ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ

ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಎನ್ನುವುದು Nx²+1 = y² (N ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (6-7ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಾಸ್ಕರ (12ನೆಯ ಶತಮಾನ) ತಮ್ಮ ತಮ್ಮ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಡಯೊಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣವೆಂಬ ಹೆಸರು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಜಾನ್ ಪೆಲ್ (1610-85) ಎಂಬಾತ ಇದೇ ರೂಪದ x²-Dy² = 1 (ಇಲ್ಲಿ D ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive non-square integer)) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಅಥವಾ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣ ಪೆಲ್ಲಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವೆಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಪರಿಹಾರ

ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಗೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಪರಿಹಾರ ಪಡೆದ ಬಗೆ ಬಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಂದರ. ಮೊದಲು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

Nα2 + κ = β2                            Nα'2 + κ = β'2

ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಆಗ αβ'+α'β ಮತ್ತು ββ'+Nαα' ಎಂಬವು Nx²+κκ' = y² ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಉಪಪ್ರಮೇಯ (ಲೆಮ್ಮ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ α=α' ಮತ್ತು β=β' ಎಂದು ಆದೇಶಿದಾಗ 2αβ, β²+Nα² ಎಂಬವು Nx²+1 = y² ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. κ=±1 ಮತ್ತು κ=±2 ಆದಾಗ ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. K=4 ಆದಾಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ $x={\frac {\alpha ^{2}-2}{2}},y={\frac {\alpha \beta }{2}}$ ಎಂಬವನ್ನೂ, $x={\frac {\alpha }{2}}(\alpha ^{2}-3),y={\frac {\beta }{2}}(\alpha ^{2}-1)$ ಎಂಬವನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಜೊತೆ, α,β ಎರಡೂ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ, ಅಂತೆಯೇ ಎರಡನೆಯ ಜೊತೆ b ವಿಷಮಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ.

ಉದಾರಣೆಗೆ κ=-4 ಆದಾಗ $x={\frac {(\alpha ^{2}+2)[(\alpha ^{2}+1)(\alpha ^{2}+3)-2)]}{2}},y={\frac {\alpha \beta (\alpha ^{2}+3)(\alpha ^{2}+1)}{2}}$ ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು 628ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತವಿದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಸಾಧಿಸಿದುದು ಅಂದಿನ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆಯ ಹಿರಿಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕ. ಮುಂದೆ ಭಾಸ್ಕರ 1150 ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮೀಕರಿಸಿದ. ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಯ ಪೂರ್ಣಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜ್ (1776-1813) 1766 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Weisstein, Eric W., "Pell's equation", MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Pell's equation", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Pell equation solver (n has no upper limit)
• Pell equation solver (n < 10¹⁰, can also return the solution to x² − ny² = ±1, ±2, ±3, and ±4)