ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ

<nowiki>ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೂತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು x ಮತ್ತು y ನ n ನೇ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ x + y ವಿಧದ ದ್ವಿಪದದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ 100 ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನ್ಯೂಟನ್ರವರ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಅದರ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)$

ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ (1) ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು n ನ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ≤ n ≤ 5 ಗಾಗಿ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,$

ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ(generalised form)

ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಪದ ಮೊತ್ತದ $r$th ಪವರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು $x+y$ ಅಲ್ಲಿ $x,y$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಇವು $y>0$ ಮತ್ತು $|{\tfrac {x}{y}}|<1$:

$(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}$

ಇತಿಹಾಸ

ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಇತಿಹಾಸವು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂರಚಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ 3 ನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಂಗಲ ಚಂದಾ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸುಂದರವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಮೇರು ಪ್ರಸ್ತಾರ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರು. 10 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಹಲಾಯುಧ ಅವರು ಛಂದಸೂತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಇದನ್ನು ಇಂದು "ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

6 ನೇ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ, ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ದ್ವಿಪದದ ಘನವನ್ನು (ಮೂರು ಘಾತ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ.

6 ನೇ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ, ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಹುಶಃ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು.ಮತ್ತು ಇದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖವು 12ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಲೀಲಾವತಿ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಗಳ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ನ್ಯೂಟನ್‌ನಿಗಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಘಾತಗಳಿಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಇದನ್ನು 1665 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಕ್ರಿ.ಶ. 1676 ನಲ್ಲಿ ಲಂಡನ್‌ನ ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಕಾರ್ಯದರ್ಶಿಗೆ ಎರಡು ಪತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದನು. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ರವರ ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುಳ್ಳು. ಅಬೆಲ್ 1826 ರಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಬಲವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಘಾತ ಹಾಗೂ ದ್ವಿಪದದ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು.

ಸಂದರ್ಭ

• Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ

• ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ
• ಮೇರು ವಿಸ್ತರಣೆ
• ಛಂದಃಸೂತ್ರಂ

ಬಾಹ್ಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳು

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• The Hundred Greatest Theorems
• Binomial theorem in Ancient India
• Date of Pingala - Origin of Binary Computation