ಸದಸ್ಯ:1840470 Pavithra S M/WEB

"ಅನಂತ ಹೋಟೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ"

ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ (ಆಡುಮಾತಿನ: ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಹೋಟೆಲ್ ಪ್ಯಾರಡಾಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ಸ್ ಹೋಟೆಲ್) ಒಂದು ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕ್ರಮಿತ ಹೋಟೆಲ್ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಇರಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ೧೯೨೪ ರ ಉಪನ್ಯಾಸ "ಉಬರ್ ದಾಸ್ ಉಂಡೆಂಡ್ಲಿಚೆ" ನಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣ ಮಾಡಿದರು (ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ೨೦೧೩, ಪುಟ ೭೩೦) ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಗ್ಯಾಮೊವ್ ಅವರ ೧೯೪೭ ರ ಪುಸ್ತಕ ಒನ್ ಟು ತ್ರೀ ... ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮೂಲಕ ಜನಪ್ರಿಯವಾಯಿತು.

ವಿರೋಧಾಭಾಸ

ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೋಟೆಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ಹೊಸದಾಗಿ ಆಗಮಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಹೋಟೆಲ್‌ಗೆ ಅವಕಾಶವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಚೋದಿಸಬಹುದು, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಣೆಗಳಂತೆಯೇ, ಅಲ್ಲಿ ಪಾರಿವಾಳ ಹೋಲ್ ತತ್ವವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅನೇಕ ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗಳು

ಹೊಸ ಅತಿಥಿ ಆಗಮಿಸಿ ಹೋಟೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ವಸತಿ ಹೊಂದಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು (ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ) ಪ್ರಸ್ತುತ ಕೊಠಡಿ ೧ ರಲ್ಲಿರುವ ಅತಿಥಿಯನ್ನು ೨ ನೇ ಕೋಣೆಗೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ೨ ನೇ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅತಿಥಿಯನ್ನು ೩ ನೇ ಕೋಣೆಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಪ್ರತಿ ಅತಿಥಿಯನ್ನು ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕೋಣೆಯಿಂದ n ಕೊಠಡಿಗೆ n ೧ ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಹೊಸ ಅತಿಥಿಯನ್ನು ಆ ಕೋಣೆಗೆ ಸರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಅನಂತ ಅನೇಕ ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗಳು

ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ: ಕೊಠಡಿ ೧ ಅನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೊಠಡಿ ೨ ಕ್ಕೆ, ಅತಿಥಿ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಕೊಠಡಿಯನ್ನು ೨ ನೇ ಕೋಣೆಗೆ ೪ ಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅತಿಥಿ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಕೊಠಡಿ n ಅನ್ನು ಕೊಠಡಿ 2n ಗೆ (೨ ಬಾರಿ) n), ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಠಡಿಗಳು (ಅವುಗಳು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಹೊಸ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಉಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತಲಾ ಅನಂತ ಅತಿಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಅನೇಕ ತರಬೇತುದಾರರು

ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ, ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನಂತ ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಚ್‌ಲೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಚ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಆಸನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ). ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ, ತರಬೇತುದಾರನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಆಸನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಪ್ರಧಾನ ಅಧಿಕಾರ ವಿಧಾನ:

i ಅನ್ನು ಕೋಣೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡಿ 2ⁱ , ನಂತರ ಮೊದಲ ತರಬೇತುದಾರನ ಹೊರೆಗಳನ್ನು ಕೋಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ 3ⁿ, ಕೋಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ತರಬೇತುದಾರನ ಹೊರೆ 5ⁿ; ಕೋಚ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ pⁿ ಅಲ್ಲಿ c^th ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲವು ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ (ಇದು ಹೋಟೆಲ್‌ಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಇರಬಹುದು); ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 15 ಅಥವಾ 847 ನಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಕ್ರಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. . ಖಾಲಿ ಹುದ್ದೆಗಳ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಫಿಟ್‌ಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.)(ಒಂದು ಇಂಟರ್ಚೇಂಜ್ p ಮತ್ತು c ಇದ್ದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಮನಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ ಅದನ್ನು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು.)

ಪ್ರಧಾನ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ವಿಧಾನ:

ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸನದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು s ರು ಮತ್ತು ಕೋಚ್ c ಅನ್ನು ಕೋಣೆಗೆ ಹಾಕಬಹುದು 2^s 3^c ( ಈಗಾಗಲೇ ಹೋಟೆಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಜನರಿಗೆ c = 0, ಮೊದಲ ತರಬೇತುದಾರರಿಗೆ 1, ಇತ್ಯಾದಿ ...). ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಇರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಜನರಿಗೆ ಒಂದು ಕೋಣೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಇಬ್ಬರು ಒಂದೇ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2592 ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿ 2⁵ 3⁴ , 4 ನೇ ಕೋಚ್‌ನಲ್ಲಿ, 5 ನೇ ಸೀಟಿನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಧಿಕಾರ ವಿಧಾನದಂತೆ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲವು ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನಂತ ರಾತ್ರಿಗಳು, ಅನಂತ ಪ್ರವೇಶದ್ವಾರಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ... ( 2^s 3^c 5ⁿ 7^e )

ಇಂಟರ್ಲೀವಿಂಗ್ ವಿಧಾನ:

ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯಾಣಿಕರಿಗೆ, ದಶಮಾಂಶದಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ n ಮತ್ತು c ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. (ಪ್ರತಿ ಹೋಟೆಲ್ ನಿವಾಸಿಗಳನ್ನು ಕೋಚ್‌ನಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವವರೆಗೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಕೋಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಇಂಟರ್ಲೀವ್ ಮಾಡಿ: ಅದರ ಅಂಕೆಗಳು [ಕೋಚ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಅಂಕೆ] - [ಆಸನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಅಂಕೆ] - [ಕೋಚ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಅಂಕೆ] - [ಆಸನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಅಂಕೆ]-ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಹೋಟೆಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಲೀವಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅತಿಥಿಯ ಮೂಲ ತರಬೇತುದಾರ ಮತ್ತು ಆಸನವನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದರೆ ಮೊದಲು ಪ್ರಮುಖ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಡಿ-ಇಂಟರ್ಲೀವ್ ಮಾಡಿ: ಆಸನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂಲ ಎನ್‌ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಆಸನ-ಬೆಸ ಮತ್ತು ಕೋಚ್-ಸಹ), ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವವರೆಗೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಧಾನ :

ಈಗಾಗಲೇ ಹೋಟೆಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವವರನ್ನು (n² + n)/ 2 ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗುವುದು. ತರಬೇತುದಾರರಾಗಿರುವವರು ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ ((c+n-1)² +c+n-1)/2+n , ಅಥವಾ (c+n-1) ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆ ಜೊತೆಗೆ n. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಠಡಿಗಳು ಒಂದರಿಂದ ತುಂಬಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು, ಅತಿಥಿ.

ಹೋಟೆಲ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಕೋಣೆಯ ಆಳವಾದ, ಅನಂತ ಎತ್ತರದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಂತೆ ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಜೋಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಒಂದೇ ಕೋಣೆಯಾಗಿದೆ: ಕೊಠಡಿ 1; ಅದರ ಎರಡನೇ ಸಾಲು 2 ಮತ್ತು 3 ಕೊಠಡಿಗಳು; ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಬಲಗಡೆ ಕೋಣೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕಾಲಮ್ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವು ತುಂಬಿದ ನಂತರ (ಹೋಟೆಲ್‌ನ ಪುನರ್ವಿತರಣೆ ಮಾಡಿದ ನಿವಾಸಿಗಳಿಂದ), ಉಳಿದ ಖಾಲಿ ಕೋಣೆಗಳು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಮೂಲ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಕೋಚ್‌ಗೆ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಅತಿಥಿಯು ತನ್ನ ಕೋಚ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಿದ ನಂತರ ಅವನ ಕೋಣೆ "ಏನೆಂದು" ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು ತಕ್ಷಣ.

ಅನಂತದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪದರಗಳು

ಹೋಟೆಲ್ ಸಾಗರದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ ದೋಣಿಗಳು ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೋಗಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯಾಣಿಕರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಂತದ ಮೂರು "ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು" ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸನ್ನಿವೇಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಅನಂತತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದರಕ್ಕೂ ಹೊಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಕೋಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಣ್ಣ ಒಳಹರಿವುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಬಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸೀಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು (ವಿಳಾಸ 2-3-2) 2 ನೇ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (5) ಅನ್ನು 49 ಕ್ಕೆ ಏರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು 3 ನೇ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (7) ನ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ತನ್ನ ಆಸನ ಸಂಖ್ಯೆ (2) ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೋಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂವತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಇಂಟರ್ಲೀವಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎರಡು ಬದಲಿಗೆ ಮೂರು ಇಂಟರ್ಲೀವ್ಡ್ "ಎಳೆಗಳೊಂದಿಗೆ" ಬಳಸಬಹುದು. 2-3-2 ವಿಳಾಸ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು 232 ಕೋಣೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ 4935-198-82217 ವಿಳಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರು ಕೋಣೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ.

ಅನಂತ ಅತಿಥಿಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದರಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾ, ಹೋಟೆಲ್ ಎಷ್ಟು ಅತಿಥಿಗಳು ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಎಷ್ಟು ಅತಿಥಿಗಳು ಆಗಮಿಸಿದರೂ ಕೋಣೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಬಯಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಆಗಮನದ ವಿಳಾಸವನ್ನು ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದರದೊಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಅತಿಥಿಗಳ ಕೋಚ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತಹ) ಅನೇಕ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 2-5-1-3-1ರ ಹಿಂದಿನ ವಿಳಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತಿಥಿ (ಐದು ಅನಂತ ಪದರಗಳು) 10010000010100010 (ದಶಮಾಂಶ 295458) ಕೋಣೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು; ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅತಿಥಿಯ ಹೊಸ ಕೊಠಡಿ 101000011001 (ದಶಮಾಂಶ 2585). ಪ್ರತಿ ಕೋಣೆಯನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅತಿಥಿಯಿಂದ ತುಂಬಿಸಬಹುದೆಂದು ಇದು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಅತಿಥಿಗಳು ಬರದಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಶಕ್ತಿಯಿರುವ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಒಂದು ವಾಸ್ತವಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ: ಇದು ಪ್ರತಿ-ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. "ಪ್ರತಿ ಕೋಣೆಗೆ ಅತಿಥಿಯಿದ್ದಾರೆ" ಮತ್ತು "ಹೆಚ್ಚಿನ ಅತಿಥಿಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶವಿಲ್ಲ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಕೊಠಡಿಗಳಿದ್ದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಹಾರವು ಪ್ರತಿ-ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. "ವಸ್ತುಗಳ ಅನಂತ ಸಂಗ್ರಹಣೆ" ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು "ವಸ್ತುಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹ" ದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫೈನೈಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಿಳಿಯಬಹುದು.ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸೀಮಿತ) ಹೋಟೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ, ಬೆಸ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಟ್ಟು ಕೊಠಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಹೋಟೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ, ಬೆಸ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಣೆಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಟ್ಟು "ಸಂಖ್ಯೆ" ಕೋಣೆಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಬೆಸ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋಣೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮರುಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತ ಗುಂಪಿಗೆ, ಎಣಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನಂತ ಗುಂಪನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್-ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ: ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧರಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ.

ಉಲೇಖಗಳು