ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ

ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎನ್ನುವುದು ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತವಿದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಬಾನಾಕ್ (1892-1945) 1932ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಗ್ರಂಥ ‘ಸರಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ’ದಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದ ನೂತನ ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಬಾನಾಕ್ ಸ್ಪೇಸಸ್). ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅವೆಲ್ಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂಥ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಿ ಈ ಬಗೆಯ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈತ ನಿರ್ಮಿಸಿದ.

ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್)

V ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದು ಅದರಲ್ಲಿ + (ಸಂಕಲನ) ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವಾಗಿರಲು, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ V ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಲು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗ್ರೂಪ್), ಎಂದರೆ $\forall \ x,y,z\ \in \ V$  (V ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಧಾತು x, y, z ಗಳಿಗೂ) ಈ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಐದು ಗುಣಗಳಿರಲಿ:

1. x + y Ԑ V
2. (x+y) + z = x + (y+z)
3. x + y = y + z
4. V ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ x ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಮತ್ತು O + x = x ಆಗುವಂತೆ ಇರುವ ಒಂದು ಧಾತು O ಯು V ಯಲ್ಲಿರಬೇಕು.
5. V ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು x ಗೂ ತಕ್ಕ ಧಾತು –x ಎಂಬುದು –x + x = O ಆಗುವಂತಿರಬೇಕು.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ V ಯನ್ನು ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ V ಯ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ F ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ (field). ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ $\forall \ \alpha \ \in \ F$ ಮತ್ತು $\forall \ x\ \in \ V$ ಗಳಿಗೂ V ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸದಿಶ αx ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತಿರಲಿ. ಮೇಲಾಗಿ ಇಂಥ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಈ ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುವಂತಿರಲಿ:

$\forall \ x,\ y\ \in \ V$ ಮತ್ತು $\forall \ \alpha ,\ \beta \ \in \ F$

1. α(x+y) = αx + αy
2. (α+β)x = αx + βx
3. α(βx) = (αβ)x
4. 1x = x

ಇಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದು F ನ ಏಕಾಂಶ.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ V ಯನ್ನು F ನ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ (ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ F ಮೇಲಿನ) ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಆಕಾಶ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್)

F ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ R ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ C ಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. L ಎಂಬುದು F ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಸಮಷ್ಟಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಮೂರು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ $x\to \|x\|$ ನ್ನು L ನಿಂದ R ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ L ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗೂ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $\|x\|$ ಅನ್ವಯಯಾಗುತ್ತದೆ:

$\forall \ x,\ y\ \in \ L$ ಮತ್ತು $\forall \ \alpha \ \in \ L$ ಗಳಿಗೂ

1. $\|x\|\geq 0$ ಮತ್ತು $\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$
2. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$
3. $\|\alpha x\|=|\alpha |\ \|x\|$

ಈ $x\to \|x\|$ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ನಾರ್ಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ, ಮಾನಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. $\|x\|$ ನ್ನು x ನ ಮಾನಕವೆಂದೂ, ಇಂಥ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ L ಗೆ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು L ನ್ನು ಒಂದು ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವಾಗಿ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಮಾಡಬಹುದು.

$\forall \ x,\ y\ \in \ L$ ಗಳಿಗೂ

$d(x,y)=\|x-y\|$

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ ದೊರೆತ ಉತ್ಪನ್ನ (x, y) → d(x, y) ಎಂಬುದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನದ (distance function) ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹಿತಗಳನ್ನೂ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

1. d(x, y) ≥ 0, = ⇔ x=y
2. d(x, y) = d(y, z)
3. d(x, y) ≥ d(x, x) + d(x, y)

ಹೀಗಾಗಿ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳೆಲ್ಲ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶಗಳೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣತೆ(ಕಂಪ್ಲೀಟ್‌ನೆಸ್)

ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಅಭಿಸರಣೆ ಮುಂತಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ {x_i | i = 1, 2, 3……} ಎಂಬುದು L ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಅಗಿರಲಿ. Є > 0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಇದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡು

$\|x_{m}-x_{n}\|\leq \in \ \forall \ m,n\geq n_{0}$

ಆಗುವಂತಿರುವ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n₀ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಾದರೆ ಅಂಥ ಶ್ರೇಣಿ {x_i} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯೂ ಅಭಿಸರಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಂದರೆ {x_i} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇದೇ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ (x_i→x). ಹೀಗೆಂದರೆ Є>0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ $\|x_{n}\to x\|<\epsilon ,\forall \ n\geq n_{0}$ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n₀ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ.

ಈವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾನಕಾತ್ಮಕ ಸರಳ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ (complete normed vector space) ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ $\mathbb {R}$ ನ್ನು $\mathbb {R}$ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ $\forall \ x\ \in \ \mathbb {R} \ \|x\|=|x)$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇದು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ. ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ $\mathbb {C}$ ಯು $\mathbb {C}$ ಮೇಲಾಗಲಿ $\mathbb {R}$ ಮೇಲಾಗಲಿ ರಚಿಸಿದ ಒಂದು ಸರಳ ಅಕಾಶ. ಇದರಲ್ಲಿ $\forall ^{z}=\alpha +i\beta \ \in \cdots \|z\|=1z1={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿ $\mathbb {C}$ ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಇದನ್ನೇ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ F=$\mathbb {R}$ ಅಥವಾ $\mathbb {C}$ ಆಗಿದ್ದರೆ Fⁿ = {(z₁,z₂,…..,z_n) | z₁,z₂,….,z_n Є F} ಎಂಬ ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಆಕಾಶ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ

||z₁,z₂,…..,z_n) ||1 = ${\sqrt {|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}$

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ Fⁿ ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ Fⁿ ನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿಸಬಹುದು: 1≤ p<∞ ಇರುವಂತೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ p ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,

$\|(z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n})\|\ p=\left[\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|\ p\right]^{\frac {1}{p}}$ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ Fⁿ ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗುತ್ತದೆ.  ಇದನ್ನು $I_{p}^{n}$ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

4. Fⁿ ನ್ನು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು:

||(z₁,……….,z_n)|| = ಗರಿಷ್ಠ {|z₁| ,….., |z_n|} ಎಂದರೆ |z₁|,…..,|z_n| ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠತಮವಾದುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾನಾಕ್ ಅಕಾಶ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $I_{\infty }^{n}$ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

5. X ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತೀಯ ಆಕಾಶ (ಟಾಪಾಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಆಗಿರಲಿ. ಎಂದಿನಂತೆ F ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. X ನಿಂದ F ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಪರಿಬಂಧಿತ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಅವಿಚ್ಫಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ (continuous function) f :X→F ಗಳ ಗಣವನ್ನು C(X) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ C(X) ಎಂಬುದು F ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಆಕಾಶ ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ $\forall \ f\in C(X),f\to \|f\|$ ಮಾನಕವನ್ನು

||f|| = ಗರಿಷ್ಠ ಪರಮಾವಧಿ (ಸುಪ್ರಿಮಮ್) { | f(x) | ∀ f Є C(X)  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇದು C(X) ನ್ನು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Banach space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W., "Banach Space", MathWorld.