ಯಾಕೋಬೀಯನ್

ಯಾಕೋಬೀಯನ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಗಣಿತೋತ್ಪನ್ನ. n ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗಣವೊಂದರ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇಲ್ಲಿ n ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer). ಇದರ ಮೌಲ್ಯ x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ಧಾರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಡಿಟರ್‌ಮಿನೆಂಟ್). ಈ ನಿರ್ಧಾರಕದ ಸಾಲುಗಳು, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪಿತಗೊಂಡಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉತ್ಪನ್ನದ n ಆಂಶಿಕವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತವಿದ ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ಟಾವ್ ಜೇಕಬ್ ಯಾಕೋಬೀ (1804-1851) ಗೌರವಾರ್ಥ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಯಾಕೋಬೀಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ.

ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದಾದರೆ, f_i(x₁, x₂, ........... , x_n), i = 1, 2, ............. , n ಎಂಬುದು n ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಯಾಕೋಬೀಯನನ್ನು

${\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{3}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{3}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{3}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}$

ಎಂಬ ನಿರ್ಧಾರಕದಿಂದ ನಮೂದಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದನ್ನು

${\frac {D(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots ,f_{n})}{D(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})}}$

ಎಂದಾಗಲಿ ಇಲ್ಲವೆ

${\frac {\partial (f_{1},f_{2},f_{3},\cdots ,f_{n})}{\partial (x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})}}$

ಎಂದಾಗಲಿ ಬರೆಯುವುದಿದೆ.

ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಅಂದರೆ, f(x, y) ಮತ್ತು g(x, y) ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧಾರಕ

${\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial g}{\partial x}}&{\dfrac {\partial g}{\partial y}}\end{vmatrix}}$

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಯಾಕೋಬೀಯನ್. ಇದನ್ನು

${\frac {D(f,g)}{D(x,y)}}$

ಎಂದೂ ಬರೆಯುವುದಿದೆ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians