ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ವು (ಗ್ರೀಕ್‌ನ ἔλλειψις, "falling short" ಎಂಬ ಅರ್ಥ ನೀಡುವ elleipsis ನಿಂದ ಬಂದುದಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಶಂಕುವಿನಿಂದ ಸಮತಲವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿತೆಗೆದಾಗ ಬಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಕ್ರರೇಖೆ(closed curve)ಆಗಿದೆ.

ವೃತ್ತವು ವಿಶೇಷವಾದ  ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ವೃತ್ತವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು  ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ  ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದ ಸವತಲವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಬಿಂದುಪಥವೂ ಆಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗಗಳಾಗಿದೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗದ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ; ಇನ್ನುಳಿದ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರವಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಗಳಾಗಿವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಲಂಬರೇಖೀಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಥಾದೃಶ್ಯ ರೂಪಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಚಲನೆಯು ಸಮನಾದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೈನ್ ವಕ್ರ (sinusoid)ಗಳಾದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಸರಳವಾದ ಲಿಸೇಜಿಯಸ್ ರೇಖಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಶಗಳು

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ತನ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸದೃಶ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ನುಣುಪಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಏಂಟಿಪೋಡಲ್ ಬಿಂದುಗಳ ಅಥವಾ ಯಾವ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೊ ಆ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು, ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷ ದಲ್ಲಿನ ಅಥವಾ ಅಡ್ಡಲಾದ ವ್ಯಾಸ(transverse diameter) ದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಗೌಣಾಕ್ಷ ಅಥವಾ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಡೈಯಾಮೀಟರ್‌ ದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ.^[೧]

ಅರ್ಧ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ  ( ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ a  ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿರುವ) ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೌಣಾಕ್ಷ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ b  ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿರುವ) ಕ್ರಮಾನುಗತವಾಗಿ ಪ್ರಧಾನಆಕ್ಷ ಮತ್ತು ಗೌಣಾಕ್ಷಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ) ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಗೌಣ ಅರ್ಧ-ಅಕ್ಷಗಳು ,^[೨]^[೩] ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಗೌಣ ಅರ್ಧಅಕ್ಷಗಳು ^[೪]^[೫] ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಗೌಣ ತ್ರಿಜ್ಯ ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.^[೬]^[೭]^[೮]^[೯]

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ವಿಶೇಷವಾದ ಬಿಂದುಗಳಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳು(ಕೇಂದ್ರಗಳು), F1 ಮತ್ತು F2 ಗಳು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ Pನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಕೆಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ( PF1 + PF2 = 2a ). ಈ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ' ಕೇಂದ್ರ (ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ){/0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸರಿಸಮನಾದ ಎರಡನೇ ರಚನೆಗಾಗಿ ಈ ಲೇಖನದ ಕೆಳಗಿನ ಆಧಾರರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನುವನ್ನು  ಪರಾಮರ್ಶಿಸಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ε  ಅಥವಾ e  ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳ(ಕೇಂದ್ರಗಳು) ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳ ನಿಷ್ಫತ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ e  = 2f /2a  = f /a .

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ 0<e <1). ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು 0 ಆದಾಗ ಕೇಂದ್ರಗಳುಯು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿಲೀನವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾಕೃತಿಯು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು 1ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚಿನ ದೀರ್ಘಆಕೃತಿಯನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಪರಿಮಿತ ಅಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಪರಿಮಿತವಲಯವಾಗುತ್ತದೆ.

focal ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದ ನಡುವಿನ a e ಅಂತರವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ರೇಖೀಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ(f = a e ).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ರಚನೆ

ಗುಂಡುಸೂಜಿ-ಮತ್ತು- ದಾರದ ವಿಧಾನ

ಎರಡು ರೇಖನ ಸೂಜಿಗಳು, ಒಂದು ಉದ್ದದ ದಾರ ಮತ್ತು ಪನ್ಸಿಲ್‌ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು:

ಎರಡು ಸೂಜಿಗಳನ್ನು ಪೇಪರಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಚುಚ್ಚಿಕೊಂಡಾಗ ಅದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ದಾರವನ್ನು ಸೂಜಿಗಳ ಸುತ್ತ ಸಡಿಲವಾಗಿ ಸುತ್ತಿ (ಕುಣಿಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು) ಗಂಟು ಹಾಕಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ತ್ರಿಭುಜದ ಆಕೃತಿಯೇರ್ಪಡುವಂತೆ ಕುಣಿಕೆಯನ್ನು  ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ನ ತುದಿಯಿಂದ  ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಎಳೆಯಬೇಕು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗುವಂತೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ನ ತುದಿಯನ್ನು ದಾರದೊಳಗಿರಿಸಿಕೊಂಡು ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲನ್ನು ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಆಯತಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕೆಂದರೆ,  ಕೇಂದ್ರಗಳುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಮತ್ತು ದಾರದ ಕುಣಿಕೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತವನ್ನೆಳೆಯಬೇಕು:

A ,B ,C ,D ಗಳು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಆಯತಾಕೃತಿಯ ಮೂಲೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು A -B ಯು ಒಂದು ಉದ್ದದ ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹುಗಳಾಗಿರಲಿ.

A ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಅಗಲ A -D ಯು ತ್ರಿಜ್ಯವಾರುವಂತೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ B ಮೂಲೆಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತದ ಉದ್ದವು, L ಕೇಂದ್ರಗಳುಗಳ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಯತಾಕೃತಿಯ ಕೆಂದ್ರದಿಂದ ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ; ಇವುಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಗೌಣಾಕ್ಷಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಕೇಂದ್ರದಿಂದ L /2 ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಯನ್ನಿರಿಸಿ.

ದಾರದ ಕುಣಿಕೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂಜಿಯನ್ನು ಚುಚ್ಚಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂಜಿಯನ್ನು ಅದರ ಮತ್ತೊಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಧಾನ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಚಿಚ್ಚಿ. ದಾರವನ್ನು ಎರಡು ಸೂಜಿಗಳ ಸುತ್ತ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಕಟ್ಟಿ ಕುಣಿಕೆಯಾಗಿಸಿ. ನಂತರ ಮೂಲ ಆಯತಾಕೃತಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಡಕವಾಗುವಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಒಂದು ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ದೊಣ್ಣೆ, ಮುಮ್ಮೋಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಹಾಗೂ ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡೂ ರಚಿಸಬಹುದು:

ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ M ,N , ಎರಡು ಲಂಬಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ; ಇವುಗಳು ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಗೌಣಾಕ್ಷಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ದೊಣ್ಣೆಯಿಂದ A , B , C ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. A->C ಯು ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು B->C ಯು ಗೌಣಾಕ್ಷದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಕಾಗದದ ಮೇಲಿರುವ ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ದೊಣ್ಣೆಯನ್ನು A ಬಿಂದುವು ಯಾವಾಗಲೂ N ನ ಮೇಲಿರುವಂತೆ, ಮತ್ತು B ಯು M ನ ಮೇಲಿರುವಂತೆ ಚಲಿಸಿ. ಇನ್ನೊಂದು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ನ ತುದಿಯನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ, ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ದೊಣ್ಣೆಯು C ಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಚಲಿಸಿ.

ಆಗ ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ನ ತುದಿಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸನ್‌ನ ಟ್ರಾಮೆಲ್‌ ಅಥವಾ ಎಲಿಪ್ಸೊಗ್ರಾಫ್‌ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ದೊಣ್ಣೆಯನ್ನು ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ನ ಹಿಡಿಕೆಯಿರುವ ಸರಳಿನಿಂದ ಬದಲಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಬಿಂದು C ), ಎರಡು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದಾದ ಸೂಜಿಗಳನ್ನು A ಮತ್ತು B )ಹೊಂದಿದೆ. ಅದು ಒಂದು ಲೋಹದ ಪ್ಲೇಟ್‌ಗೆ ಸೇರುವ ಎರಡು ಲಂಬವಾದ ಕಂಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರುತ್ತದೆ.^[೧೦]

ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂ‍ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಗಲವಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

"ನಿತಿಂಗ್‌ ಗ್ರಿಂಡರ್‌" ಎಂಬ ಆಟಿಕೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಥೂಲ ಲೆಕ್ಕ/ನಿಕಟತೆ

ಕಡಿಮೆ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಆಫ್‌ಸೆಟ್‌ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬುಧಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಹಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗೌಣಾಕ್ಷಗಳು ಪ್ರಧಾನ ಅದರ ಅಕ್ಷದಿಂದ 0.5 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.  ಒಂದು ಜೊತೆ ಕೈವಾರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವಿಕೆಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರತಿಫಲಕಗಳು ಮತ್ತು ಶಬ್ದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು

ಧೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ನಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಲಕಿದರೆ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಲೆಗಳು ಆ ಕಲಕುವಿಕೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳು ಗೋಡೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನಗೊಂಡ ನಂತರ ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆನ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿಲೀನವಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಎರಡು ಕೇಂದ್ರಗಳು ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ವಾಪಾಸ್ಸಾಗುವ ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯಾಣದ ಉದ್ದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ, ಧೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆನ ದರ್ಪಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲವನ್ನಿರಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳು ಎರಡನೆ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಇತರ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ನುಣುಪಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲೂ ಈ ಗುಣ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. (ವಿಶೇಷವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲದಿಂದ ಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಳಕು ಕೇಂದ್ರದೆಡೆಗೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ.)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ದರ್ಪಣವನ್ನು ಸೃಷ್ಠಿಸಲು, ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸುತ್ತುತ್ತಿದ್ದರೆ,(ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ಪಸರಿಸಿದ ಗೋಳಾಭ ), ಮೂಲದಿಂದ ವಿಮುಖವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳಿಗೂ ಈ ಗುಣವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ, ಧೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ದ ಭಾಗದೊಂದಿಗಿನ  ಸಿಲಿಂಡರಿನಾಕಾರದ ದರ್ಪಣವನ್ನು, ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿದೀಪಕ ದೀಪದಿಂದ ಕಾಗದದ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಳಕನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ; ಈ ದರ್ಪಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ದಾಖಲಿಸುವ ಕ್ಷಿಪ್ರ ವೀಕ್ಷಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ಶಬ್ದತರಂಗಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಮನುಷ್ಯನು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆಯ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ಮನುಷ್ಯನ ಮಾತನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕೇಳಬಹುದು.
 ಇದರ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಕಮಾನು ಛಾವಣಿಯಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ಪಸರಿಸಿದ ಗೋಳಾಭದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.  ಇಂತಹ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಪಿಸುದನಿಯ ಕೊಠಡಿ(ವಿಸ್ಪರ್ ಚೇಂಬರ್) ಯನ್ನುವರು.   ಒಂದು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳಾಭದ ಕೊನೆಯಂತಿರುವ ಎರಡು ಪ್ರತಿಫಲಕದೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಯುನೈಟೆಡ್‌ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್‌ ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ನ್ಯಾಶನಲ್‌ ಸ್ಟ್ಯಾಟುಟರಿ ಹಾಲ್‌( ಜಾನ್‌ ಕ್ವಿನ್ಸಿ ಅಡಮ್ಸ್‌ನ್ನು ಈ ಗುಣವನ್ನು ರಾಜಕೀಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕದ್ದಾಲಿಸಲು ಬಳಸಿಕೊಂಡನು), ಚಿಕಾಗೊನಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯೂಸಿಯಮ್‍ ಆಫ್‌ ಸೈನ್ಸ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಶಬ್ಧಪ್ರದರ್ಶನ, ಅರ್ಬಾನಾ-ಚಾಂಪಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಇಲ್ಲಿನೋಸ್‌ ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿಯ ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಫೋಲಿಂಗರ್ ಆಡಿಟೋರಿಯಮ್‌, ಮತ್ತು ಅಲ್ಹಂಬ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಚಾರ್ಲ್ಸ್‌ Vನ ಅರಮನೆಯ ಬದಿಯ ಕೋಣೆ.

ಗ್ರಹಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳು

17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಜೊಹಾನ್ಸ್‌ ಕೆಪ್ಲರ್‌, ಗ್ರಹಗಳು ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡು ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಕಕ್ಷೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವನ ಮೊದಲ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ನಂತರದಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ವಿಶ್ವವ್ಯಾಪಿ ಗುರುತ್ವ ನಿಯಮದ ಉಪಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗುರುತ್ವದ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ತಮ್ಮನ್ನು ಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ,ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ), ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳುಯಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಸಮಾನ್ಯ baryಕೇಂದ್ರನೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಕಕ್ಷೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಉಳಿದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಭೌತಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ನೋಡಿದಾಗ, ಇನ್ನೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಕಕ್ಷೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಕರ್ಷಣಾ ಬಲದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಅಂತರದ ವರ್ಗದ ವಿಲೋಮಾನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಪ್ಲರನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಆ ಆಕರ್ಷಣಾ ಬಲದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮದಡಿಲ್ಲಿ, ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್‌ಪೂರಿತವಾದ ಕಣಗಳೂ ಸಹ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗುತ್ತವೆ. ( ಕಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದ್ದಗ್ಯೂ ಈ ನಿರ್ಣಯವು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೊಮ್ಯಾಗ್ನಟಿಕ್‌ ವಿಕಿರಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್‌ ಪರಿಣಾಮದಂತಹ ನಷ್ಟವನ್ನು ಅಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.)

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, $e$ ಯೊಂದಿಗಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಹಕಾರಿಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ:

$e={{r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }} \over {r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}={{r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }} \over {2a}}$

$r_{\mathrm {ap} }=(1+e)a\!\,$ $r_{\mathrm {per} }=(1-e)a\!\,$

ಇದರಲ್ಲಿ:

$r_{\mathrm {ap} }\,\!$ ಅಪೋಯಾಪ್ಸಿಸ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ (ಅಂದರೆ, ಅತ್ಯಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರ).
$r_{\mathrm {per} }\,\!$ ಪೆರಿಯಾಪ್ಸಿಸ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ (ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರ).
$a\,\!$ ಪ್ರಧಾನಾರ್ಧ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದ.

ಹರಾತ್ಮಕ ಆಂದೋಲಕಗಳು

ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಹರಾತ್ಮಕ ಆಂದೋಲಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ  ಪರಿಹಾರಗಳೂ  ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡೂ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ಉದ್ದದ ಪೆಂಡ್ಯುಲಮ್‌; ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಿಗ್ಗುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗಿಗೆ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅಥವಾ ಆಕರ್ಷಕ ಬಲದಡಿಯಲ್ಲಿ ತಂದಾಗ ಚಲಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವು ಸ್ಥಿರ ಆಕರ್ಷಕದಿಂದ ಅದರ ಅಂತರಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಕಪ್ಲರ‍್ನ ಕಕ್ಷೆಯಲಲ್ಲದೆ, ಈ "ಹರಾತ್ಮಕ ಕಕ್ಷೆಗಳು" ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಆಕರ್ಷಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂದವಾದ ಸರಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹಂತದ ದೃಶೀಕರಣ

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸೈನ್‌ನಾಕಾರದ ಸಂಜ್ಞೆಗಳಿಗೆ ದೋಲದರ್ಶಕದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನ್ನು ನೀಡಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಪ್ರದರ್ಶನವು ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಸಂಜ್ಞೆಗಳು ಇದು ಹಂತದಿಂದ ಹೊರಹೋಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗೇರುಗಳು

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಹೊರರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಗೇರುಗಳನ್ನು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಧಾರ ಗೂಟಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಸರಿಯಾದ ಕೋನದಲ್ಲಿರಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ನಿಧಾನವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಬೇಕು. ಒಂದಾದ ಮೇಲೆ ಒಂದರಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕೊಂಡಿ ಅಥವಾ ಸಮಯದ ಬೆಲ್ಟ್‌ನಿಂದ ಜೋಡಿಸಬೇಕು. ಆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗೇರುಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಉಪಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತಿರುಗುವ ಚಲಿಸುವ ಅಚ್ಚುಗಂಬಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಅಥವಾ ಟಾರ್ಕ್ಯೂವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಈ ನೂಲುವ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಶಂಕುವಿನಾಕೃತಿಯ ಬಾಬಿನ್‌ನಲ್ಲಿ ದಾರವನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಉಪಕರಣ.

ಬಾಬಿನ್‌ ದಾರದ ಆರಂಭಕ್ಕಿಂತ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಸುತ್ತಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.^[೧೧]

ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ

ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ ಬೆಳಕಿನ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಸಮಾ ವರ್ತಕವು (ಬೈ ರೆಫ್ರಿಂಜೆಂಟ್), ವಕ್ರೀಕರಣ ಸೂಚಿಯು ಬೆಳಕಿನ ದಿಕ್ಕನ್ನವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಭ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ( ವಸ್ತುವು ಬೆಳಕಿನ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮವರ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಭವು ಗೋಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಗಳು

ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ನನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಯುಕ್ಲೀಡಿಯನ್‌ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು, ಸೀಮಿತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿನ ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗವೆಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಬಿಂದುಗಳ ಅಂತರದ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜತೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ದಾಂಡೇಲಿಯನ್ನನ ಗೋಲಗಳನ್ನು ಉಪಯಗಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೆಂದರೆ

e=\varepsilon ={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}

flattening factor, ಅಥವಾ, ಸಮನಾಗಿಸುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು, $f=1-{\frac {b}{a}}=1-{\sqrt {1-e^{2}}}$

e={\sqrt {f(2-f)}}

ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ಗಿರುವ ಅಂತರವು ae ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

ಆಧಾರರೇಖೆ

ಗೌಣ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಜೊತೆಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ F ಗಳನ್ನು ಆಧಾರರೇಖೆಗಳೆನ್ನುವರು. ಬಲಗಡೆಯಿರುವ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪರಾವರ್ಶಿಸಿ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು P ನಿಂದ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ F ನ ಅಂತರವು ಸ್ಥಿರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆಧಾರರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, e =PF /PD . ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಅನುಪಾತವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ( ದಾಂಡೇಲಿಯನ್ನನ ಗೋಲಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಚೆನ್ನಾಗಿ ಗೊತ್ತಿರುವ ಅನುಪಾತವಾದ e =f /a ಅಲ್ಲದೆ e =a /d ಯೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೈಪೊ‍ಟ್ರೋಕಾಯ್ಡ್‌‍ ಆಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

R =2r ಆದಂತಹ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೈಪೊ‍ಟ್ರೋಕಾಯ್ಡ್‌‍ ಆಗುತ್ತದೆ.

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು πab  ಆಗಿರುತ್ತದೆ,  ಇಲ್ಲಿ (ಮೊದಲಿನಂತೆ) a  ಮತ್ತು b ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ   ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಗೌಣ ಅಕ್ಷಗಳ  0.5ಯಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು  $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$  ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುವುದಾದರೆ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು  ${\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2}}}}$  ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಧಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ  $C$ ಯು :

C=4aE(\varepsilon )

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ $E$ ಯು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅನುಕಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಖಚಿತವಾದಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಎಂದರೆ:

C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right]\,\!

ಅಥವಾ

C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)^{2}\,\!

ಗಣನೆಯ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಶೀಘ್ರವಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಛೇದವನ್ನು ಈ ದರದಲ್ಲಿ ${\tfrac {27}{1024}}\left({\tfrac {a-b}{a+b}}\right)^{8}$ ಶೂನ್ಯವಾಗಿಸಿದಾಗ ಕೆಳಗಿನಂತಾಗುತ್ತದೆ.

$C={\frac {8\pi }{Q^{5/4}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\tfrac {1}{12}})_{n}({\tfrac {5}{12}})_{n}(v_{1}+nv_{2})r^{n}}{(n!)^{2}}}$

r={\tfrac {432(a^{2}-b^{2})^{2}(a-b)^{6}ba}{Q^{3}}}

Q=b^{4}+60ab^{3}+134a^{2}b^{2}+60a^{3}b+a^{4}

v_{1}=ba(15b^{4}+68ab^{3}+90a^{2}b^{2}+68a^{3}b+15a^{4})

v_{2}=-a^{6}-b^{6}+126ab^{5}+1041a^{2}b^{4}+1764a^{3}b^{3}+1041a^{4}b^{2}+126a^{5}b

^[೧೨]

ರಾಮಾನುಜನ್ನರ ಒಳ್ಳೆಯ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ :

C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}}\right]

ಅಥವಾ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು:

C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,

ಗೌಣ ಅಕ್ಷಗಳು ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}}

ಅಥವಾ ಉತ್ತಮವಾದ ಅಂದಾಜು ಎಂದರೆ

C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}}

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸುತ್ತಳತೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಕೋನದಿಂದಾದ ಫಲನದಂತಹ ಕಂಸದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅನುಕಲದಿಂದ ಪಡೆದುದಾಗಿದೆ. ಫಲನದಂತಹ ಕೋನದಿಂದಾದ ಕಂಸದ ಉದ್ದವಾದ ವಿಲೋಮ ಫಲನವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಫಲನಗಳಿಂದ ಪಡದುದಾಗಿದೆ.

ಯೋಜನೆಯಿಂದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ

ಯೋಜನೆಯಿಂದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಯೋಜನೆಯಿಂದಾದ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ  ಒಂದು ಜತೆ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ(ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಟ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು) ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.     ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣೆಯ ಉಭಯತ್ವದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು {2}ಯೋಜನೆಯಿಂದಾದ ನಕ್ಷೆ{/2}ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ  ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ/ಸಂಬಂಧಿತ ಎನ್ವಲಪ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳೆಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅತಿಪರವಲಯ ಮತ್ತು ಪರವಲಯಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಸೃಷ್ಠಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ, ಯೋಜನೆಯಿಂದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶಂಖುವಿನ ವಿಭಾಗಗಳೂ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನಂತ Ωದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಪರವಲಯವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಕ್ಕೆ Ωವನ್ನು ದಾಟಿದಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತ, ಗೋಲ,  ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು  ಸಮಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯೋಜಿಸಿದಾಗ  ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ವಸ್ತುವನ್ನು ಕತ್ತರಿದಿರುವ O ನ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಸಮತಲ Q  ಮತ್ತು P ಗೆ  ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳಂತಹ, P  ಸಮತಲದ ಮೂಲಕ ಬಿಂದು O ವಿನಿಂದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ  ಯಾವುದೇ ಶಂಖೀಯ (ಆಳ)  ಯೋಜನೆಯಿಂದಲೂ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ.   ಅಫಿನ್ ನಕ್ಷೆಯಿಂದಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿತ್ತದೆ,

ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಯೋಜನಾ ನಕ್ಷೆM ನಿಂದಾದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟೀವ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಸಹಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ M ⁻¹(Ω) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅಡ್ಡಹಾಯುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದಿವಾದಾಗ.

ವಿಭಜನಶೀಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ವಿಭಜನಶೀಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ,  ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಕಾರ್ಟೀಶಿಯನ್‌ ಸಮತಲದ ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ $(X,Y)$  ಗಣವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

~AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0

ಇಲ್ಲಿ F ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲ ಮತ್ತು $F(B^{2}-4AC)$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ; ಅಥವಾ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ

~AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY=1

ಜೊತೆಗೆ $~B^{2}-4AC$

ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಧ

ಸರಿಯಾದ ನಿರ್ಧೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

ಇಲ್ಲಿ $(x,y)$ ಯು ಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಂಗೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, $(X_{c},Y_{c})$ ಅದರ ಮೂಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದರ $x$ - ಅಕ್ಷವು $(X_{a},Y_{a})$ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾದ ಏಕಾಂಶ ಸದಿಶ , ಮತ್ತು ಅದರ $y$ - ಅಕ್ಷವು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ $(-Y_{a},X_{a})$ ಅದೆಂದರೆ, $x=X_{a}(X-X_{c})+Y_{a}(Y-Y_{c})$ ಮತ್ತು $y=-Y_{a}(X-X_{c})+X_{a}(Y-Y_{c})$ .

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲವು $(0,0)$ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳು $(-ea,0)$ ಮತ್ತು $(+ea,0)$ ಗಳಾಗಿವೆ.

ಯಾವುದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯಾಸಾರ್ಧದೊಂದಿಗಿನ ಭ್ರಮಣ ಮತ್ತು ಅನುವಾದದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಏಕಾಂಶ ವೃತ್ತದ $\mathbb {R} ^{2}$ ವನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ

X^{2}+Y^{2}=1\,

ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿರುವ a ಮತ್ತು b ಅಪವರ್ತನಗಳಿಂದ.

ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

Y=\pm b{\sqrt {1-(X/a)^{2}}}=\pm {\sqrt {(a^{2}-X^{2})(1-e^{2})}}

 ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು  $(X,Y)$  ವಿನಿಂದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಭಾಗದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ  $a+eX$  ಮತ್ತು  $a-eX$ ಗಳ ಅಂತರಗಳು.

ಟ್ರಿಗ್ನೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ $(X(t),Y(t))$ ಬಿಂದುಗಳ ಪಥದಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ

X(t)=X_{c}+a\,\cos t\,\cos \phi -b\,\sin t\,\sin \phi

Y(t)=Y_{c}+a\,\cos t\,\sin \phi +b\,\sin t\,\cos \phi

ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿ

t ಯು  0 ಇಂದ 2π ಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ  $(X_{c},Y_{c})$  ವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ, ಮತ್ತು  $\phi$  ಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ X-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು  ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ವಿಧ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ (ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿರಲಿ, ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳು X-ಅಕ್ಷ ದಲ್ಲಿರಲಿ), ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗೆ ಸರಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

X(t)=a\,\cos t

Y(t)=b\,\sin t

ಗಮನಿಸಿ, ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯು t (ಖಗೋಳ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯ ಅಸಂಗತತೆ ಯೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) $(X(t),Y(t))$ X-ಅಕ್ಷ ದೊಂದಿಗಿನ ಕೋನವು ಅಲ್ಲ .

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತದ ಕೋನದೊಂದಿಗಿರುವ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ  $\phi$ ,  ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದಾದ ಕೋನ  $\phi ^{\prime }$  ( ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರದಿಂದಾದ ಧ್ರುವದ ಕೋನವನ್ನುತ್ತಾರೆ ), ಮತ್ತು  ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ಕೋನ t ^[೧೩] ಗಳೆಂದರೆ:^[೧೪]^[೧೫]^[೧೬]

\tan \phi ={\frac {a}{b}}\tan t={\frac {\tan \phi '}{(1-f)^{2}}}={\frac {\tan \phi '}{1-e^{2}}}

\tan \phi ^{\prime }=(1-f)\tan t

\tan t={\frac {b}{a}}\tan \phi ={\sqrt {(1-e^{2})}}\tan \phi =(1-f)\tan \phi ={\frac {\tan \phi '}{\sqrt {(1-e^{2})}}}={\frac {a}{b}}\tan \phi '

ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ದೃವರೂಪ

ದೃವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ  $\theta =0$  ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಅಳೆದಾಗ,ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಳಗಿನಂತಾಗುತ್ತದೆ

r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}

ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ದೃವದ ವಿಧ

 ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ನಲ್ಲಿ ಮೂಲದ ಬದಲು ದೃವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕೋನೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $\theta =0$ , ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ

r(\theta )={\frac {a(1-\varepsilon ^{2})}{1\pm \varepsilon \cos \theta }}

ಉಲ್ಲೇಖವು  $\theta =0$ ಕೇಂದ್ರದೆಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಛೇದವು ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ(ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ), ಮತ್ತು ಅದು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರ ಸಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಧನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪಹೆಚ್ಚಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ  ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ  $\phi$ ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆ ಇದ್ದಾಗ ದೃವ ರೂಪವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ

r={\frac {a(1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cos(\theta -\phi )}}.

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ $\theta$ ನೈಜ ಅಸಂಗತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

 ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅಂಶವು  $a(1-\varepsilon ^{2})$  ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೆಮಿ-ಲ್ಯಾಟಸ್ ರೆಕ್ಟಮ್  ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ  $l$  ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವಿಕೆನಿಂದ  ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ದೃವ ವಿಧ

ದೃವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ (r ,θ ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದೊಂದಿಗಿನ (r ₀,θ ₀)ಬಿಂದುವಿನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕಿರುವ ವ್ಯಾಸಾರ್ಧವನ್ನು a  ಮತ್ತು b ,  ದೃವ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಂತೆ φ ದಿಂದ ತಿರುಗುವa  ಅಕ್ಷವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

r(\theta )={\frac {P(\theta )+Q(\theta )}{R(\theta )}}

ಇದರಲ್ಲಿ

P(\theta )=r_{0}\left(\left(b^{2}-a^{2}\right)\cos \left(\theta +\theta _{0}-2\varphi \right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right)

Q(\theta )={\sqrt {2}}ab{\sqrt {R(\theta )-2r_{0}^{2}\sin ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)}}

R(\theta )=\left(b^{2}-a^{2}\right)\cos(2\theta -2\varphi )+a^{2}+b^{2}

ಕೋನೀಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ

ಕೋನೀಯ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ  $o\!$  $\varepsilon$ ಯು  ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ e ಯನ್ನು ಸೈನ್‌ ಕೋನವನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದೆಂದರೆ,

o\!\varepsilon =\sin ^{-1}(e)=\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=2\tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right);\,\!

Degrees of freedom/

ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಐದು ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಂದೆ(ಶಂಕುವಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ), ಅದರ ಸ್ಥಾನ, ನೆಲೆ, ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ ವೃತ್ತಗಳು ಕೇವಲ ಮೂರು ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಅಳತೆ)ಪರವಲಯವು ನಾಲ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಹಜವಾದ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಗಳು ( ಹೌಸ್ ಡೊಫ್ ಅಂತರದಂತೆ) ಬಗೆಬಗೆಯ ಐದು-ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ degreeಗಳನ್ನು , ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳು(coefficients) A ,B ,C ,D ,E ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ವಿಧದಲ್ಲಿರುವ X _c, Y _c, φ , a , b ಇವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಗಣಕಯಂತ್ರದ ರೇಖನದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು

ಪ್ರಾಚೀನ ರೇಖನಗಳ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರದರ್ಶನ ಲೈಬ್ರರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಕಿಂಟೋಶ್‌ ಕ್ವಿಕ್‌ಡ್ರಾ API, ವಿಂಡೋಸ್‌ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ ಡಿವೈಸ್‌ ಇಂಟರ್‌ಫೇಸ್‌  ಮತ್ತು  ವಿಂಡೋಸ್‌ ಪ್ರಸಂಟೇಶನ್‌ ಪ್ರಸಂಟೇಶನ್‌‌ (WPF). ಆ ರೀತಿಯ ಲೈಬ್ರರಿಗಳು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.  ಐಬಿಎಮ್‌ನ ಜಾಕ್‌ ಬೆಸೆನ್ಹಾಮ್‌ರು 2ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್‌ಗಳಿಂದ ಅನ್ವೇಷಣೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾದರು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದರಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ಕೂಡುವುದು ಮತ್ತು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.  1967ರಲ್ಲಿ ಬೆಸೆನ್ಹಾಮ್‌ನ ಗಣನ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಎಮ್‌.ಎಲ್‌.ವಿ. ಪಿಟ್ಟೆವೇ ರೇಖೆಯಿಂದ ಶಂಖುವಿನಾಕೃತಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದನು.^[೧೭]

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು 1984ರಲ್ಲಿ ಜರ್ರಿ ವಾನ್ ಆಕೆನ್‌ ಅನ್ವೇಷಿಸಿದನು(IEEE CG&A, Sept. 1984).

1970ರಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾನಿ ಕೊಹೆನ್‌ "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಗ್ರಫಿಕ್ಸ್‌ 1970"ನ್ನು ಇಂಗ್ಲೇಂಡಿನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಯ ರೇಖನಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಮ್ಮೇಳನದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. 1971ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್‌.ಬಿ. ಸ್ಮಿತ್‌, ಎಲ್ಲಾ ಶಂಖುವಿನ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೂ ಅದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖನಗಳನ್ನ ಪ್ರಕಟಗೊಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಅವುಗಳ ಒಳ್ಳೆಯ ಗುಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸಿದನು.^[೧೮] ಈ ರೇಖನಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಲು ಕೇವಲ ಕೆಲವು ಗುನಾಕಾರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕೂಡುವುದನ್ನು ಬಯಸುತಿತ್ತು.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜಾವಾಲಿಪಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತದ ಉದಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣಗಳನ್ನು ಗಣಿಸುವುದಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು.

<source lang="javascript"> /*

ಈ ಫಲನಗಳು 36 ಬಿಂದುಗನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಅರೆಯನ್ನು ಇದನ್ನು ರಚಿಸಲು ಹಿಂದಿರಿಗಿಸುತ್ತದೆ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.
@param x {double} X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ
@param y {double} Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ
@param a {double} ಪ್ರಧಾನಾರ್ಧ ಅಕ್ಷಗಳು
@param b {double} ಗೌಣಾರ್ದ ಅಕ್ಷಗಳು
@param angle {double} ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೋನಗಳು
/

ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ(x, y, a, b, ಕೋನಗಳು, ಪಥಗಳು) {

if (steps == null)
steps = 36;
var points = [];

// ಡಿಗ್ರೀ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
var beta = -angle * (Math.PI / 180); //(Math.PI/180) ಡಿಗ್ರೀ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ
var sinbeta = Math.sin(beta);
var cosbeta = Math.cos(beta);

for (var i = 0; i < 360; i += 360 / steps) 
{
var alpha = i * (Math.PI / 180) ;
var sinalpha = Math.sin(alpha);
var cosalpha = Math.cos(alpha);

var X = x + (a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta);
var Y = y + (a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta);

points.push(new OpenLayers.Geometry.Point(X, Y));
}

return points;

} </source>

ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಒಂದು ಲಾಭಕರ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಕ್ರತೆಯಿರುವಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹಾಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿನ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ತುಂಬ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂದಾಜು ಏರುತಗ್ಗು ಇರುವಿಕೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಶಿಸುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ಗೌಣಾರ್ಧ ಅಕ್ಷಗಳು = 0 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ = 1, ಮತ್ತು  focal ಬಿಂದುಗಳು ಅದರ ಕೊನೆಯಾದಾಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನಶಿಸಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.^[೧೯] ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು 1 ಆದಾಗ್ಯೂ  ಇದು ಪರವಲಯವಲ್ಲ.  ತ್ರಿಜ್ಯೀಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಟ್ರಾಜೆಕ್ಟರಿಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿ

ಶಂಕುವಿನಾಕೃತಿಯ ಭಾಗ
ಅಪೊಲೋನಿಯಸ್ ಆಫ್ ಪರ್ಗಾ, ದ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಅಥಾರಿಟಿ
ಎಲೊಪ್ಸಾಯಿಡ್‌, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುರೂಪತೆ
ಸ್ಪೆರಾಯಿಡ್‌,‍ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಧಾನ ಅಥವಾ ಗೌಣ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಎಲಿಪ್ಸಾಯಿಡ್‌.
ಸೂಪರ್‌ಎಲಿಪ್ಸ್‌, ಹೆಚ್ಚು "ಬಿಂದೀಯ" ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾಣುಬಹುದಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ
ಅತಿಪರವಲಯ
ಪರವಲಯ
ಅಂಡಾಕೃತಿ
ಸತ್ಯ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯ, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಅಸಂಗತತೆ
ಶಂಖುವಿನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಣೆ
ಕೆಪ್ಲರನ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು
ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನೊಳಗೊಳ್ಳುವ ದೃಷ್ಟಾಂತಗಳು
ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್
ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು , ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಗಳ ವರ್ಗನ್ನಾಧರಿಸಿದ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಸಂಖ್ಯಾಸಂಗ್ರಹಣ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕಾರದ ಹಂಚಕೆ

ಆಕರಗಳು

ಚರ್ಲೆಸ್ ಡಿ. ಮಿಲ್ಲರ್‌, ಮಾರ್ಗರೆಟ್ ಎಲ್‌. ಲಿಯಾಲ್‌, ಡೇವಿಡ್‌ ಐ. ಶ್ನ್ಯಡುರ್: ಫಂಡಮೆಮೆಂಟಲ್‌ ಆಫ್ ಕಾಲೇಜ್‌ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ. 3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ ಸ್ಕಾಟ್‌ ಫೊರ್ಸ್‌ಮನ್‌/ಲಿಟಲ್‌ 1990. ISBN 0-471-69059-7. ಪುಟ 349..

ಕಾಕ್ಸೆಟುರ್‌, ಹೆಚ್‌. ಎಸ್‌. ಎಮ್‌.: ಇಂಟ್ರಡಕ್ಷನ್‌ ಟು ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್‌: ವೈಲೀ, pp. 115–119, 1969.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

↑ Haswell, Charles Haynes (1920). Mechanics' and Engineers' Pocket-book of Tables, Rules, and Formulas. Harper & Brothers. Retrieved 2007-04-09.
↑ ಜಾನ್ ಹರ್ಶೆಲ್‌ (1842) ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್‌ ಆನ್‌ ಅಸ್ಟ್ರಾನಮಿ, ಪುಟ 256
↑ ಜಾನ್‌ ಲ್ಯಾಂಕ್‌ಫೊರ್ಡ್‌ (1996), ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್‌ ಆಸ್ಟ್ರಾನಮಿ: ಆ‍ಯ್‌ನ್‌ ಎನ್‌ಸೈಕ್ಲೊಪೀಡಿಯಾ, ಪುಟ 194
↑ ವಿ. ಪ್ರಸೊಲೊವ್ ಮತ್ತು ವಿ. ಟಿಕೊಮಿರೊವ್ (2001), ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, ಪುಟ 80
↑ ಡೊನಾಲ್ಡ್‌ ಫೆನ್ನ (2006), ಕಾರ್ಟೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ಸೈನ್ಸ್‌ : ಎ ಆಫ್‌ ಕಾಂಪೆಂಡಿಯಮ್‌ ಮ್ಯಾಪ್‌ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಸ್‌, ವಿಥ್‌ ಡಿರವೇಶನ್ಸ್‌‎, ಪುಟ 24
↑ ಆಟೊಕ್ಯಾಡ್‌ ರಿಲೀಸ್‌ 13: ಕಮಾಂಡ್‌ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್‌, ಪುಟ 216
↑ ಡೇವಿಡ್‌ ಸಲೋಮನ್‌ (2006), ಕರ್ವ್ಸ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಸರ್ಫೇಸಸ್‌ ಫಾರ್‌ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಗ್ರಫಿಕ್ಸ್‌, ಪುಟ 365
↑ CRC ಪ್ರೆಸ್‌ (2004), ದ CRC ಹ್ಯಾಂಡ್‌ಬುಕ್‌ ಆಫ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್‌ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌, ಪುಟ 11-8
↑ ದ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್‌ ಅಸ್ಸೋಸಿಯೇಶನ್‌ ಆಫ್‌ ಅಮೇರಿಕ (1976), ದ ಅಮೇರಿಕನ್‌ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್‌ ಮಂತ್ಲೀ, ಸಂಪುಟ. 83, ಪುಟ 207
↑ ಹೆಚ್‌. ಟಿ. ಬ್ರೈನ್‌ ಫೈವ್‌ ಹಂಡ್ರೆಡ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಸೆವೆನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಮೂವ್‌ಮೆಂಟ್ಸ್ ಬ್ರೌನ್‌ & ಬ್ರೌನ್‌ (1881) ಪುಟಗಳು 40-41 ವಿಭಾಗ 152 [೧] (ಈ ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ)
↑ ಜಿ.ಬಿ. ಗ್ರಾಂಟ್‌ ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್‍ ಗೇರ್‌ ವೀಲ್ಸ್ ಫಿಲಡೆಲ್ಫಿಯಾ ಗೇರ್‌ ವರ್ಕ್ಸ್‌(1906) p. 72 ಗೂಗಲ್‌ ಪುಸ್ತಕಗಳು
↑ ಸೆಟಿನ್‌ ಹಾಕಿಮೊಗ್ಲು-ಬ್ರೌನ್‌ iamned.com ಗಣಿತ ಪುಟ
↑ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಭೂಮಿಗಾಗಿನ ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತದ ಕೋನವು ಜಿಯೋಡೇಟಿಕ್ ಅಕ್ಷಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೋನವು $\phi '$ ಭೂಕೇಂದ್ರಿತ ಅಕ್ಷಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ಕೋನವು t ಆನುಷಂಗಿಕ ವೃತ್ತದ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ (ಅಥವಾ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ) ಅಕ್ಷಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
↑ ಮ್ಯಾಥ್‌ವರ್ಡ್‌ದಲ್ಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ , ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ(58)
↑ ಆನುಷಂಗಿಕ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳು
↑ ಜೆ. ಮೀಯಸ್- ಆಸ್ಟ್ರಾನಮಿಕಲ್‌ ಆಲ್ಗೋರಿದಮ್ಸ್‌ , ಅಧ್ಯಾಯ. 10 (ದ ಅರ್ಥ್ಸ್‌ ಗ್ಲೋಬ್‌), ಪು. 78, ವಿಲ್‌ಮನ್‌-ಬೆಲ್‌, Inc, 1991
↑ ಪಿಟ್ಟೆವೇ, ಎಮ್‌.ಎಲ್‌.ವಿ., ಗಣನ ವಿಧಾನದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಅಥವಾ ಅತಿಪರವಲಯಗಳನ್ನು ಅಂಕೀಯ ಪ್ಲಾಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ರಚನೆ "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಜರ್ನಲ್‌, ಅಧ್ಯಾಯ 10 1967 pp282-289
↑ ಸ್ಮಿಥ್‌, ಎಲ್‌.ಬಿ., ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ರಚನೆ, ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತಿಪರವಲಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರವಲಯಗಳು, "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಜರ್ನಲ್‌, ಅಧ್ಯಾಯ 14, 1971, pp 81-86
↑ [೨]

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಲ್ಲಿನ ಅಪೊಲೋನಿಯಸ್ ಡಿರವೇಶನ್‌ ಆಫ್‌ ದಿ ಎಲಿಪ್ಸ್‌
ಎಲಿಪ್ಸ್‌ & ಹೈಪರ್‌ಬೊಲ ಕನ್‌ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್‌ Archived 2010-07-27 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. - ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯ/ಹೈಪರ್ಬಲಗಳ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸುವ ಎರಡು ಇಂಟರ್‌ಆ‍ಯ್‌ಕ್ಟಿವ್ ಆ‍ಯ್‌ಪ್ಲೆಟ್ಸ್. (ಜಾವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.)
ಕ್ಲಾರ್ಕ್‌ ಕ್ಲಿಂಗರ್‌ಲಿಂಗ್‌ನ ದಿ ಶೇಪ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್‌ ದಿ ಎಲಿಪ್ಸ್‌ ಇನ್‌ ವಾಶಿಂಗ್ಟನ್‌, ಡಿ.ಸಿ.
ಕಲೆಕ್ಷನ್‌ ಆಫ್‌ ಅನಿಮೇಟೆಡ್‌ ಎಲಿಪ್ಸ್‌ ಡೆಮಾನ್‌ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ಸ್. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಅಕ್ಷಗಳು, ಅಕ್ಷಾರ್ಧಗಳು, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಪರಿಧಿ/ ಸುತ್ತಳತೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತ, ಕೇಂದ್ರಗಳು.
ಹೈಪೊಟ್ರೊಕಾಯಿಡ್‌ನಂತಹ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

[1] Haswell, Charles Haynes (1920). Mechanics' and Engineers' Pocket-book of Tables, Rules, and Formulas. Harper & Brothers. Retrieved 2007-04-09.

[2] ಜಾನ್ ಹರ್ಶೆಲ್‌ (1842) ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್‌ ಆನ್‌ ಅಸ್ಟ್ರಾನಮಿ, ಪುಟ 256

[3] ಜಾನ್‌ ಲ್ಯಾಂಕ್‌ಫೊರ್ಡ್‌ (1996), ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್‌ ಆಸ್ಟ್ರಾನಮಿ: ಆ‍ಯ್‌ನ್‌ ಎನ್‌ಸೈಕ್ಲೊಪೀಡಿಯಾ, ಪುಟ 194

[4] ವಿ. ಪ್ರಸೊಲೊವ್ ಮತ್ತು ವಿ. ಟಿಕೊಮಿರೊವ್ (2001), ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, ಪುಟ 80

[5] ಡೊನಾಲ್ಡ್‌ ಫೆನ್ನ (2006), ಕಾರ್ಟೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ಸೈನ್ಸ್‌ : ಎ ಆಫ್‌ ಕಾಂಪೆಂಡಿಯಮ್‌ ಮ್ಯಾಪ್‌ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಸ್‌, ವಿಥ್‌ ಡಿರವೇಶನ್ಸ್‌‎, ಪುಟ 24

[6] ಆಟೊಕ್ಯಾಡ್‌ ರಿಲೀಸ್‌ 13: ಕಮಾಂಡ್‌ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್‌, ಪುಟ 216

[7] ಡೇವಿಡ್‌ ಸಲೋಮನ್‌ (2006), ಕರ್ವ್ಸ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಸರ್ಫೇಸಸ್‌ ಫಾರ್‌ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಗ್ರಫಿಕ್ಸ್‌, ಪುಟ 365

[8] CRC ಪ್ರೆಸ್‌ (2004), ದ CRC ಹ್ಯಾಂಡ್‌ಬುಕ್‌ ಆಫ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್‌ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌, ಪುಟ 11-8

[9] ದ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್‌ ಅಸ್ಸೋಸಿಯೇಶನ್‌ ಆಫ್‌ ಅಮೇರಿಕ (1976), ದ ಅಮೇರಿಕನ್‌ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್‌ ಮಂತ್ಲೀ, ಸಂಪುಟ. 83, ಪುಟ 207

[10] ಹೆಚ್‌. ಟಿ. ಬ್ರೈನ್‌ ಫೈವ್‌ ಹಂಡ್ರೆಡ್‌ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್‌ ಸೆವೆನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಮೂವ್‌ಮೆಂಟ್ಸ್ ಬ್ರೌನ್‌ & ಬ್ರೌನ್‌ (1881) ಪುಟಗಳು 40-41 ವಿಭಾಗ 152 [೧] (ಈ ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ)

[11] ಜಿ.ಬಿ. ಗ್ರಾಂಟ್‌ ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್‍ ಗೇರ್‌ ವೀಲ್ಸ್ ಫಿಲಡೆಲ್ಫಿಯಾ ಗೇರ್‌ ವರ್ಕ್ಸ್‌(1906) p. 72 ಗೂಗಲ್‌ ಪುಸ್ತಕಗಳು

[12] ಸೆಟಿನ್‌ ಹಾಕಿಮೊಗ್ಲು-ಬ್ರೌನ್‌ iamned.com ಗಣಿತ ಪುಟ

[13] ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಭೂಮಿಗಾಗಿನ ಮೆರಿಡಿಯನಲ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅನುಪಾತದ ಕೋನವು ಜಿಯೋಡೇಟಿಕ್ ಅಕ್ಷಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೋನವು $\phi '$ ಭೂಕೇಂದ್ರಿತ ಅಕ್ಷಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ ಕೋನವು t ಆನುಷಂಗಿಕ ವೃತ್ತದ ಸ್ಥಿರ ರಾಶಿಯ (ಅಥವಾ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ) ಅಕ್ಷಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

[14] ಮ್ಯಾಥ್‌ವರ್ಡ್‌ದಲ್ಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ , ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆದ(58)

[15] ಆನುಷಂಗಿಕ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳು

[16] ಜೆ. ಮೀಯಸ್- ಆಸ್ಟ್ರಾನಮಿಕಲ್‌ ಆಲ್ಗೋರಿದಮ್ಸ್‌ , ಅಧ್ಯಾಯ. 10 (ದ ಅರ್ಥ್ಸ್‌ ಗ್ಲೋಬ್‌), ಪು. 78, ವಿಲ್‌ಮನ್‌-ಬೆಲ್‌, Inc, 1991

[17] ಪಿಟ್ಟೆವೇ, ಎಮ್‌.ಎಲ್‌.ವಿ., ಗಣನ ವಿಧಾನದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಅಥವಾ ಅತಿಪರವಲಯಗಳನ್ನು ಅಂಕೀಯ ಪ್ಲಾಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ರಚನೆ "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಜರ್ನಲ್‌, ಅಧ್ಯಾಯ 10 1967 pp282-289

[18] ಸ್ಮಿಥ್‌, ಎಲ್‌.ಬಿ., ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ರಚನೆ, ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತಿಪರವಲಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರವಲಯಗಳು, "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಜರ್ನಲ್‌, ಅಧ್ಯಾಯ 14, 1971, pp 81-86

[19] [೨]

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]

[೮]

[೯]

[೧೦]

[೧೧]

[೧೨]

[೧೩]

[೧೪]

[೧೫]

[೧೬]

[೧೭]

[೧೮]

[೧೯]