ವಕ್ರರೇಖೆ ಹೊಂದಿಸುವಿಕೆ

ವಕ್ರರೇಖೆ ಹೊಂದಿಸುವಿಕೆ^[೧]^[೨] ಎಂದರೆ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳ (data points) ಒಂದು ಸರಣಿಗೆ, ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವಾಗ,^[೩]^[೪] ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪೊರ್ದಿಕೆಯನ್ನು (best fit) ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ, ಅಥವಾ ಗಣಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.^[೫]

ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪೊರ್ದಿಕೆ

ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪೊರ್ದಿಕೆ ಎಂದರೆ ವೀಕ್ಷಿತ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೊಂದುವಂಥ ಒಂದು ಘಾತೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (exponential curve) ನಿರ್ಧರಣೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಪೊರ್ದಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಇದು x = ae^t ಆಗಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ x ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ, t ಕಾಲವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಅಳವಡಿಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ಲಭಿಸುವ ಇಲ್ಲವೇ ಪ್ರಾಕೃತವಾಗಿ ದೊರೆಯುವ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಹಲವಾರು ದೋಷಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಲಕ್ಷಣ ದೋಷಗಳಲ್ಲದೆ ಹಲವಾರು ಸಣ್ಣಪುಟ್ಟ ಅನಿಶ್ಚಿತ ದೋಷಗಳೂ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರಣಾಂತರದಿಂದ ನುಸುಳಿರುವುದುಂಟು. ಇಂಥ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ನಿಜವಾದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಕೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಚರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ ಘಾತೀಯವಾಗಿರುವುದೆಂದು (ಎಕ್ಸ್‌ಪೊನೆನ್ಶಿಯಲ್) ಭಾವಿಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವುದೆಂಬುದು ಅನುಭವ ಸಿದ್ಧವಾದ ಮಾತು. ಅಂದರೆ x,y ಎಂಬ ಚರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು y = ab^x ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡು ಬರುವುದು.

ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವ

ದತ್ತ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಒಂದು ವಕ್ರವನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಾವ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎನ್ನುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವದ ಸ್ಥಾಪನೆಯಾಗಿರುವುದು. x,y ಚರಗಳ ಸಂವಾದಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು (x_i, y_i), i = 1, 2, ……. , n ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅಲ್ಲದೆ x,y ಚರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧದ ಪಡಿಕಟ್ಟು y = a + bx ಎಂದಿರಲಿ. ಈ ಪಡಿಕಟ್ಟಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ x ಚರದ ಬೆಲೆ x_i ಇದ್ದಾಗ y ಚರದ ಬೆಲೆ a + bx_i ಇರುವುದು. ಆದರೆ ವೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ y_i ಇದ್ದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದ ಬೆಲೆ a + bx_i ನಿಂದ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು, ಅಂದರೆ y_i – (a+bx_i) ಯನ್ನು δ_i ಎಂದು ಪ್ರತೀಕಿಸಿದರೆ

$S=\sum \delta _{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}[y_{i}-(a+bx_{i})]^{2}$

ಎಂಬ ವರ್ಗಯೋಗದ ಉತ್ಪನ್ನ ಕನಿಷ್ಠತಮವಾಗಿರುವಂತೆ a,b ಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವೆಂಬುದೇ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವದ ತಿರುಳು.^[೬] ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ರೀತ್ಯ ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಎಂದರೆ a,b ಗಳನ್ನು ಕುರಿತ S ನ ಆಂಶಿಕ ಅವಕಲನಾಂಕಗಳು (ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್) ಸೊನ್ನೆ ಆಗಬೇಕು. ಅಂದರೆ ${\frac {\partial S}{\partial a}}={\frac {\partial S}{\partial b}}=0$ . ಇವುಗಳಿಂದ ದೊರೆವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು (normal equations) ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ a, b ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ದೊರೆಯುವುವು. ಇವನ್ನೇ ಲಾಭಕರವಾದ ಬೆಲೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪೊರ್ದಿಕೆ ವಿಧಾನ

x, y ಚರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ ಘಾತೀಯವಾದಾಗ ಅಂದರೆ y = ab^x ಎಂದಿದ್ದಾಗ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುವುದು ಸುಲಭಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ತತ್ತ್ವದ ತಳಹದಿಯಲ್ಲೇ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯ ಉಂಟು. ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗವನ್ನೇನೋ ಬಳಸುತ್ತೇವಾದರೂ $y_{i}-ab^{x_{i}}$ ಎಂಬುದರ ವರ್ಗಯೋಗದ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲು y = ab^x ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಲಘುಗಣಕಗಳನ್ನು ಇಳಿಸಿ ಬರುವ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು x,y ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ

log y = log a + xlog b

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ log y = Y, log a = A ಮತ್ತು log b = B ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

Y = A + Bx

ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಈಗ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸಲು

S = Σ (Y_i – A – Bx_i)²

ಎಂಬ ವರ್ಗಯೋಗವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠತಮ ಮಾಡಿ ಅದರಿಂದ A, B ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಅವೇಕ್ಷಿಸತ Y_i ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ, y = ab^x ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದ $ab^{x_{i}}$ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠತಮ ಮಾಡಿದಂತಾಗಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿಸಲು ಅನುವಾದ ಯಾವುದೋ ಘಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಮಾತನ್ನು ಜ್ಞಾಪಕದಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಸಾಮ್ಯದಲ್ಲಿ A,B ಗಳ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು

${\frac {\partial S}{\partial A}}={\frac {\partial S}{\partial B}}=0$

ಎಂಬ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ΣY_i = ΣA + B ΣX_i

$\sum X_{i}Y_{i}-A\sum X_{i}-B\sum X_{i}^{2}$

ಎಂಬ ರೂಪ ತಳೆಯುತ್ತವೆ. ಸೂಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ X ನ ಕಾರ್ಯಾಂಗ ಮೂಲವನ್ನು (ವರ್ಕಿಂಗ್ ಆರಿಜಿನ್) ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ 1: ಕರ್ನಾಟಕದಲ್ಲಿ ಕೈಗಾರಿಕೆಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಬ್ಯಾಂಕು ಮುಂಗಡಗಳು (ಲಕ್ಷ ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ)

ವರ್ಷ x	ಮುಂಗಡ y	Y-1964=X	log y=Y	      XY	          X²Y
  1	   2	            3	            4	       5	           6
1960	  3697	           -4	         3.5678	   -14.2712	        57.0848
1961	  4652	           -3	         3.6677	   -11.0031	        33.0093
1962	  4520	           -2	         3.6551	    -7.3102	        14.6204
1963	  5226	           -1	         3.7182	    -3.7182	         3.7182
1964	  6218	            0	         3.7937	   -36.3027	            -
1965	  8011	            1	         3.9037	     3.9037	         3.9037
1966	  9089	            2	         3.9585	     7.9190	        15.8380
1967	 10112	            3	         4.0048	    12.0144	        36.0432
1968	 10728	            4	         4.0305	    16.1220	        64.4880
	 62253		                34.3000	   +39.9591	       228.7056
				                     3.6564

y = ab^x

log y = log a + x log b

ಅಥವಾ Y = A + BX

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

9A = 34.3000, ∴ A = 3.8111

60B = 3.6564, ∴ B = 0.06094

log y = 3.8111 + (x – 1694) (0.06094)

ಅಂದರೆ y = 6473 (1.150)^{(x- 1964)}

ಕರ್ನಾಟಕದಲ್ಲಿ ಕೈಗಾರಿಕೆಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಬ್ಯಾಂಕು ಮುಂಗಡದ ಅಂಕೆ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇಂಥ ವಕ್ರವನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ 1960 ರಿಂದ 1968 ರ ವರೆಗೆ, ಅಂದರೆ 9 ವರ್ಷಗಳ, ಮಾಹಿತಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. 1964 ನೆಯ ಇಸವಿಯನ್ನು x-ನ ಕಾರ್ಯಾಂಗ ಮೂಲ ಬಿಂದುವನ್ನಾಗಿ ಆಯ್ದುಕೊಂಡು x_i-1964 = X_i ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಆಗ X_i = 0 ಆಗುವುದು ಮತ್ತು ΣX_i² =60 ಆಗುವುದು. ಆಗ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ:

ΣY_i = 9A ಮತ್ತು ΣX_iY_i = 60B. ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ΣY_i = 34.3 ಮತ್ತು ΣX_iY_i = 39.9591 ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು A = 3.8111, B = 0.0609 ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Y ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಿ ಅನಂತರ y ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಗಣಿಸಿದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು Y' ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರತೆಯಿಂದ ಪೊರ್ದಿಸಬೇಕೆಂದು ಬಯಸಿದರೆ X,Y ಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು Y = log y = A + BX + CX² ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ:

ΣY_i = ΣA + B ΣX_i + C ΣX_i²

ΣX_iY_i = ΣAX_i + B ΣX_i² + C ΣX_i³

ΣX_i²Y_i = ΣAX_i² + B ΣX_i³ + C ΣX_i⁴

ಮೊದಲಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯಾಂಗ ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನು 1964ರಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ΣX_i = 0, ΣX_i² = 60, ΣX_i³ = 0, ΣX_i⁴ = 708 ಆಗುವುವು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ಸರಳರೂಪಗಳನ್ನು ತಳೆಯುತ್ತವೆ:

ΣY_i = 9.4 + 60C

ΣX_iY_i = 60B

ΣX_i²Y_i = 60A + 708C

ಅಂದರೆ B ಯ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. A ಯ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ. A, C ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು

9A + 60C = 34.3

60A + 708C = 228.7056

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು A = 3.8102; C = 0.00013. ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Y ಯ ವಿವಿಧ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಿ ಅನಂತರ Y = antiilog y ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯದಿಂದ Y ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ (linear) ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ (quadratic) ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ದೊರೆತ ಅಂದಾಜಿನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ವರ್ಗೀಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಪೊರ್ದಿಸಿದ ಬೆಲೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ 2: ವೀಕ್ಷಿತ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜಿನ ಬೆಲೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ.

ಮುಂಗಡ     ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು     ವರ್ಗೀಯ ಅಂದಾಜು
   y	     Y'= A+BX            Y"= A+BX+CX²
   1	         2	              3
 3697	        3693	             3702
 4652	        4249	             4252
 4520	        4889	             4884
 5226	        5626	             5615
 6218	        6458	             6461
 8011	        7449	             7435
 9089	        8690	             8563
10112	        9930	             9868
10728	       11320	            11380

ತಿದ್ದಿದ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ತಿದ್ದಿದ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹಲವು ಸಲ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದುದೆಂದು ಅನುಭವದಿಂದ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ತಿದ್ದಿದ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಬಂಧ ಹೀಗಿರುವುದು:

y = k + ab^x

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ y ಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಗುಣವೆಂದರೆ ಇದರ ಮೊದಲನೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಫಸ್ಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಸ್) ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವುವು. ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರವನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವುದು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರವನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.
↑ William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984.
↑ The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate Silver
↑ Data Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle.
↑ S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. ISBN 0306439972 Page 165 (cf. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)
↑ A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[1] Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.

[2] William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984.

[3] The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate Silver

[4] Data Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle.

[5] S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. ISBN 0306439972 Page 165 (cf. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)

[:0-6] A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]