ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಇತಿಹಾಸ

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ( ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ ) ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ 2 ನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಕುಶೈಟ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕೂಡ ಪ್ರಚಲಿತವಾಗಿತ್ತು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಗವಾಗಿ ಭಾರತವನ್ನು ತಲುಪಿತು. ಭಾರತೀಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಗುಪ್ತರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರವರ್ಧಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆರ್ಯಭಟ (ಸಿಇ ಆರನೇ ಶತಮಾನ), ಅವರು ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆ, ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವರ್ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.

ಮಧ್ಯಯುಗದಲ್ಲಿ, ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಮತ್ತು ಅಬು ಅಲ್-ವಾಫಾ ಅವರಂತಹ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಮುಂದುವರೆಯಿತು. ಎಲ್ಲಾ ಆರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಿಸ್ತು ಆಯಿತು. ಅರೇಬಿಕ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕ್ ಪಠ್ಯಗಳ ಅನುವಾದಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ರೆಜಿಯೊಮೊಂಟನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಷಯವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ( ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ) ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಜ್ಞಾನೋದಯದ ಪಶ್ಚಿಮ ಯುಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ (1748) ನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ತಲುಪಿತು.

ಪ್ರಾಚೀನ

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಉದಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಪನೆ, ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಸೌರ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರ ಗ್ರಹಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರು, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಆಕಾಶ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಲಾದ ಕೋನೀಯ ದೂರದ ಪರಿಚಿತತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.ಪ್ಲಿಂಪ್ಟನ್ 322 ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್‌ನ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (c. 1900 BC), ಪ್ರಾಚೀನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಜಿಪ್ಟ್

ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ 2ನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನದಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಾಚೀನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಬಳಸಿದರು. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಲಿಪಿಕಾರ ಅಹ್ಮೆಸ್ (c. 1680-1620 BC) ಬರೆದ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಹ್ಮೆಸ್‌ನ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಭಾಗದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವು ಅದರ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮುಖದ ರನ್-ಟು-ರೈಸ್ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಕೆಡ್‌ಗೆ ಅವನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪ್ರಮಾಣವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಗ್ರೀಸ್

ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕ್ ಮತ್ತು ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸ್ವರದ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಚಾಪವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ವರಮೇಳವು ಚಾಪವನ್ನು ತಗ್ಗಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ವರಮೇಳದ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿತ ಸ್ವರಮೇಳದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಕೋನದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ,

$\mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},$

ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು "ಹಾಫ್-ಕಾರ್ಡ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ, ಇಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಹಲವಾರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದವು, ಆದರೆ ಅವರ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ವರಮೇಳದ ರೂಪದಲ್ಲಿ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಪದದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬದಲಿಗೆ) ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾನೂನುಗಳು ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್" ಪುಸ್ತಕದ ಹನ್ನೆರಡು ಮತ್ತು ಹದಿಮೂರು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊಂಡಾದ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮಗಳು. ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯಮ ಅನ್ವಯಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಮುರಿದ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೊತ್ತಗಳ ಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವರಪದಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು, ಅರಿಸ್ಟಾರ್ಕಸ್' ಸಮಯವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಪಾಪ α/sin β < α/β' ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ' < tan α/tan β 0° < β < α < 90°, ಈಗ ಇದನ್ನು ಅರಿಸ್ಟಾರ್ಕಸ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೈಸಿಯಾ (180 - 125 BCE) ಹಿಪಾರ್ಚಸ್ ನಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪಿತಾಮಹ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ ಆಗಿತ್ತು. ಕೋನಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಆರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವ ಮೊದಲನೆಯದು.

360° ವೃತ್ತದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಬಳಕೆಯು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ ಬಂದಿತು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದರೂ, 360° ವೃತ್ತದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪರಿಚಯವು ಅರಿಸ್ಟಾರ್ಕಸ್ ರಚಿಸಿದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಬಂದಿತು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ದೂರಗಳು (ಸುಮಾರು 260 BC), ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಅಳೆಯುತ್ತಾನೆ. ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ 360° ವೃತ್ತದ ಬಳಕೆಯು ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರಣ.

ಭಾರತ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಭಾರತದಲ್ಲಿವೆ. 4 ನೇ-5 ನೇ ಶತಮಾನದ AD ಯ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಕೃತಿಗಳು, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಐದು ಇದ್ದವು, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದವು ಸೂರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ) ಮೊದಲು ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಧ ಕೋನ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಸ್ವರಮೇಳದ ನಡುವಿನ ಆಧುನಿಕ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದೆ. ಕೊಸೈನ್, ವರ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು. ಇದಾದ ಕೆಲವೇ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಆರ್ಯಭಟ (ಕ್ರಿ.ಶ. 476-550), ಆರ್ಯಭಟಿಯ ಎಂಬ ಪ್ರಮುಖ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಯಭಟಿಯವು ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಸೈನ್ (1 - ಕೊಸೈನ್) ಮೌಲ್ಯಗಳ 3.75 ° ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ 0 ° ನಿಂದ 90 ° ವರೆಗೆ, 4 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ನಿಖರತೆಗೆ ಉಳಿದಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವರು ಸೈನ್‌ಗೆ ಜ್ಯ, ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಕೊಜ್ಯ, ವರ್ಸೈನ್‌ಗೆ ಉತ್ಕ್ರಮ-ಜ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸೈನ್‌ಗೆ ಓಟ್ಕ್ರಮ್ ಜ್ಯಾ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತಪ್ಪಾದ ಅನುವಾದದ ನಂತರ ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕೊಜ್ಯಾ ಪದಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟವು.

ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಅವಧಿ

ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಜಗತ್ತು

ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಂತರ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮುಸ್ಲಿಂ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರ್ಷಿಯನ್ ಮತ್ತು ಅರಬ್ ಮೂಲದವರು, ಅವರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಿದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು, ಮೆನೆಲಾಸ್‌ನ ಅನ್ವಯದಿಂದಾಗಿ ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. 'ಪ್ರಮೇಯ. E. S. ಕೆನಡಿಯವರ ಪ್ರಕಾರ, ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ನಂತರವೇ "ಮೊದಲ ನಿಜವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು."

ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಸಹ ತಿಳಿದಿವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೆನೆಲಾಸ್ ಆಫ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನ, ಅವರು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು "ಮೆನೆಲಾಸ್' ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು" ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣಗಳು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಮೆನೆಲಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗೋಲಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿತ್ತು. ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಪವಿತ್ರ ದಿನಗಳನ್ನು ಆಚರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ಚಂದ್ರನ ಹಂತಗಳು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಚಂದ್ರ ಮತ್ತು ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೆನೆಲಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಆದರೂ ಈ ವಿಧಾನವು ಬೃಹದಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಇದು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು; ಮೆನೆಲಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಆದರೆ ಇತರ ಐದು ಬದಿಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಸೂರ್ಯನ ಎತ್ತರದಿಂದ ಸಮಯವನ್ನು ಹೇಳಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೆನೆಲಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನ್ವಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು. ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸವಾಲು ಇತ್ತು.

AD 9ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಮುಹಮ್ಮದ್ ಇಬ್ನ್ ಮೂಸಾ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ನಿಖರವಾದ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಅವರು ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಪ್ರವರ್ತಕರಾಗಿದ್ದರು. 830 AD ಯಲ್ಲಿ, ಹಬಾಶ್ ಅಲ್-ಹಸಿಬ್ ಅಲ್-ಮರ್ವಾಜಿ ಮೊದಲ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು. ಮುಹಮ್ಮದ್ ಇಬ್ನ್ ಜಾಬಿರ್ ಅಲ್-ಹರ್ರಾನಿ ಅಲ್- Battānī (Albatenius) (853-929 AD) ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು 1 ° ನಿಂದ 90 ° ವರೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ಗಳ ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು.

ಕ್ರಿ.ಶ. 10ನೇ ಶತಮಾನದ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಅಬು ಅಲ್-ವಫಾ' ಅಲ್-ಬುಜ್ಜಾನಿ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಅಬು ಅಲ್- ವಾಫಾ ಅವರು ಸೈನ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು 0.25° ಏರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, 8 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿಖರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು:

$\ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ (ಪ್ಟೋಲೆಮಿಯ ಕೋನ-ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ; ಮೇಲೆ ನೋಡಿ

ಇ)

ತನ್ನ ಮೂಲ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಬು ಅಲ್-ವಫಾ' ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ: "ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ನಿಮಿಷಗಳು ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಡಬಲ್‌ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸೈನ್ ಆಗಿದೆ". ಅಬು ಅಲ್-ವಫಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಕೋನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಹ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು:

$\sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}$

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ, ಪಠ್ಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: "ನಾವು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಇತರ "ನಿಮಿಷಗಳ" ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ಮೊತ್ತದ ಸೈನ್ ಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಮಗೆ ಬೇಕಾದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆ, ನಾವು ಅವರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ".

ಅವರು ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಗಾಗಿ ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯಮ ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು:

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

10 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 11 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇಬ್ನ್ ಯೂನಸ್ ಅನೇಕ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು:

$\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}$

ಅಲ್-ಆಂಡಲಸ್ ನ ಅಲ್-ಜಯ್ಯನಿ (989–1079) "ದಿ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಜ್ಞಾತ ಆರ್ಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಎ ಸ್ಪಿಯರ್" ಅನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ, ಇದನ್ನು "ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಗ್ರಂಥವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು "ಬಲಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ -ಹ್ಯಾಂಡೆಡ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಸೈನ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂಲಕ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನ ಪರಿಹಾರ." ಈ ಗ್ರಂಥವು ನಂತರ "ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು" ಹೊಂದಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಅವರ "ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ" ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನ" [[ರಿಜಿಯೊಮಾಂಟನಸ್] ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿರಬಹುದು. ].

ತ್ರಿಕೋನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಮುಸ್ಲಿಂ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗಳಾದ ಸರ್ವೇಯಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಭೂಗೋಳ, 11ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಬು ರೇಹಾನ್ ಬಿರುನಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ. ಬಿರುನಿ ಸ್ವತಃ ತ್ರಿಕೋನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಭೂಮಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 11 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಒಮರ್ ಖಯ್ಯಾಮ್ (1048-1131) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. 13 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ನಾಸಿರ್ ಅಲ್-ದಿನ್ ಅಲ್-ತುಸಿ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅವರು ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವರು ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ "ಆನ್ ದಿ ಸೆಕ್ಟರ್ ಫಿಗರ್" ನಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಿಯಮ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡೂ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದೆ. ನಾಸಿರ್ ಅಲ್-ದಿನ್ ಅಲ್-ತುಸಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

f ಶುದ್ಧ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬಲ-ಕೋನದ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಆರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ.}}</ref>

15 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಜಮ್ಶಿದ್ ಅಲ್-ಕಾಶಿ ತ್ರಿಕೋನ ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳ ಕಾನೂನು ಮೊದಲ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸ್, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಈಗಲೂ ಅಲ್-ಕಾಶಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಲಿಂಗೀಯ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ (8 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಪ್ರತಿ 1 ° ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ 1/60 ನ 1 ° ಗೆ ಸೇರಿಸಿದರು.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ಉಲ್ಲೇಖ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಉಲುಗ್ ಬೇಗ್ ಸಹ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 8 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಿಖರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.