ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್

ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸರಣಿ (OEIS ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ:A000142); ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004×1025
50	3.041409320×1064
70	1.197857167×10100
100	9.332621544×10157
450	1.733368733×101000
1000	4.023872601×102567
3249	6.412337688×1010000
10000	2.846259681×1035659
25206	1.205703438×10100000
100000	2.824229408×10456573
205023	2.503898932×101000004
1000000	8.263931688×105565708
10100	109.956570552×10101

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. n ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅಥವಾ n! ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

$n!=n\times n-1\times n-2\times 2\cdots 2\times 1.$

ಅರ್ಥಾತ್, n ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5! ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ.

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$

ಶೂನ್ಯದ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಣಿಕೆ (ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್), ಬೀಜಗಣಿತ (ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ) ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ n! ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು :$3\times 2\times 1=6$. ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.. n! ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್ ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)

ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

'n! ಅಥವಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ n ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

${\begin{aligned}n!&=\prod _{k=1}^{n}k\\&=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n\\&=n(n-1)(n-2)\cdots (2)(1)\\\end{aligned}}$

ಇಲ್ಲಿ n ≥ 1 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$.

E.g.:

${\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\\\end{aligned}}$

0!

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಫ್ಯಾಕ್ತೋರಿಯಲ್ 0 = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ.

$0!=1$

ಹೀಗಾಗಿ

$1!=1\cdot 0!=1\ .$

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

${\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1$.

n ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

${\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1$.

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಉಪಯೋಗಗಳು

• n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು n! ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

• ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. n ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ k ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು n ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು n-1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ k ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n-k+1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

${\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (1)}}.$

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಕೋಯೆಫಿಶಿಯೆಂಟ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತ್ತು ${\tbinom {n}{k}}$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

• ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ,.
• ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.
• ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

${\begin{aligned}n!&=D^{n}(x^{n})\\&={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n})\\\end{aligned}}$

ಇಲ್ಲಿ $D^{n}x^{n}$ ಎಂಬುದು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math>

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?

'ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿತಂನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರೇಖೆ

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್‍ಗಳ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಪೋನೆನ್ಶಿಯಲ್‍ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. n! ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು n! ಎಂಬುದರ ನೈಜ ಲಾಗರಿತಂ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,

$\ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x.$

ln n! ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ln n! ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

$\int _{1}^{n}\ln x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\ln x\leq \int _{0}^{n}\ln(x+1)\,dx$

$n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \ln n!\leq (n+1)\ln \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.$

$e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.$

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ

$(n/3)^{n}<n!$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ n ≥ 6 ಆದಾಗ $n!<(n/2)^{n}$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಾಗರಿತಂ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:

${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.$

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜಂ ಅವರು ಕೂಡಾ n! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ (Ramanujan 1988)

$\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}$

ಅಥವಾ

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}[1+1/(2n)+1/(8n^{2})]^{1/6}.$

ಅಥವಾ

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}}\right)$