ವಿಲಿಯಮ್ ಬ್ರೌಂಕರ್

ವಿಲಿಯಮ್ ಬ್ರೌಂಕರ್ (1620-84) ಐರ್ಲೆಂಡ್ ದೇಶದ ಗಣಿತವಿದ.

ಜೀವನ, ಸಾಧನೆಗಳು

ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಪ್ರಥಮ ಅಧ್ಯಕ್ಷ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಚಿಂತನೆ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸಿದ್ದಾನೆ. A ಒಂದು ಅವರ್ಗ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ (non-square positive integer) x² - Ay² = 1 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೂಲ x,y ಗಳು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿರುತ್ತವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ ಅವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟ. ಸುಮಾರು ಒಂದು ಸಹಸ್ರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನೂ, ಮುಂದೆ ಭಾಸ್ಕರನೂ ಇವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಯೂರೊಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಥಮತಃ ಈ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದಾತ ಪಿಯರೆ ಫರ್ಮಾ (1601-65). ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಫರ್ಮ 1657 ಫೆಬ್ರುವರಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರೌಂಕರ್ ಮತ್ತು ವಾಲಿಸ್ ಅವರಿಗೆ ಸವಾಲಾಗಿ ಒಡ್ಡಿದ. ಬ್ರೌಂಕರ್ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಕೊಟ್ಟನಾದರೂ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ A = 2, x = 3, y = 2) ವಾಲಿಸ್ ತಪ್ಪು ತಿಳಿವಳಿಕೆಯಿಂದ ಬಹುಶಃ ಪೆಲ್ (1610-85) ಎಂಬಾತ ಇದನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರಬೇಕೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಇದನ್ನು ಪೆಲ್ಲನ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಕರೆದ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಇದು ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣ.

ಬ್ರೌಂಕರ್ 1658ರಲ್ಲಿ ${\frac {\pi }{4}}$ ಗೆ ಅನಂತ ಭಿನ್ನರಾಶ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಸ್ತರಣೆ (infinite fractional expansion) ಶೋಧಿಸಿದ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

${\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}$

ಇದೇ ವೇಳೆ ವಾಲಿಸ್ ${\frac {\pi }{2}}$ ಗೆ ಕೊಟ್ಟ

${\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots$

ಸೂತ್ರವನ್ನು^[೧] ಮಾರ್ಪಡಿಸಿ ಬ್ರೌಂಕರ್ ತನ್ನ ಸೂತ್ರ ಪಡೆದ.

ಅತಿಪರವಲಯ $y={\frac {1}{x-1}}$ ರ ಸಲೆ ಗಣಿಸುವಾಗ 1668ರಲ್ಲಿ ಬ್ರೌಂಕರ್ ಮತ್ತು ಮರ್ಕೇಟರ್ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಘಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}$ ಯನ್ನು ಶೋಧಿಸಿದರು.^[೨]^[೩]