ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪ
ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪ ಎಂದರೆ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಘನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗುಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಹೊಸ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಘನವಸ್ತು.[೧] ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗೋಳ, ಶಂಕು, ಘನಾಕೃತಿ ಇತ್ಯಾದಿ. ಮಾನವನಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮೊತ್ತಮೊದಲಿಗೆ ಪ್ರಾಯಶಃ ಮಕ್ಕಳ ಆಟಿಕೆ ಘನಗಳಿಂದ ಮೂಡಿರಬಹುದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಎಣಿಕೆಯ ಮಣಿಚೌಕಟ್ಟು ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆರಳಿಸುವುದಷ್ಟೆ. ಅದೇ ರೀತಿ ಘನಾಕೃತಿ, ಅಶ್ರಕ, ಉರುಳೆ ಮುಂತಾದವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕುತೂಹಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳು ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು ಸಹಾಯಕಗಳು. ಅವು ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರಿಸಬಹುದೇ ವಿನಾ ಅವೇ ಸಾಧನೆಗಳಾಗಲಾರವು. ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ ಉಗಮ ಕ್ರಿಸ್ತ ಪೂರ್ವ 3ನೆಯ ಶತಮಾನವೆಂದು ಗ್ರೀಸ್ ದೇಶದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಕೆಲವು ಲೇಖನಗಳ ಆಧಾರದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಕೌಲೆ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ 1752ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ಬರೆದುದೇ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಅವುಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕೂಡ ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದ.
ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ರಟ್ಟಿನ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಅನೇಕ ಸರ್ವಸಮ ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಅನುರೂಪ ಭುಜಗಳು (side) ಸಮತಲೀಯವಾಗಿರುವಂತೆಯೂ, ಅನುರೂಪ ಶೃಂಗಗಳು ಏಕರೇಖಸ್ಥವಾಗಿರುವಂತೆಯೂ ಅಳವಡಿಸಿದಾಗ ತ್ರಿಭುಜೀಯ ಅಶ್ರಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಸರ್ವಸಮ ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಾದವಾಗಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಮೂರು ತ್ರಿಭುಜಗಳನ್ನು ಮೊದಲನೆಯ ತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಅಂಚುಗಳು ಐಕ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಇಟ್ಟಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಘನ ಸಮಚತುಷ್ಫಲಕವಾಗುತ್ತದೆ (regular tetrahedron). ಗಣಿತಾನುಮಿತಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಐದು ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಸಮಘನಾಕೃತಿಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅರಿಯಬಹುದು. ಅವು ಸಮಚತುಷ್ಫಲಕ, ಸಮಷಷ್ಠಫಲಕ (ಘನಾಕೃತಿ) (regular hexahedron), ಸಮಅಷ್ಟಫಲಕ, ಸಮದ್ವಾದಶಫಲಕ ಮತ್ತು ಸಮವಿಂಶತಿಫಲಕ. ಈ ರೀತಿಯ ಸರಳವಾದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಕನಿಷ್ಠಮಿತಿ ಹಾಗೂ ಗರಿಷ್ಠಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿಶ್ಚಿತ ಪರಿಧಿಯ ತ್ರಿಭುಜ ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜವಾದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅದರ ಸಲೆ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಶ್ಚಿತ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಲೆಯುಳ್ಳ ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಗಾತ್ರ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದು ಸಮಚತುಷ್ಫಲಕವಾಗಿರಬೇಕು.
ಬಹುಫಲಕಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಬಹುಭುಜಗಳು ಫಲಕಗಳಾಗಿ ಇರುವ ಘನಗಳಿಗೆ ಈ ಹೆಸರುಂಟು. ಒಂದು ಬಹುಫಲಕದ ಎಲ್ಲ ಘಟಕಗಳು ಸಮಫಲಕಗಳಾಗಿದ್ದು ಎಲ್ಲ ಶೃಂಗಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮಬಹುಫಲಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಬಹುಫಲಕವನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸತತವಾಗಿ ಕುಗ್ಗಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಳ ಬಹುಫಲಕಗಳ ವಿಶೇಷಗುಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೃಂಗ (V), ಅಂಚು (E) ಮತ್ತು ಫಲಕಗಳ (F) ನಡುವೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು. ಈ ಸೂತ್ರ ಎಲ್ಲ ಸರಳ ಬಹುಫಲಕಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಗ್ರೀಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಫಲಕಗಳ ಅಭ್ಯಾಸ ಅಗ್ರಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿದ್ದರೂ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಡೇಕಾರ್ಟೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತನಕ ಯಾವ ಗೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಿಗೂ ಗೊತ್ತಿರಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಕಾಲದ ಬಳಿಕ ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆಯ್ಲರ್ (1707-83) ಸಮರ್ಪಕ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ.[೨] ಆದ್ದರಿಂದಲೇ V - E + F = 2 ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಆಯ್ಲರನ ಸೂತ್ರವೆಂದೇ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ.[೩] ಅಸರಳ ಬಹುಫಲಕಕ್ಕೆ (ನಾನ್‌ಸಿಂಪಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್) ಈ ಸೂತ್ರ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂಥ ಫಲಕಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೂತ್ರ V + F = E.
ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಮರ, ತಗಡು, ರಟ್ಟು, ದಾರ, ಪ್ಲಾಸ್ಟರ್ ಆಫ್ ಪ್ಯಾರಿಸ್, ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಇವೇ ಮುಂತಾದ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಯಾರಿಸಬಹುದು.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ↑ Britannica, The Editors of Encyclopaedia. "mathematical model". Encyclopedia Britannica, 2 Oct. 2024, https://www.britannica.com/science/mathematical-model. Accessed 4 October 2024.
- ↑ Euler, L. (1758). "Elementa doctrinae solidorum" [Elements of rubrics for solids]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in ಲ್ಯಾಟಿನ್): 109–140 – via U. Pacific, Stockton, CA.
- ↑ Richeson (2008)
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- Richeson, D.S. (2008). Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology. Princeton University Press.