ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದರೆ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸೇರಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.^[೧] ಇಲ್ಲಿ ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೊಡಗಿ ಮುಂದಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅದರ ತತ್ಪೂರ್ವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಫಿಬೊನಾಶಿ

ಫಿಲಿಯಸ್ ಬೊನಾಶಿ ಎಂಬೆರಡು ಪದಗಳ ಹ್ರಸ್ವರೂಪ ಫಿಬೊನಾಶಿ. ಫಿಲಿಯಸ್ ಬೊನಾಶಿ ಎಂದರೆ ಬೊನಾಶಿಯ ಮಗ ಎಂದರ್ಥ.^[೨] 12ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬದುಕಿದ್ದ ಬೊನಾಶಿ ಇಟಲಿ ದೇಶದ ಪೀಸಾ ನಗರದ ವರ್ತಕ,^[೩] ಆತನ ಮಗ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಸಾನೊ ಗಣಿತಜ್ಞ. ವ್ಯಾಪಾರಕ್ಕೆಂದು ಕಾನ್‌ಸ್ಪಾಂಟಿನೋಪಲ್ಲಿಗೆ ತೆರಳಿದ್ದ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಅಲ್ಲಿಯ ಅರಬ್ ವರ್ತಕರ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಹಿಂದೂ ಅರೆಬಿಕ್ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮವನ್ನರಿತು^[೪]^[೫] 1202ರಲ್ಲಿ ಲಿಬರ್ ಅಬಾಶಿ ಎಂಬ ಹದಿನೈದು ಅಧ್ಯಾಯಗಳುಳ್ಳ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ.^[೬]^[೭] ಮೊದಲಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಹಿಂದೂ-ಅರೆಬಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೂಡಿಸುವ, ಕಳೆಯುವ, ಗುಣಿಸುವ, ಭಾಗಿಸುವ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡಿವೆ. ಕೊನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಗೂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೊಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಬರುವ ಉತ್ತರ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದೊಂದು ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಣಿ (Fibonacci sequence). ಇದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪದವನ್ನು F_n ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ

x ಎಂಬುದು ${\frac {1}{x-1}}$ ಕ್ಕೆ ಸಮವಾದಾಗ x ಗೆ ಸುವರ್ಣ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ಎಂಬ ಹೆಸರು. ಇದರಿಂದ x²- x- 1 = 0 ಎಂಬ ವರ್ಗಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. α ಮತ್ತು β ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾದರೆ (αⁿ-βⁿ) / (α-β) ಎಂಬುದು F_n ಆಗಿದೆ. (αⁿ+βⁿ) / (α+β) ಎಂಬುದನ್ನು L_n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವರು. α + β = 1 ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪದ L_n ಆಗಿರುವ ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಶ್ರೇಣಿ 1,3,4,7,11... ಇತ್ಯಾದಿ. ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯೂಕಾಸ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ಯೋನ್ಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ.

ಲೇಖನಗಳು ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳು

ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಪರಿಮಿತ. ಸರಿಸುಮಾರು 700 ವರ್ಷಗಳಿಂದಲೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲ ಹುಟ್ಟಿಸುತ್ತ ಬಂದಿವೆ. 1962ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕದ ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯನ್ ಮ್ಯಾತ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಕೌನ್ಸಿಲಿನ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರು ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಇದರ ವತಿಯಿಂದ 1963 ರಿಂದೀಚೆಗೆ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಲಿಯೆಂಬ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ ಜರ್ನಲ್ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತಿದೆ. ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖನಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಬೆಳಕು ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಇತರ ಜರ್ನಲುಗಳಲ್ಲೂ ಕೆಲ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಬಂದಿವೆ. 1962 ಕ್ಕಿಂತ ಹಿಂದೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ಲೇಖನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜೆರೂಸಲೆಮ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಡೋವ್ ಜಾರ್ಡನ್ ತಮ್ಮ ರಿಕರಿಂಗ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವರು.

ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು

ಇದುವರೆಗೆ ಪ್ರಕಟವಾಗಿರುವ ಲೇಖನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇರೆಗೆ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು: x²-x-1 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾದ α ಮತ್ತು β ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಗಣಿತೀಯ ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ 500ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮುಖ್ಯವಾದವು 24. ಈ 24 ರಿಂದ ಉಳಿದೆಲ್ಲ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾದ ವರ್ನರ್ ಹೊಗಾಟ್ ಬರೆದಿರುವ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಮತ್ತು ಲೂಕಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿರುವ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಕಟಗೊಂಡಿವೆ.
ಶ್ರೇಣಿಯ ಆವರ್ತನ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಿಬೊನಾಶಿ ಹಿಂದಿನೆರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಶ್ರೇಣಿ ಮುಂದುವರಿದಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತ ಹೋಗುವುವು. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷಗಳನ್ನು (remainders) ಮಾತ್ರ ಬರೆಯುತ್ತ ಹೋದಲ್ಲಿ ಈ ಶೇಷ ಶ್ರೇಣಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು. ಪ್ರತಿ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿರುವ ಪದಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುವುದು ಇನ್ನೊಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ರಮ.
ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ, ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ: ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎರಡು 1 ಮತ್ತು 144. ಘನಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಎರಡು, 1 ಮತ್ತು 8. ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1,3,21 ಮತ್ತು 55. ಇವಲ್ಲದೆ ಆಯ್ಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಬರ್ನೂಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮರ್ಸಿನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಫರ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು-ಇವುಗಳಿಗೂ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿರುವ ಅನೇಕ ಲೇಖನಗಳಿವೆ. ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಷ್ಟು ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಮರ್ಪಕವಾದ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆತಿಲ್ಲ.
ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು: ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಪದ ನಿರೂಪಣೆಯೊಂದಿದೆ. ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ಹತ್ತನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎನ್ನುವುದೂ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಾಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.^[೮] ಇದಲ್ಲದೆ ಗೋಲ್ಡ್‌ಬ್ಯಾಕ್‌ನ ವಾದವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಎನ್ನುವುದೂ ತಿಳಿದಿದೆ.
ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ: ಆವರ್ತನ ಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸದೆ ಪ್ರಾರಂಭದ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕರಿಸುವುದು ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಆವರ್ತನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೂರು ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನಿರಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವುದು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನ. ಪ್ರಾರಂಭದ ಪದಗಳನ್ನೂ ಆವರ್ತನ ಕ್ರಮವನ್ನೂ ಬದಲಿಸಿರುವ ಮೂರನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕರಣ ವಿಧಾನವೂ ಇದೆ. ಹೀಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಿರುವ ಹಲವು ಲೇಖನಗಳಿವೆ. ಆವರ್ತನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪದಗಳಿರುವಂತೆ ಅಳವಡಿಸಿರುವ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ದೊರಕಿಸುವಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗೆ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯ: ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವಿನ ಕೇಸರಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಪ್ರದಕ್ಷಣ ಸುರುಳಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 21, 34 ಇವು ಫಿಬೊನಾಶಿ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.^[೯]^[೧೦] ಹಲವು ಹೂಗಳ ಎಸಳಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಗೊಂಚಲಿನ ಕಾಯಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣುವೆವು. ಜೀವವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲೂ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರುವುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವು ಲೇಖನಗಳಿವೆ. ಜೊತೆಗೆ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಫಲನದ ತತ್ತ್ವಗಳಲ್ಲಿ,^[೧೧] ವಿದ್ಯುತ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತತ್ತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಗಣಿತದ ಗ್ರಾಫ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಆಪರೇಷನ್ಸ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಸಿಗುವುವು. ಕೋಣೆಯ ಆಯ ಪ್ರಮಾಣ ಸುವರ್ಣ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಾಸ್ತುಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲೂ ಫಿಬೊನಾಶಿ ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಣಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation
↑ Keith Devlin, The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution, A&C Black, 2012 p. 13.
↑ Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. pp. 92–93. ISBN 0-7679-0816-3. Archived from the original on 2023-03-13. Retrieved 2018-12-19.
↑ Thomas F. Glick; Steven Livesey; Faith Wallis (2014). Medieval Science, Technology, and Medicine: An Encyclopedia. Routledge. p. 172. ISBN 978-1-135-45932-1. Archived from the original on 2023-03-13. Retrieved 2018-12-07.
↑ MacTutor, R. "Leonardo Pisano Fibonacci". www-history.mcs.st-and.ac.uk. Archived from the original on 2019-10-28. Retrieved 2018-12-22.
↑ "Fibonacci Numbers". www.halexandria.org. Archived from the original on 2019-10-13. Retrieved 2015-04-29.
↑ Leonardo Pisano: "Contributions to number theory" Archived 2008-06-17 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.. Encyclopædia Britannica Online, 2006. p. 3. Retrieved 18 September 2006.
↑ Harizanov, Valentina (1995), "Review of Yuri V. Matiyasevich, Hibert's Tenth Problem", Modern Logic, 5 (3): 345–55
↑ Livio 2003, p. 112.
↑ Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), "4", The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–107, ISBN 978-0-387-97297-8
↑ Livio 2003, pp. 98–99.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

Sunflowers and Fibonacci - Numberphile on YouTube
Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
Fibonacci Sequence on In Our Time at the BBC. (listen now)

"Fibonacci numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
OEIS sequence A000045 (Fibonacci numbers)

[oeis-1] Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation

[2] Keith Devlin, The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution, A&C Black, 2012 p. 13.

[livio-3] Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. pp. 92–93. ISBN 0-7679-0816-3. Archived from the original on 2023-03-13. Retrieved 2018-12-19.

[GlickLivesey2014-4] Thomas F. Glick; Steven Livesey; Faith Wallis (2014). Medieval Science, Technology, and Medicine: An Encyclopedia. Routledge. p. 172. ISBN 978-1-135-45932-1. Archived from the original on 2023-03-13. Retrieved 2018-12-07.

[Knott-5] MacTutor, R. "Leonardo Pisano Fibonacci". www-history.mcs.st-and.ac.uk. Archived from the original on 2019-10-28. Retrieved 2018-12-22.

[6] "Fibonacci Numbers". www.halexandria.org. Archived from the original on 2019-10-13. Retrieved 2015-04-29.

[7] Leonardo Pisano: "Contributions to number theory" Archived 2008-06-17 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.. Encyclopædia Britannica Online, 2006. p. 3. Retrieved 18 September 2006.

[8] Harizanov, Valentina (1995), "Review of Yuri V. Matiyasevich, Hibert's Tenth Problem", Modern Logic, 5 (3): 345–55

[FOOTNOTELivio2003112-9] Livio 2003, p. 112.

[10] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), "4", The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–107, ISBN 978-0-387-97297-8

[FOOTNOTELivio200398–99-11] Livio 2003, pp. 98–99.

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]

[೮]

[೯]

[೧೦]

[೧೧]