬೀಜಗಣಿತ. ಇಲ್ಲಿ x, y, t ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇವು ನಮಗೆ ತಿಳಿಯದಿರುವ ಯಾವುವೋ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಬೆಲೆ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುತ್ತಿರುವ ಚರಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಅನುಸರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಇಂಥ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ:

• ಸಂಕಲನ: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

ಇದು ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮ.

a + b = b + a

ಇದು ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ.

• ಗುಣಾಕಾರ: a x (b x c) = (a x b) x c = abc

ಇದು ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮ.

• a + x = b ಸಮೀಕರಣ x = b - a ಆದಾಗ ತಾಳೆ ಆಗುತ್ತದೆ. (b – a) ಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವೆಂದೂ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪರಿಕರ್ಮಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಧನೆಯೆಂದೂ ಹೆಸರು. b > a ಆದಾಗ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಇದು ಸರಿಹೋಗುವಂತೆ ಋಣಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನೂ ಮೇಲಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನೂ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (+a) – a = 0 = -a + a ಎಂಬುದರಿಂದ - a ಎಂಬ ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ. ಧನ ಮತ್ತು ಋಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮುದಾಯದಿಂದ ಧನ ಅಥವಾ ಋಣ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನೂ ನಿಯಮಗಳನ್ನೂ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಪವಾದ: ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ (0) ಭಾಗಿಸಕೂಡದು. ಆಭಾಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಬಂದೊದಗುವುದರಿಂದ ${\frac {a}{0}}$ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾರ್ವತ್ರೀಕೃತ ಅಂಕಗಣಿತ ಎಂಬ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಆರಂಭವಾಗಿ ಬೆಳೆಯ ತೊಡಗುವುದು.

ಪ್ರತೀಕಗಳು

ಕೆಲವು ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಥಮತಃ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

a x b = ab, a x b x c = abc, x x x = x³ ಇತ್ಯಾದಿ;

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

ಇಲ್ಲಿ m,n ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು m > n. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಋಣಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೂ ಸರಿದೂಗಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯೂ, a⁰ = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯೂ ಜನಿಸುತ್ತವೆ. m, n ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದಲ್ಲಿ a^m.a^m. . . . n ಸಲ = (a^m)ⁿ = a^mn ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ $\left(a^{\frac {1}{2}}\right)^{2}=a$  ಆದ್ದರಿಂದ $a^{\frac {1}{2}}$ ಎಂಬುದು a ಯ ವರ್ಗಮೂಲ. ಹೀಗೆಯೇ $a^{\frac {1}{3}}$ ಎಂಬುದು a ಯ ಘನಮೂಲ ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ಭಿನ್ನಾಂಕ ಘಾತಗಳು (fractional power) ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುತ್ತವೆ. ಅನಂತರ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಮೇಲಿನ ಘಾತ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುವಂತಾಗುತ್ತವೆ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಅನೇಕ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿಂದಲೂ ಅವುಗಳ ಮೇಲಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಂದಲೂ ದೊರೆಯುವ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

a + b - c + d

$a^{2}+b^{3}+c^{2}d^{2}-cd^{\frac {1}{2}}$

${\frac {abc^{\frac {2}{3}}}{a^{\frac {1}{2}}+b+c^{-1}}}$

ಎರಡು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲಕ್ರಿಯೆಗೂ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿಯಾಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಯೇ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

(a + b) (c + d) (e + f) = ace + ade + bce + bde + fae + fad + fbc + fbd

ಒಂದೊಂದು ಆವರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೊಂದು ಪದ ಆಯ್ದು ಗುಣಿಸಿ ಬರುವ ಪದಗಳ ಸಂಕಲನವೇ ಈ ಗುಣಲಬ್ಧ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿತರಣ ನಿಯಮ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಮುಖ್ಯವೂ ಜ್ಞಾಪಕದಲ್ಲಿಡಬೇಕಾದವೂ ಆಗಿವೆ.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² – b² = (a + b)(a – b)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವುಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತ ಹೇಗೆ ಸುಲಭಗೊಳ್ಳುವುದೆಂಬುದರ ಮೂಲಕ ತಿಳಿಯುವುದು: 999 x 999 ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವುದರ ಬದಲು (1000-1)² = 1000000 - 2000 + 1 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಹೀಗೆಯೇ 708 x 692 = (700+8) (700-8) = 49000 - 64, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಬಹುಪದೀಯ

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೇ ಘಾತಗಳಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಪದ ಮಿಶ್ರಣದ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು ಆ ಅಜ್ಞಾತದ ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ಅಜ್ಞಾತವಿದ್ದಾಗ ಅದರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿ,

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + …. + a_n

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಬಹುಪದೀಯ (ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿದ್ದರೂ ಅವನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

(a₀xⁿ + a₁x^n-1y + a₂x^n-2y² + ….+ a_nyⁿ) + (b₀x^n-1 + b₁x^n-2y + …. b_ny^n-1) + ….

ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪದದಲ್ಲಿರುವ ಅಜ್ಞಾತಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಆ ಪದದ ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಲ್ಲ ಪದಗಳೂ ಒಂದೇ ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು ಸಮಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಹೊಮೊಜೀನಿಯಸ್ ಎಕ್‌ಸ್ಪ್ರೆಶನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಡಿಗ್ರಿ n. ಎರಡನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವುದರ ಡಿಗ್ರಿ n-1 ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ n ಮತ್ತು (n-1) ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಘಾತೀಯವಾಗಿವೆ.

ಈಗ f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + …. + a_n ಎಂಬ n ಡಿಗ್ರಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು (x - α) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ f(α) ಶೇಷವಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. f(α) ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ (x - α) ಎಂಬುದು f(x) ನ ಅಪವರ್ತನ ಆಗುತ್ತದೆ. a₀, a₁, …., a_n ಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದಾಗ, ಅನೇಕ ವೇಳೆ, f(x) ನ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಭಾಗಾಹಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ (n-1) ಡಿಗ್ರಿಯ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದ್ದರಿಂದ f(α) ಶೂನ್ಯವಾದಾಗ f(x) = (x-α)φ(x). ಇಲ್ಲಿ φ(x) ಎಂಬುದು (n-1) ಡಿಗ್ರಿ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಪವರ್ತನ (x-β) ಆಗಿದ್ದರೆ φ(x) = (x-β)ψ(x). ಈ ಪ್ರಕಾರ f(x) ಗೆ ಸಮಘಾತದ n ಅಪವರ್ತನಗಳಿರಬಹುದು. ಆಗ f(x) = a₀(x-α₁) (x-α₂) …. (x-α_n) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಮುನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು ವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ತನಕ ಧನ ಅಥವಾ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯಾಸಮುಚ್ಚಯಕ್ಕೆ ಕರಣಿಗಳು (ಸರ್ಡ್ಸ್) ಅಥವಾ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಇರ‍್ಯಾಶನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಎಂಬವನ್ನೂ ಮಿಥ್ಯಾಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ (ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ನಂಬರ್ಸ್) ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ n ಡಿಗ್ರಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯಕ್ಕೆ n ಅಪವರ್ತನಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಸಾಧನೆ ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಗಣಿತವಿದರು ಶತಮಾನಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಪಟ್ಟು ಕಷ್ಟಪಟ್ಟರು. ಗೌಸ್ (1777-1855) ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತ ಧೀಮಂತ ಪ್ರಥಮತಃ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ. ಈ ಸಾಧನೆ ಮಿಶ್ರ ಚರದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು (ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಎ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವೇರಿಯಬಲ್) ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಕಲ್ಪ (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಅಂಡ್ ಕಾಂಬಿನೇಶನ್)

ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ n ವಸ್ತುಗಳಿಂದ r ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯತಕ್ಕ ವಿಧಾನಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವುಗಳ ವಿಕಲ್ಪವೆಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ⁿC_r ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. r ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದ ಬಳಿಕ ಅವನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ n ವಸ್ತುಗಳಿಂದ r ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದು ಜೋಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯೆಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ⁿP_r ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕರ್ನಾಟಕದ ಮಹಾವೀರ ಕ್ರಿ.ಶ. 850ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಥಮತಃ ಕೊಟ್ಟ:

ⁿP_r = n(n-1) (n-2) . . . . (n-r+1)

$^{n}C_{r}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)}{1.2.3\cdots r}}$

1.2.3. . . . r ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು r! ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$^{n}C_{r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

ⁿC_r = ⁿC_n-r

ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r

ಇವು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

ವಸ್ತುಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರದೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ p ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದು ತರದವೂ q ವಸ್ತುಗಳು ಎರಡನೆಯ ತರದವೂ r ವಸ್ತುಗಳು ಮೂರನೆಯ ತರದವೂ ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲ ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ${\frac {n!}{p!q!r!\cdots }}$. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರ ಕ್ರಿ.ಶ. 1150ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ.

ವಿಕಲ್ಪ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ⁿC₁, ⁿC₂, ⁿC₃ ಮಂತಾದವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತಿಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಈಗ (x + α₁) (x + α₂) . . . . (x + α_n) ಎಂಬ ಪದಸಮುಚ್ಚಯದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಬರೆಯೋಣ. x ನ ಇಳಿಯುವ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವಿಸ್ತರಣೆ ಹೀಗಿರುವುದು:

xⁿ + Σα₁ . x^n-1 + Σα₁α₂ . x^n-2 + Σα₁α₂α₃ . x^n-3 + . . . . . . + α₁α₂ . . . . α_n

ಎರಡನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿ α ಗಳಿಂದ ಒಮ್ಮೆಗೆ ಎರಡನ್ನು ಆಯ್ದು ಗುಣಿಸಿ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ; ಹೀಗೆಯೇ ಮೂರನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಮೂರನ್ನು ಆಯ್ದು ಗುಣಿಸಿ ಮೊತ್ತ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ⁿC₂ ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ ⁿC₃ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈಗ α₁ = α₂ = . . . . = α_n = α ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (x + α)ⁿ = xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 α + ⁿC₂ x^n-2 α² + . . . . + αⁿ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಬರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೆಸರು. ನ್ಯೂಟನ್ ಇದರ ಆವಿಷ್ಕರ್ತೃ (1665). ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗಲೂ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಷಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸುಲಭ ಸಂದರ್ಭಗಳು:

(1 + x)² = 1 + 2x + x²

(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³

(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴ ಇತ್ಯಾದಿ.

ⁿC_r = ⁿC_n-r ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಡೆಗಳಿಂದಲೂ ತದ್ವತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರುತ್ತವೆ.

ಕರಣಿಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದಾಗುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲದೆ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಲಂಬಕೋನ, ಸಮದ್ವಿಭುಜ, ತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳು (side) ಏಕಮಾನ ಉದ್ದದವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ${\sqrt {2}}$. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಅಂದರೆ ಪರಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ${\sqrt {2}}$ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಹೊಸ ತರಹದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕರಣಿ (ಸರ್ಡ್) ಅಥವಾ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {5}}$, ${\sqrt[{3}]{7}}$ (7 ರ ಘನಮೂಲ) ಮುಂತಾದ ಕರಣಿಗಳೂ, ಅವುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುವ ${\sqrt {\sqrt {2-1}}}$ ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಬರುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿ a/b ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ a₀xⁿ + a₁x^n-1 + . . . . aⁿ = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ (ಇಲ್ಲಿ a ಗಳೆಲ್ಲವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು) ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಜೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಆಲ್ಜಿಬ್ರೇಕ್ ನಂಬರ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲವಾದರೆ ಅದು ಬೀಜಾತೀತ (ಟ್ರಾನ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್) ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಗೂ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ π ಒಂದು ಬೀಜಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದರ ಸ್ಥೂಲ ಬೆಲೆ 22/7 ಅಥವಾ 3.1416.

ಸುಲಭ ರೂಪದ ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=2,{\sqrt {81}}={\sqrt[{3}]{2}},1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2$  ಇತ್ಯಾದಿ.

ಕರಣಿ ಛೇದದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (denominator) ಅದನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ (numerator) ತರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ

${\frac {1}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}=2-{\sqrt {3}}$

$2+{\sqrt {3}}$, $2-{\sqrt {3}}$ ಎಂಬವು ಪರಸ್ಪರ ಮಿಥುನ ಕರಣಿಗಳು (conjugate surds).

ಇಲ್ಲಿಯ ತನಕ ನಿರೂಪಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬಹುದು. -1 ಎಂಬ ಋಣಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವರ್ಗಮೂಲವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವೂ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ${\sqrt {-1}}$ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲವೆಂದು ಹೇಳಿದರೆ ತಪ್ಪಾಗದು. ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ, ಇದೊಂದು ಹೊಸ ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗಿ ಭಾವಿಸಿ ಇದನ್ನು i ಎಂದು ಕರೆದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. i ಯನ್ನು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯೊಡನೆ ಮಿಲನಮಾಡಿ a + ib (ಇಲ್ಲಿ a, b ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಎಂಬುದೊಂದು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ನಂಬರ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. i² = -1 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಮಾನವನ ಬುದ್ಧಿ ವೈಪರೀತ್ಯದಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾದ ಇಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಯೋಗವೇನು ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಸಹಜ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೂ, ಪ್ರಮೇಯಗಳೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪ ತಾಳಲು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚರಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಫಲನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬಹುಮುಖವಾಗಿ ಬೆಳೆದಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಳಹದಿಯ ಮೇಲೆಯೇ ಭೂಪಟಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ದ್ರವಗತಿವಿಜ್ಞಾನ (ಹೈಡ್ರೊಡೈನಮಿಕ್ಸ್), ವಾಯುಗತಿವಿಜ್ಞಾನ ಮುಂತಾದವನ್ನು ಬೆಳೆಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಿಥ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದಲೇ ಇಂದು ವಿಮಾನಗಳು ಅಂತರಿಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವತೆ ಸಿದ್ಧಿಸಿರುವುದಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

• ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ
• ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತ
• ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ (Linear algebra)
• ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ
• ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ
• ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ
• ಸಂಯೋಜನಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತ (Algebraic combinatorics)

ಸರಳರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ (ಲೀನಿಯರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರ)

ಅನ್ವಿತ ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೂ, ಫಲನಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ (ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್) ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಒದಗುವ ಆಕಾಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಯುಕ್ತವಾದ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಆಯುಧಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ R ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ C ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ V ಒಂದು ಸದಿಶಾಕಾಶ ಅಥವಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆದಾಗ ಸರಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ (linear basis) ಭಾವನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ವಿಧದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು:

$u_{0}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}$ ಆಗುವ ಹಾಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ λ₁, . . . . ,λ_n ಧಾತುಗಳು ಇದ್ದರೆ u₀ ಎಂಬುದು u₁, . . . . u_n ಮೇಲೆ ಸರಳೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬನೆಗೊಂಡಿದೆ.

ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಧಾತುಗಳಾದ λ₀, . . . . ,λ_n ಎಂಬವು $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}=0$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಕೊಟ್ಟರೆ ಎಂಬ ಸದಿಶಗಣ ಸರಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆ (linear dependence) ಪಡೆದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ 0 ಶೂನ್ಯಸದಿಶ (zero vector). ಅದಿಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ u₀. . . . u_n ಸರಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಹೊಂದಲು ಈ ಸದಿಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉಳಿದವನ್ನು ಸರಳೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರಬೇಕು.

ಒಂದು ಸದಿಶಾಕಾಶ V ಯ ಸದಿಶ ಉಪಾಕಾಶಗಳು (vector sub-spaces) ಒಂದು ಪೂರ್ಣಜಾಲಕವನ್ನು (ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಲ್ಯಾಟ್ಟಿಸ್) ಕೊಡುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸದಿಶ ಉಪಾಕಾಶವ್ಯೂಹ V_λ ದ ಛೇದನ ದತ್ತ ವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧವಾಗುತ್ತದೆ (upper bound).

V_λ ದ ಕೂಡುವಿಕೆಯಿಂದ (ಕೂಡುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಸಾಂತಗಣಗಳ (finite set) ಮೇಲೆ ಸರಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು) ಸದಿಶ ಉಪಾಕಾಶ u ವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ದತ್ತ ಉಪಾಕಾಶ ವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ ಇದು ಹ್ರಸ್ವತಮ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧವಾಗಿರುವ (minimal upper bound) ಸದಿಶ ಉಪಾಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ V ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಂತ ಸದಿಶ ಗಣವಾದ {u₁,. . . .,u_n} ಎಂಬುದು V ಯ ಒಂದು ಉಪಾಕಾಶ u ವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ u₁,. . . .,u_n ಎಂಬವುದನ್ನು u ಗೆ ಉತ್ಪಾದನಕಾರಕ ಸದಿಶವ್ಯೂಹವೆಂದೂ (vector array) u₁,. . . .,u_n ನಿಂದ ಉತ್ಪಾದನವಾಗುವ ಉಪಾಕಾಶ u ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಸಾಂತ ಉತ್ಪಾದಕ ವ್ಯೂಹದಿಂದ ಅವಲಂಬನರಹಿತವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪಾದಕ ವ್ಯೂಹವನ್ನು ತೆಗೆಯಬಹುದು. ಈ ವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ u ವಿನ ತಳ (base) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಉಪಾಕಾಶ u ಗೆ n ಧಾತುಗಳಿರುವ ಒಂದು ತಳವಿದ್ದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲ ತಳಗಳಲ್ಲೂ n ಧಾತುಗಳೇ ಇರುವುವು. u ವನ್ನು n ಆಯಾಮಗಳ ಸದಿಶಾಕಾಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ (n-dimensional vector space). V ಯೇ n ಆಯಾಮಗಳದ್ದಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಾಕಾಶದ ಆಯಾಮ ≤n  ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅತಿ ಮುಖ್ಯ ಮಾದರಿ.

ಒಂದು ಸದಿಶಾಕಾಶ V ಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು V¹ ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸರಳೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು (linear transformations) ಅದಿಶ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು (scalar multiplication) ಸ್ಥಿರಪಡಿಸುವ ವೃಂದ ಸ್ವಾಚ್ಛಾದನೆಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್). V ಯ ಎಲ್ಲ x, y ಗಳಿಗೂ, ಅದಿಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಎಲ್ಲ λ ಗಳಿಗೂ $f(x\pm y)=f(x)\pm f(y)$  ಮತ್ತು f(λx) = λf(x) ಆದರೆ f ನ್ನು ಸರಳೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. n ಆಯಾಮಗಳ ಸದಿಶಾಕಾಶ V ಯಲ್ಲಿ V ಯನ್ನು V ಗೇ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸರಳೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಒಂದು ಸದಿಶಾಕಾಶವನ್ನೂ, ವಲಯವನ್ನೂ ಕೊಡುತ್ತವೆ. ವಿಲೋಮ ಪರಿವರ್ತನೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವೃಂದ. ಈ ವೃಂದ ಅದಿಶಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಲೋಮೀಯವಾದ (n, n) ಮಾತೃಕೆಗಳ ವೃಂದಕ್ಕೆ (ರಿಂಗ್) ಸ್ವಭಾವತಃ ಪೊರ್ದಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೀಜರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸರಳೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಧಾನ್ಯವಿದೆ. ಆಯಾಮಗಳ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕೊಡುವಂತೆ ಖಚಿತ ಧನ (ಪಾಸಿಟಿವ್ ಡೆಫಿನಿಟ್) ವರ್ಗಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು (ಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್) ಆಯ್ದರೆ ನಾರ್ಮ್ ಸ್ಥಿರತ್ವ (ನಾರ್ಮ್ ಪ್ರಿಸರ್ವಿಂಗ್) ಕೊಡುವ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ವಿಲೋಮೀಯ ಪರಿವರ್ತನಗಳ ವೃಂದದ ಉಪವೃಂದವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ವೃಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ (group transformation) ಒಳಗುಣ ಅಚರಗಳು (ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್) ನಾರ್ಮ್ ಇರುವ ಆಕಾಶದ ರೇಖಾಗಣಿತೀಯ ಗುಣಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ.

ಫಲನಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ಸದಿಶಾಕಾಶಗಳು ದೊರಕುತ್ತವೆ. ಇವಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸರಳೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಭಾವನೆಗಳು ರಂಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ.

ಮೂಲಗಳು

• Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4.
• Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (18 August 2011). Linear Algebra for Economists (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-20570-5.
• Andréka, H.; Németi, I.; Sain, I. (2001). "Algebraic Logic". Handbook of Philosophical Logic (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Springer Netherlands. doi:10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Archived from the original on 2024-01-24. Retrieved 2024-01-24.
• Andréka, H.; Madarász, J. X.; Németi, I. (2020). "Algebraic Logic". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Archived from the original on 24 January 2024. Retrieved 23 October 2023.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• 4000 Years of Algebra Archived 2007-10-04 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ., lecture by Robin Wilson, at Gresham College, 17th October 2007 (available for MP3 and MP4 download, as well as a text file).