ಗಣಿತ ಪ್ರತೀಕಗಳು

ಗಣಿತ ಪ್ರತೀಕಗಳು ಎಂದರೆ ರಾಶಿಗಳನ್ನು (ಕ್ವಾಂಟಿಟೀಸ್) ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು (ಕಾನ್ಸೆಪ್ಟ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು (ಆಪರೇಷನ್ಸ್) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತೀಕರಿಸಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೂ ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿಯೂ ನಿರೂಪಿಸುವ ಭಾಷಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಸಿಂಬಲ್ಸ್).

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ತೊಡಗಿ ಒಂಬತ್ತರವರೆಗಿನ ಅಂಕಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ರಚಿಸುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 27⁵, ${\sqrt[{3}]{9}}$ , 34765 ಇತ್ಯಾದಿ.

2. ವರ್ಣಮಾಲೆಗಳಿಂದ ಆಯ್ದ ವಿವಿಧ ಅಕ್ಷರಗಳು a, b, c, x, y ,z, $\alpha ,\beta ,\gamma$ ಇತ್ಯಾದಿ.

3. +, -, x, ÷, $\bigcap ,\bigcup$ , >, <, =, Σ, Ⅱ ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಜ್ಞೆಗಳು (ಸೈನ್ಸ್).

4. π, e, sin, cos, log, mod, f(x) ಇತ್ಯಾದಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ದತ್ತವ್ಯವಸ್ಧೆಯ ವಿಧಿನಿಯಮಗಳ ಅನುಸಾರ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಅವನ್ನು ಅರ್ಥವಿಸುವುದು ಈ ಪ್ರತೀಕಗಳು ಒದಗಿಸುವ ಗಣಿತ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

$e^{i\pi }=-1$

$\sin 60^{0}+\cos 60^{0}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}$

${\begin{alignedat}{0}\{a,b,c,d,e\}\cup \{p,q,r\}=\{a,b,c,d,e,p,q,r\}\\\{a,b,c,d,e\}\cap \{p,q,r\}=\phi \end{alignedat}}$

p	q	 $p\wedge q$ 	pVq    p→q	~p
1	1	 1	 1	1	0
1	0	 0	 1	0	0
0	1	 0	 1	1	1
0	0	 0	 0	1	1

ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ವಿಕಾಸ

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಗಣಿಕ ಪ್ರತೀಕಗಳು ಬೆಳೆದು ಬಂದಿರುವ ಜಾಡು ಯಾವುದೇ ಭಾಷೆಯ ಜಾಡಿನಂತೆಯೇ ಸ್ವಾರಸ್ಯಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಭಾಷೆ ಮೊದಲು ವಿಕಾಸಗೊಂಡು ಮನುಷ್ಯನ ಚಿಂತನೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಿದ ಬಳಿಕ ಗಣಿತಚಿಂತನೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿರಬೇಕು. ಮೊದಮೊದಲು ಸಂಕ್ಷೇಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳೂ, ಪದಗಳ ಮೊದಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳೂ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನಾಗಲೀ ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಇವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಒಳದಾರಿಗಳು. ಎರಡು ರಾಶಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ ಎನ್ನುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅವೆರಡರ ನಡುವೆ = ಗುರುತನ್ನು ಬರೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಮೊದಲಿಗೆ ಸೂಚಿಸಿದವ (1557) ರಾಬರ್ಟ್ ರೆಕಾರ್ಡೆ.^[೧] ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4 = 12/3. 15 ರಿಂದ 17ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ರಾಶಿಗಳನ್ನು, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು (powers), ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲಾದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಹೊಸ ಹೊಸ ಪ್ರತೀಕಗಳ ಶೋಧನೆಯ ಕೆಲಸ ಭರದಿಂದ ಸಾಗಿತು. ಸಾಕಷ್ಟು ಅಭಿಪ್ರಾಯ ವಿನಿಮಯ ಕ್ಷಿಪ್ರವಾಗಿ ನಡೆಯದಿದ್ದ ಆ ದಿವಸಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ದೇಶಗಳ ಸಂಶೋಧಕರು ಒಂದೇ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಿದ್ದುದು ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಇದರಿಂದ ಮುಂದೆ ಗಣಿತಾಭ್ಯಾಸಿಗಳಿಗೆ ಒದಗುತ್ತಿದ್ದ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತೀಕಗಳ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಾಮವೇ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಂಥ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಅಂದಿನದು. ಇವುಗಳ ವಿಪುಲ ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಸರಾಂತವರೆಂದರೆ 16-17ನೆಯ ಶತಮಾನಗಳ ಫ್ರಾನ್‌ಕ್ವಾ ವ್ಯೇಟ, ವಿಲಿಯಂ ಔಟ್‌ರೆಡ್, ರೆಣೆ ಡೇಕಾರ್ಟೆ ಮತ್ತು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೆಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೈಪ್‌ನಿಟ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು (a, b, c, ಇತ್ಯಾದಿ) ಜ್ಞಾತಗಳ ಪ್ರತೀಕಗಳಾಗಿಯೂ, ಕೊನೆಯ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು (u, v, w, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಪ್ರತೀಕಗಳಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದವ ಡೇಕಾರ್ಟೆ. 17ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲೈಪ್‌ನಿಟ್ಸ್ ಅಂದು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದ ಎಲ್ಲ ಗಣಿತ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನೂ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುದ್ರಣ ಸೌಕರ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ. ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಚಿರಕಾಲ ಅವು ಉಳಿಯುವಂತೆ ಮಾಡಿದವನೆಂದರೆ 18ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್.^[೨] x ಎಂಬ ಚರದ ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ax²+bx+c) ನಿರೂಪಿಸಲು, f(x) ಎಂದರೆ x ನ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಘುಗಣಕದ ಆಧಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು e, ಸಂತತ ಸಂಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು Σ, –1 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು, ಎಂದರೆ ${\sqrt {-1}}$ ನ್ನು, ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು i ಇವೇ ಮುಂತಾದವು ಆಯ್ಲರನ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣ ಕೊಡುಗೆಗಳು. ಪ್ರತೀಕಗಳ ವಿಕಾಸದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯನ್ನು ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲನ ತರ್ಕವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ಬಳಿಕ (1847) ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.^[೩] 20ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಥಮಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದ ರಚನೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಲಭಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲ ಪ್ರತೀಕಗಳೂ ತೀವ್ರ ವಿಮರ್ಶೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಹೊಸ ಪ್ರತೀಕಗಳ ಸೃಷ್ಟಿಯೂ ವಿಪುಲವಾಗಿ ನಡೆಯಿತು. ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ, ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಒಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಲ್ಲ-ಅಂಥ ಹಲವಾರು ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿವೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿವೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳಿವೆ-ಎಂಬ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆ ಹರಿದಿದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ ಗಣ, ಗ್ರೂಪ್, ವಲಯ, ಕ್ಷೇತ್ರ, ಗಣಿತತರ್ಕ ಮುಂತಾದವು ಪ್ರವರ್ಧಿಸಿದುವು ಹಾಗೂ ಹೊಸ ಪ್ರತೀಕಗಳ ಉಗಮಕ್ಕೆ ಹೇತುಗಳಾದವು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಭಾರತದ ಸಮಸ್ತ ಪ್ರಜೆಗಳ ಗಣವನ್ನು A ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈ ಗಣ ಸಾಂತವಾಗಿದ್ದರೂ ಇದರ ಪೂರ್ಣ ರಚನೆ ಭೌತವಾಗಿ ಬಲು ಕಠಿನ ಕಾರ್ಯ, ಅಸಾಧ್ಯವೆನಿಸುವಷ್ಟೇ ಕಠಿನವಿದು. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ

A = {a₁, a₂, a₃, ...................}

ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದು a ಯೂ ಒಬ್ಬ ಭಾರತೀಯನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೇ A = {x|x ಓರ್ವ ಭಾರತೀಯ} ಎಂದು ಬರೆದುದಾದರೆ ಮೊದಲಿನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯರ್ಥವಾಗುವ ಕಾಲ, ಶ್ರಮ ಎರಡೂ ಉಳಿದು ಸಂಕ್ಷೇಪವೂ ನಿಖರವೂ ಆದ ಒಂದು ನಿರೂಪಣೆ ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ನಿರೂಪಣೆಗಳಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಹೊಸ ಹಾದಿ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರತೀಕಗಳು

ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನು ವಿವರಣೆಯ ಸಮೇತ ಬರೆದಿದೆ.

p, q, r     . . .  ಉಕ್ತಿಗಳು (ಪ್ರಾಪೊಸಿ಼ಷನ್ಸ್)
 $\wedge$            . . .  ಸಮುಚ್ಚಯ (ಕಂಜಂಕ್ಷನ್)
V           . . .  ಪರ್ಯಾಯ (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್)
→           . . .  ನಿಬಂಧಿತ (ಇಂಪ್ಲಿಕೇಶನ್)
~           . . .  ನಿಷೇಧ (ನೆಗೇಷನ್)
p(x)        . . .  x ಎಂಬ ಚರದಿಂದ ಕೂಡಿರುವ ಆಖ್ಯಾತ (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್)
T[p(x)]     . . .  p(x) ನ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳ ಗಣ
∀           . . .  ಎಲ್ಲ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಖ್ಯಾವಾಚಕ)
∃           . . .  ಕೆಲವು (ಅಸ್ತಿತ್ವ ಸಂಖ್ಯಾವಾಚಕ)

ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಬಂಧಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

A, B, C             . . .  ಗಣಗಳು (ಸೆಟ್ಸ್)
a ∈ A               . . .  a ಯು A ಗೆ ಸೇರಿದೆ; a ಯು A ಯ ಧಾತು.
a ∉ A               . . .  a ಯು A ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ; a ಯು A ಯ ಧಾತುವಲ್ಲ.
A ⊂ B               . . .  A ಯು B ಯ ಉಪಗಣ; A ಯು B ಯಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿದೆ.
A ∪ B               . . .  A ಸಂಯೋಗ B
A ∩ B               . . .  A ಛೇದನ B
∪ A_i                . . .  ಎಲ್ಲ A_i ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ
∩ A_i                    . . .  ಎಲ್ಲ A_i ಗಣಗಳ ಛೇದನ
A X B               . . .  A, B ಗಣಗಳ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ
A – B               . . .  A, B ಗಣಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
xRy, R{x,y}         . . .  ಸಂಬಂಧ
 $f:X\to Y,X\xrightarrow {f} Y$    . . .  ಉತ್ಪನ್ನ, ಚಿತ್ರಣ
X → Y, f ∈ Y_x        . . .  ಪರಿವರ್ತನೆ
f(x)                . . .  f ನಿಂದ x ನ ಬಿಂಬ
f^-1(x)               . . .  ವ್ಯಸ್ತ ಬಿಂಬಗಣ
1-1                 . . .  ಒಂದು-ಒಂದು ಸಂವಾದಿತ್ವ

ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಾಂಖ್ಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

x/y                 . . .  y, x ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ
x≡y mod p           . . .  y ಮಾಡ್ p ಗೆ x ಸಮಾವೇಶ
[a, b]              . . .  ಸಂವೃತ ಅಂತರ
[a, b), [a,b[       . . .  ಅರ್ಧವಿವೃತ ಅಂತರ (ಬಲಗಡೆ ವಿವೃತ)
(a, b), ] ಚಿ,b[      . . .  ವಿವೃತ ಅಂತರ
 $\lim _{x\to a}f(x)=b$          . . .  x, a-ಗಾಮಿಯಾದಂತೆ f(x)ನ ಪರಿಮಿತಿ b
 ${\frac {dy}{dx}}$                  . . .  x ನ್ನು ಕುರಿತು y ಯ ಅವಕಲನಾಂಕ
 $\int y\ dx$               . . .  x ನ್ನು ಕುರಿತು y ಯ ಅನುಕಲನಾಂಕ