ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು "ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಫಿಬೊನಾಚಿಯಾ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಕೆಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಪಟ್ಟಿದೆ.^[೧]

${\displaystyle 1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots }$

ಅನೇಕ ವೇಳೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

${\displaystyle 0,1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots }$

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮನಣಿಕೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಆರಂಭದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ೧ ಮತ್ತು ೧, ಅಥವಾ ೦ ಮತ್ತು ೧ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.^[೨]

ಅನುಕ್ರಮ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ${\displaystyle F_{n}}$ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},}$

ಬೀಜ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ,

${\displaystyle F_{1}=1,\;F_{2}=1}$

ಅಥವಾ

${\displaystyle F_{0}=0,\;F_{1}=1.}$

ಇತಿಹಾಸ:

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಹುಶಃ ಕ್ರಿ.ಪೂ .೨೦೦ ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹಂತಗಳ ಉಚ್ಚಾರಾಂಶಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡು, ಕವಿತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಿಂಗಳನಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಟಲಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಆಫ್ ಪಿಸಾ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು,ಇದೀಗ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಈ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲಿಬರ್ ಅಬ್ ರವರ ೧೨೦೨ ರ ಪುಸ್ತಕ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿತು.ಲಿಬರ್ ಅಬಾಸಿ ಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮವು ${\displaystyle F_{1}=1.}$ ರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಂಚಬಾಹುವಾಕೃತಿ (ಪೆಂಟಗನ್) ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ೧೬೧೧ ರಲ್ಲಿ ಜೊಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಅವರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ೧೬೦೦ ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.^[೩]

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ "ಫಿಬೊನಾಚಿ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಲಿ" ಎಂಬ ಜರ್ನಲ್ ಇದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು, 'ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರ್ಚ್ ತಂತ್ರ' ಮತ್ತು 'ಫಿಬೊನಾಚಿ ರಾಶಿ ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆ' ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಘನಗಳು ಎಂಬ ಗ್ರಾಫ್ ಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯು ಜೈವಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮರಗಳ ಶಾಖೆ, ಫಿಲೋಟಾಕ್ಸಿಸ್ (ಕಾಂಡದ ಮೇಲೆ ಎಲೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಕ್ರಮ), ಅನಾನಸ್ ಹಣ್ಣು, ಹಣ್ಣಿನ ಮೊಗ್ಗುಗಳು, ಒಂದು ಪಲ್ಲೆಹೂವು ಹೂಬಿಡುವಿಕೆ, ಒಂದು ಪೈನ್ ಕೋನ್ ನ ತೊಟ್ಟುಗಳು ಹೀಗೆ ಅನೇಕ ಕಡೆ ಈ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ${\displaystyle (L_{n})}$ ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೂಡಾ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಪೂರಕವಾದ ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಗಳು: ${\displaystyle U_{n}(1,-1)=F_{n}}$ ಮತ್ತು $V_{n}(1,-1)=L_{n}.$ . ಎರಡೂ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಗಳು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮೀಪದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳು ೨/೧, ೩/೨, ೫/೩, ೮/೫, ...

ಮೂಲಗಳು:

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಸ್ಕೃತ ಸಾಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕಾವ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಸ್ಕೃತ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ೧ ಯುನಿಟ್ ಅವಧಿಯ 'ಕಿರು (ಎಸ್)' ಉಚ್ಚಾರಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ೨ ಯುನಿಟ್ಗಳ ಅವಧಿಯ 'ಉದ್ದ (ಎಲ್)' ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಆಸಕ್ತಿಯು ಇತ್ತು. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಒಟ್ಟು ಅವಧಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಎಲ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಕಾಲಾವಧಿ ಎಮ್ ಘಟಕಗಳ ನಮೂನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $F_{m}+1$ ಆಗಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು "ಪಿಂಗಲ" (೪೫೦ ಕ್ರಿ.ಪೂ. -೨೦೦ ಕ್ರಿ.ಪೂ.) ಎಂದು ಮೊದಲು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಪಿಂಗಳನ ರಹಸ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಪ್ರಾ ಚಾ ಮತ್ತು ಇತರ ಪಂಡಿತರು, ಎಂ ಬೀಟ್ಸ್ ${\displaystyle F_{m+1}}$ ಮಾದರಿ ಪಡೆಯಲು ${\displaystyle F_{m}}$ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು [ಎಸ್] ಹಾಗೂ ${\displaystyle F_{m-1}}$ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು [ಎಲ್] ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಪೆಂಟಲಾನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭರತ ಮುನಿ ನಾಟ್ಯ ಶಾಸ್ತ್ರ (ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ ೧೦೦ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೩೫೦ ಎಡಿ) ದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ವಿರಾಹಂಕಾ (ಸಿ. ೭೦೦ ಕ್ರಿ.ಶ) ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಸ್ಪಷ್ಟ ನಿರೂಪಣೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಅವರ ಸ್ವಂತ ಕೆಲಸ ಕಳೆದುಹೋಗಿದರೂ, ಗೋಪಾಲ (ಸಿ .೧೧೩೫) ಉದ್ಧರಣದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ.

ಫೈಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ:

ಮೊದಲ ೨೧ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು :

$F_{0}$	$F_{1}$	$F_{2}$	$F_{3}$	$F_{4}$	$F_{5}$	$F_{6}$	$F_{7}$	$F_{8}$	$F_{9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$	$F_{16}$	$F_{17}$	$F_{18}$	$F_{19}$	$F_{20}$
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯನ್ನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}$

ಇದು "ನೆಕಾಫಿಬೊನಾಚಿ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.}$

ಹೀಗೆ ಬೈಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಅನುಕ್ರಮವು

$F_{-8}$	$F_{-7}$	$F_{-6}$	$F_{-5}$	$F_{-4}$	$F_{-3}$	$F_{-2}$	$F_{-1}$	$F_{0}$	$F_{1}$	$F_{2}$	$F_{3}$	$F_{4}$	$F_{5}$	$F_{6}$	$F_{7}$	$F_{8}$
-21	-13	-8	-5	-3	-2	-1	-1	0	1	1	2	3	5	8	13	21

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಉಪಯೋಗ:ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನದ "ಆಳವಿಲ್ಲದ" ಕರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ದ್ವಿಪದದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೋಡಿ):

${\displaystyle F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\tbinom {n-k-1}{k}}}$

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.ನೀಡಲಾದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಪಡೆಯಲು ೧ ಎಸ್ ಮತ್ತು ೨ ಎಸ್ ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಕ್ರಮ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು: ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ${\displaystyle F_{n+1}}$ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 5, ಆಗ $F_{n+1}=F_{6}=8$ ಎಂಟು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ೫ ರ ಮೊತ್ತ ನೀಡುತ್ತದೆ.

1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+1+2+1 = 1+2+1+1 = 2+1+1+1 = 2+2+1 = 2+1+2 = 1+2+2.

ಅನುಕ್ರಮದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ:

ನಿರಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮದಂತೆ, ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು "ಬಿನೆಟ್'ಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

ಅಲ್ಲಿ, ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots }$

ಇದು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸತತ ಕೋಶಗಳ ಮಿತಿಗಳು:

ಜೊಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತವು ಸತತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಅನುಪಾತಗಳು ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತವನ್ನು $\displaystyle {\varphi }$ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }$

ಈ ಒಮ್ಮುಖವು ೦ ಮತ್ತು ೦ ರ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಅಥವಾ ಸಂಯೋಗದ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ $\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}$ ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬಿನೆಟ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ೩ ಮತ್ತು ೨ ಆದರೆ ಸರಣಿಯು ೩, ೨, ೫, ೭, ೧೨, ೧೯, ೩೧, ೫೦, ೮೧, ೧೩೧, ೨೧೨, ೩೪೩, ೫೫೫, ..., ಆಗುತ್ತದೆ.ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತದ ಕಡೆಗೆ ಅದೇ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ವಿಚಲನದಿಂದ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಮಾಡಿದ ಎರಡು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಆ ವಿಚಲನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+\alpha }}{F_{n}}}=\varphi ^{\alpha }}$

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು:

೫ ರಿಂದ ಆರಂಭಗೊಂಡು, ಪ್ರತಿ ಎರಡನೆಯ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೇನ್ಯೂಸ್ ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ನಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಭುಜದ ಉದ್ದವಾದ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಹಿಂದಿನ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಬದಿಯು ಹಿಂದಿನ ಫೈಬೋನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮುಂಚಿನ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಬದಿಯಾದ ತ್ರಿಕೋನ.

ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನವು ೫, ೪ ಮತ್ತು ೩ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ೮ ನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಮುಂದಿನ ತ್ರಿಕೋನವು ೧೩, ೧೨ (೫ + ೪ + ೩), ಮತ್ತು ೫ (೮ - ೩) ಗಳಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕಿಪಿಂಗ್ ೨೧, ಮುಂದಿನ ತ್ರಿಕೋನವು ೩೪, ೩೦ (೧೩ + ೧೨ + ೫), ಮತ್ತು ೧೬ (೨೧ - ೫) ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸರಣಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಎ, ಬಿ, ಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

$a_{n}=F_{2n-1}$

$b_{n}=2F_{n}F_{n-1}$

$c_{n}=F_{n}^{2}-F_{n-1}^{2}$

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ${\displaystyle a_{n}^{2}=b_{n}^{2}+c_{n}^{2}}$ ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ, ಆದರೆ n> 2 ಆದಾಗ ಅವು ಕೇವಲ ತ್ರಿಕೋನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.^[೪]

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಸತತ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Fn, Fn + 1, Fn + 2 ಮತ್ತು Fn + 3 ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:`

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=F_{n}F_{n+3}\\b&=2F_{n+1}F_{n+2}\\c&=F_{n+1}^{2}+F_{n+2}^{2}.\end{aligned}}}$

ಫೈಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು:

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ರನ್-ಟೈಮ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ: ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಇನ್ಪುಟ್ ನೀಡುವಲ್ಲಿ ಸತತ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಬ್ರಾಸ್ಚ್ ಎಟ್.ಎಲ್.೨೦೧೨ ಎಂಬ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಲೇಖನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯು ಸೀಮಿತ-ಹಾರಿಜಾನ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಜೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ನ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಕ್-ಮಿರ್ಮನ್ ಆರ್ಥಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮಾದರಿಯೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಡಿಯೋಫಾನ್ಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಯೂರಿ ಮಾಟೈಸ್ವಿಚ್ ತೋರಿಸಿದನು, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹತ್ತನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆಗೇ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಹಾಗೂ ಎರಡು ಸತತ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು "ಝೆಕೆಂಡಾರ್ಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು "ಝೆಕೆಂಡಾರ್ಫ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಝೆಕೆಂಡಾರ್ಫ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಅದರ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವುಗಳನ್ನು ಪೋಕರ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸ್ಕ್ರಾಮ್ (ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಲೀನ ರೀತಿಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನ ಪಾಲಿಫೇಸ್ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಯ್ದ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಉದ್ದವು ಅನುಕ್ರಮವು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ - ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ φ ಇರುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಫೇಸ್ ವಿಲೀನ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಟೇಪ್-ಡ್ರೈವ್ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು 'ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್' ಎಂಬ ಏಕಗೀತೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.^[೫]

ಫಿಬೊನಾಚಿ ರಾಶಿ ದತ್ತಾಂಶ ರಚನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಕ್ಯೂಬ್ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೋಡ್ ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಮರುನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗಾಗಿ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರ್ಚ್ ಟೆಕ್ನಿಕ್ ಎಂಬ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಆಪ್ಟಿಮೈಜೇಷನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ, ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಐಬಿಎಫ್ ೮ ಎಸ್ವಿಎಕ್ಸ್ ಆಡಿಯೋ ಫೈಲ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ನಲ್ಲಿ ಅಮಿಕಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಐಚ್ಛಿಕ ಲಾಸಿ ಸಂಕುಚನಕ್ಕಾಗಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು μ- ಕಾನೂನಿನಂಥ ಲಾಗರಿದಮ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಮೂಲ ಆಡಿಯೊ ತರಂಗವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಮೈಲಿಗಳ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ಗಳಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ಗಳಿಂದ ೧.೬೦೯೩೪೪ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅನುಪಾತವು (θ) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವರ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಗಳು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೈಲಿಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯು ಸುಮಾರು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತ ಬೇಸ್ φ ನಲ್ಲಿ ರಾಡಿಕ್ಸ್ ೨ ನಂಬರ್ ರಿಜಿಸ್ಟರ್ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ has the first 300 F_n factored into primes and links to more extensive tables.
↑ Vogel, Helmut (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences, 44 (3–4): 179–89, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4
↑ John Hudson Tiner (200). Exploring the World of Mathematics: From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers. New Leaf Publishing Group. ISBN 978-1-61458-155-0.
↑ Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ Scott, T.C.; Marketos, P. (March 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[1] s the first 300 F_n factored into primes and links to more extensive tables.

[2] Vogel, Helmut (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences, 44 (3–4): 179–89, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4

[3] John Hudson Tiner (200). Exploring the World of Mathematics: From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers. New Leaf Publishing Group. ISBN 978-1-61458-155-0.

[4] Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7

[5] Scott, T.C.; Marketos, P. (March 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]