ಅಂಕಿಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ(Probability Theory)

ಪೀಠಿಕೆ

ದಿನನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವ ಅಥವಾ ಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳು ಅವಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದುದಾಗಿದೆ.

ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟಣೆಗಳಾದ ಭೂಕಂಪಗಳು, ಚಂಡಮಾರುತಗಳು,ಸುನಾಮಿ, ಮಿಂಚು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹಿಂದೆ ಸಂಭವಿಸಿದ ಘಟಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇಂತಹ ಘಟಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದಾಗ ಮಾನವ ಸಮಾಜಕ್ಕೆ ಆಗಬಹುದಾದ ಅನಾಹುತಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ದಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನದ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲ್ಯಾಸ್ ರವರನ್ನು ಪರ್ವ ಕಾಲಿಕ ಶ್ರೇಷ್ಠ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದ.

ಇವರನ್ನು ಫ್ರೆಂಚಿನ ನ್ಯೂಟೋನ್ ಎಂದು ಸಹ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

೧೮೧೨ ರಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲ್ಯಾಸ್[೧] ರವರು ಸಂಕ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಿದ್ದಪಡಿಸಿದರು. ಇವರು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.

ಅವುಗಳಲ್ಲೊಂದು "ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪರವಾದ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಒಟ್ಟು ಘಟನೆಗಳ ಅನುಪಾತ" ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಣರು "ಪ್ರಯೋಗ" ಮತ್ತು "ಫಲಿತಾಂಶ" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಅಥವಾ ಅಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನವಜಾತ ಶಿಶುವು ಗಂಡೋ ಅಥವಾ ಹೆಣ್ಣೋ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮುವುದು, ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಬ್ಯಾಗಿನಿಂದ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿದಿ೯ಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಅಪಘಾತಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ ಲೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

''Pierre-Simon Laplace'',ಲ್ಯಾಪ್ಲ್ಯಾಸ್, September 4, 2019

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು:

ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುವ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದುದಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ, ಪ್ರಯತ್ನ, ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಬಗೆಯ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲೇ ನಿಖರವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣವನ್ನು S ನಿಂದ ಸೊಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರತ೯ನೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ S ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

A ಯು S ನ ಉಪಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಕೈಗೊಂಡಾಗ, A ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಂದರೆ, ಆಗ ನಾವು ಘಟನೆ A ಯು ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರನೆಗಳಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ, ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ, ಘಟನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ದೃಷ್ಟಾಂತಿಕತೆ:


ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ	ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ	ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು
ನಿಷ್ಟಕ್ಷಪಾತವಾದ ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮುವುದು.	S = {H,T}	ಶಿರ {H} ಸಂಭವಿಸುವುದು ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಪುಚ್ಛ {T} ಸಂಭವಿಸುವುದು ಇನ್ನೊಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ.
ನಿಷ್ಟಕ್ಷಪಾತವಾದ ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಉರುಳಿಸುವುದು..	S = {1,2,3,4,5,6}	{1,3,5},{2,4,6},{3} ಮತ್ತು {6} ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

ರಾಂಡಮ್ (Random) ವೇರಿಯಬಲ್

ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್[೨] 'Y' ಎಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಪಡೆದ ‘ತಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ’. X೧,....., x೨, ಅಥವಾ x೧, x೨.....ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಅ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ(ಯೂನಿಕ್) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳು 'Y' ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ೦ ಮತ್ತು ೧, ಆದ್ದರಿಂದ 'ತಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ' ೦ ಮತ್ತು ೧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ (Y) 'ವೈ' ಎಂಬುದು ಒಂದು ಮಾದರಿ ಜಾಗದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶ, ಇದು ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರಿಲಿಮಿನರಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಯೋಗವು "ಹೆಡ್ಸ್"(Heads) ಅಥವಾ "ಟೈಲ್ಸ್"(Tails) ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಟಾಸ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಯೋಗವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾ. ನಾಣ್ಯ "ಹೆಡ್ಸ್"(Heads)ಅಥವಾ ಟೈಲ್ಸ್ (Tails) ಟಾಸ್ ಮಾಡಿ ಮಾಡಿ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶ.

ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಈ ನಾಣ್ಯದೊಂದಿಗೆ ತಲೆ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಆಗಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಾಲವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ೧ - p), ಆಗ Y = 0 ಎಂದರೆ ೧- p ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು Y = ೧ p ಆಗಿರುತ್ತದೆ . ಇದು ನಮಗೆ Y ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು Y ಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

: P (Y = ೦) = ೧ - p

P (Y = ೧) = p

ಘಟನೆಗಳು:

೧. ಸಮನಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳು :

ಎರಡು ಅಥವಾ ಎಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳು ಸಮನಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಭಹುದಾದ ಘಟನೆಗಳು ಎನ್ನಬೇಕಾದರೆ ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸಬಬಹುದಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು.

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಶಿರ ಮತ್ತು ಪುಚ್ಛ ಬರುವುದು ಸಮನಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

೨. ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳು:

ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಇತರೆ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಎಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

೩. ಪೂರಕ ಘಟನೆಗಳು:

E ಎಂಬುದು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣವು S ಆಗಿರಲಿ. E ನಲ್ಲಿ ಇರದ ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು E ನ ಪೂರಕ ಘಟನೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು E' ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಗ E’=S-E ಮತ್ತು E’ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳಾಗುತ್ತದೆ.

೪. ಸರ್ವವ್ಯಾಪಕ ಘಟನೆಗಳು:

E೧,.......Eಎನ್ ಘಟನೆಗಳು ಸರ್ವವ್ಯಾಪಕ ಘಟನೆಗಳಾಗಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣ S ಆಗಿರಬೇಕು.

ಇದೆ ರೀತಿ ಹಲವಾರು ಘಟನೆಗಳಿವೆ: ಖಚಿತ ಘಟನೆ, ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ಪರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು.

ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಯೋಗ :

ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆಯುವುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ (ಈಗ) ಅನ್ನು ಪಡೆದ ತಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ೦, ೧ ಮತ್ತು ೨ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ (೧-p) ೨, ೨p (೧-p) ಮತ್ತು p^೨.

ವಿತರಣೆಗಳು:

೧. ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ :

ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಪಿ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ ಅರ್ಧ-ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (−∞, x] ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

೨. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ :

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

೩. ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ :

ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ.

ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹಂಚಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ, ಏಕರೂಪದ, ಚಿ-ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಇತರರು.

ಉಲ್ಲೆಖನೆಗಳು:

೧. ,''ಲ್ಯಾಪ್ಲ್ಯಾಸ್'',ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ೪, ೨೦೧೯

೨. ಸಂಭವನೀಯತೆ,ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ೧೧, ೨೦೧೯