ಗೋಳ

ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಇಂದ
ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗು: ಸಂಚರಣೆ, ಹುಡುಕು

ಗೋಳಎಂದರೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಆಕೃತಿ (ಸ್ಫಿಯರ್). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಕಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ. ಚಿತ್ರ (1)ರಲ್ಲಿ ೦ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. OA=OB=OC=...=OH=r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಆಗಿರುವಂತೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ A ಯಿಂದ F ವರೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರರೂಪೀ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಂಥ ಸಮಸ್ತ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿ ರಚಿಸುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸಂವೃತಾಕೃತಿಯೇ ಗೋಳ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ (0) ಹೆಸರು ಕೇಂದ್ರ ; ಸ್ಥಿರ ದೂರದ (r) ಹೆಸರು ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಚಿತ್ರ ೧


ಒಂದು ಗೋಳ ಘನವಾಗಿರಬಹುದು (ಸಾಲಿಡ್) ಇಲ್ಲವೇ ಟೊಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು (ಹಾಲೋ). ಘನಗೋಳವನ್ನು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಏಕಕೇಂದ್ರಿಯ ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳಗಳ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಉಂಟು. ಟೊಳ್ಳುಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿಯುವುದು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ. r ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರ . ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಲೆ . ಅನ್ಯಥಾ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗೋಳವೆಂದಾಗ ಘನಗೋಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ ೨


ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಕೇಂದ್ರವನ್ನು (o) ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿಯೂ ಆಯಬೇಕು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚರಬಿಂದು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x, y, z) ಆಗಿರಲಿ.OP = r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ತ್ರಿಜ್ಯ) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ P ಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದಾಗುವುದು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವೂ ಇದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದೇ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು C (g,f,h) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಈ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ

ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ತಿಳಿಯುವ ಸಂಗತಿಗಳಿಷ್ಟು : ಇದೊಂದು x, y, z ಚರಗಳಲ್ಲಿನ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ; ಇದರಲ್ಲಿ xy,yz,zx ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ ; ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ x, y, z ಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ ೩


ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಮತಲ ಹಾಗೂ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಇವೆ - ತಲ ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ; ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವೃತ್ತ ಬಿಂದು (ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು) ಆಗುತ್ತದೆ ; ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. S ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣವು P ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (ವೃತ್ತದ) ಸಮೀಕರಣ ಇವೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ: S = 0 P = 0


ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವೆಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಛೇದಿಸುವಾಗ ಲಭಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗದವು ಇವೆ. ಗೋಳಕೇಂದ್ರ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವೂ ಆಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು;

ಚಿತ್ರ ೪


ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ ಗೋಳಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಅಲ್ಪ ವೃತ್ತಗಳು. ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗದ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅನಂತ. ಎಲ್ಲ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

ಚಿತ್ರ ೫


ಸರಳರೇಖೆ ಮತ್ತು ಗೋಳ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಲ್ಲದು ; ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಲ್ಲದು; ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸದಿರಬಲ್ಲದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕರೇಖೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸಗಳು. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪರಿಮಿತ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ; ಇದರ ಉದ್ದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಎರಡರಷ್ಟು.

ಚಿತ ೬ ಮತ್ತು ೭


ಮಹಾವೃತ್ತ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಯಾವುದೇ ಮಹಾವೃತ್ತ ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇವು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳು). ಇಂಥ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ. o ಇದರ ಕೇಂದ್ರ (ಗೋಳದ ಸಹ).AOB ವ್ಯಾಸ ದ ತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದ ವ್ಯಾಸ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ (ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ) ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಅಕ್ಷದ ಎರಡು ಕೊನೆಗಳಿಗೆ (A, B) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಧ್ರುವಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. P ಯು ದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಆಗಿದ್ದರೆ =90° ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಮಹಾವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳಿಗೂ AB ಯೇ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು A, B ಗಳೇ ಧ್ರುವಗಳು. ಇಂಥ ಒಂದು ಅಲ್ಪವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ Q ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ 90° ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು. , ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಿದೆ.) ಇವು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ABC ಎನ್ನುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7ರಲ್ಲಿ ನೆರಳು ಮಾಡಿದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ರಚಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ


ಗೋಳಖಂಡ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

P ಸಮತಲ S ಗೋಳವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ S1 ಮತ್ತು S2 ಎನ್ನುವ ಎರಡು ಗೋಳಖಂಡಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಒಂದೊಂದು ಖಂಡವನ್ನೂ ಗೋಳೀಯ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಕ್ಯಾಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

ಚಿತ್ರ ೮


S1 ಟೊಪ್ಪಿಗೆಯ ಪಾದವೃತ್ತದ () ತ್ರಿಜ್ಯ a (=CL) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ h (=CA) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಅದರ ಘನಗಾತ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ . h = 2r , a = 0 ಆದಾಗ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಗೋಳದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಗಮಿಸಬಹುದು. h ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ () ತಲಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಈಗ ದೊರೆಯುವ ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳ ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಆಗಿರಲಿ. ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದ ಬಳಿಕ ಉಳಿಯುವ ಗೋಳಖಂಡದ (S’) ಘನಗಾತ್ರ


ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ಸಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಗೋಳಛೇದದ ( ವೃತ್ತ) ಸಲೆ M ಎಂಬು ದಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ ಈ ಘನಗಾತ್ರದ ಬೆಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಯಿಡಲ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. h = 2r, ಎಂದರೆ h ಅಂತರ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ ಆದಾಗ ಆಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಖಂಡ ಇಡೀ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬೆಲೆ ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತೆ, = 4/3 . ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ ೯

ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

Wikisource-logo.svg
ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
"https://kn.wikipedia.org/w/index.php?title=ಗೋಳ&oldid=530787" ಇಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ