ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ **ಕ್ರಮಗುಣಿತ** ಸರಣಿ (OEIS ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ:A000142); ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004×10²⁵
50	3.041409320×10⁶⁴
70	1.197857167×10¹⁰⁰
100	9.332621544×10¹⁵⁷
450	1.733368733×10¹⁰⁰⁰
1000	4.023872601×10²⁵⁶⁷
3249	6.412337688×10¹⁰⁰⁰⁰
10000	2.846259681×10³⁵⁶⁵⁹
25206	1.205703438×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	2.824229408×10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	2.503898932×10^1000004
1000000	8.263931688×10^5565708
10¹⁰⁰	10^{9.956570552×10¹⁰¹}

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ(factorial) ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. n ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅಥವಾ n! ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

${\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}$

ಅಂದರೆ, n ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5! ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ.

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.

ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮಗುಣಿತವನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.^[೧]

ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಚಯ (combinatorics), ಬೀಜಗಣಿತ (algebra) ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (mathematical analysis). n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ n! ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು : $3\times 2\times 1=6$ . ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.^[೨]. n! ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್ ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)^[೩]

ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

'n! ಅಥವಾ n ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

{\begin{aligned}n!&=\prod _{k=1}^{n}k\\&=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n\\&=n(n-1)(n-2)\cdots (2)(1)\\\end{aligned}}

ಇಲ್ಲಿ $n \geq 1$ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

(n+1)!=(n+1)\cdot n!

.

ಉದಾ:

{\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\\\end{aligned}}

0!

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು 0 ಕ್ರಮಗುಣಿತ = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ.

0!=1

ಹೀಗಾಗಿ

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 1! = 1 \cdot 0! = 1 \.}

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

{\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1

.

n ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

{\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1

.

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಉಪಯೋಗಗಳು

n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು n! ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.^[೪]^[೫]
ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. n ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ k ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು n ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು n-1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ k ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n-k+1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (1)}}.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ ^[೬] ಮತ್ತು

{\tbinom {n}{k}}

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ,^[೭].
ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.^[೮]
ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

{\begin{aligned}n!&=D^{n}(x^{n})\\&={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n})\\\end{aligned}}

ಇಲ್ಲಿ

D^{n}x^{n}

ಎಂಬುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math>^[೯]

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?

'ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿತಂನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರೇಖೆ

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮತ್ತು ಘಾತಿಕಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. n! ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು n! ಎಂಬುದರ ನೈಜ ಲಘುಗಣಕ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,

\ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x.

ln n! ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ln n! ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\int _{1}^{n}\ln x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\ln x\leq \int _{0}^{n}\ln(x+1)\,dx

n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \ln n!\leq (n+1)\ln \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.

e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ

 $(n/3)^{n}<n!$  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ n ≥ 6 ಆದಾಗ  $n!<(n/2)^{n}$  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಘುಗಣಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:

{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕೂಡಾ n! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ (Ramanujan 1988)

\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}

ಅಥವಾ

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}[1+1/(2n)+1/(8n^{2})]^{1/6}.

ಅಥವಾ

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}}\right)

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
↑ N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136
↑ Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 says Krempe though.
↑ Cheng, Eugenia (2017-03-09). Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Profile Books. ISBN 9781782830818.
↑ Conway, John H.; Guy, Richard (1998-03-16). The Book of Numbers (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387979939.
↑ Knuth, Donald E. (1997-07-04). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321635747.
↑ "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series". MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Retrieved 2017-05-03. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |dead-url= (help)
↑ Kardar, Mehran (2007-06-25). "Chapter 2: Probability". Statistical Physics of Particles (in English). Cambridge University Press. ISBN 9780521873420.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives". MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Retrieved 2017-05-03. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |dead-url= (help)

[1] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111

[2] N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136

[3] Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 says Krempe though.

[4] Cheng, Eugenia (2017-03-09). Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Profile Books. ISBN 9781782830818.

[:0-5] Conway, John H.; Guy, Richard (1998-03-16). The Book of Numbers (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387979939.

[:1-6] Knuth, Donald E. (1997-07-04). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321635747.

[7] "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series". MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Retrieved 2017-05-03. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |dead-url= (help)

[8] Kardar, Mehran (2007-06-25). "Chapter 2: Probability". Statistical Physics of Particles (in English). Cambridge University Press. ISBN 9780521873420.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[9] "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives". MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Retrieved 2017-05-03. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |dead-url= (help)

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]

[೮]

[೯]