ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಗು

ಮಾನ

ವಿಕಿಪೀಡಿಯದಿಂದ, ಇದು ಮುಕ್ತ ಹಾಗೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ R ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 0 ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ.

R ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ A, B ಬಿಂದುಗಳು a, b ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ a ≤ b ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಂತರ: ಈಗ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ಎಂಬ R ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೧] ಹೀಗೆಯೇ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ a-b ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು [a,b] ಅಥವಾ (a, b) ಅಂತರದ ಅಥವಾ AB ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು b-a = I [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ b-a = 0. ಇಲ್ಲಿ [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ 0 ಎಂದಾಯಿತು.

ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

S ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು [a, b], (a, b), [a,b) ಅಥವಾ (a, b] ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ (b-a) ಯು S ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ S ಗಣ I1 = [a, b] ಮತ್ತು I2 = [c, d] ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು I1 ಮತ್ತು I2 ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ S = I1I2 ಮತ್ತು I1 ∩ I2 = ϕ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ S ನ ಉದ್ದ I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I1) + I(I2) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ a,b,c,d ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a<c<b<d ಆಗಿದ್ದರೆ S = I1 I2 = {x∈ R | a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a < (b-a) + (d-c) = l(I1) + l(I2). ಹೀಗಾಗಿ S ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. S = I1 ∪ I2 ಆದಾಗ l(S) ≤ l(I1) + l(I2) ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.

S ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x,y ∈ S ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ S ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ S ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ l(S) = ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ = 0 + 0 + …… = 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: I = {x ∈ R | a < x < b} ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ l(I) = b-a ≠ 0I ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I1 ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I2 ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ I = I1I2, I1 ∩ I2 = ϕ ಹಾಗೂ I1 ಮತ್ತು I2 ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ∴ l(I1)=0=l(I2). ಆದರೆ b – a = l(I) = l(I1) + l(I2) = 0 + 0 = 0. ಇದು b-a ≠ 0 ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ ಮಾನ (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ.

ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್)

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

A ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ A ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ S ಮತ್ತು T ಗಳಿಗೂ ST ∈ A ಮತ್ತು S – T ∈ A ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ A ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೨] ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ A ಯ ಎಲ್ಲ {A1, A2, A3,……………} ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ  ಸಹ A ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ  ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

R ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು  ಹಾಗೂ  ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಎಂಬ R ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ  ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.

a ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

f: A → R ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

ಎಂದರೆ A, B ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ f(AB) ≤ f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೩][೪] ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ , f(AB) = f(A) + f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).

A ಯಲ್ಲಿ {An}, n=1,2,3,……. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ i ≠ j ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ Ai ∩ Aj = ϕ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ = ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು (countably additive set function).[೫]

ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

 ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ

(i) f(ϕ) = 0

(ii) A1, A2, …………An ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ f(A1A2A3. . . .An) = f(A1) + f(A2) + ……. + f(An)

(iii) f ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ AB ಆದರೆ f(A) ≤ f(B). ಇದರಿಂದ f(A-B) = f(A) – f(B) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.

(iv) f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, {An} ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ A1 A2 A3…………An ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

Rn ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು x = (x1, x2, ……….., xn) ರೂಪದಲ್ಲಿ n ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ x1, x2, ……….., xn ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. ai ≤ bi, i = 1, 2,…….n ಇವು ದತ್ತ 2n ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ai ≤ xi ≤ bi, i = 1,2…………..n ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು x = (x1, x2, ……….., xn) ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ Rn ನ ಉಪಗಣವನ್ನು Rn ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ < ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ I = { (x1,………….,xn) | ai ≤ xi ≤ bi} ಆದರೆ m(I) = (b1-a1)(b2-a2)………(bn-an) =  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ aj = bj ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ 0 ≤ m(I) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ bj ಯು ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಎಂದರೆ m(I) ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ A ಯು Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ A = I1I2. . . .Ik ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(A)= m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik)     . . . . * * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ A = J1J2. . . .Js ಎಂಬುದಾಗಿ A ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik) = m(J1) + m(J2) +……….. + m(Js)

ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● * ನಲ್ಲಿ m(A) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈಗ ξ ಯು Rn ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ A,B ಗಳು ξ ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ m(AB) = m(A) + m(B) ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ m ಎಂಬುದು ξ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:

(1) 0 ≤ m(A) ≤  

(2) m ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m(AB) = m(A) + m(B). ಇದರಿಂದ S,T ∈  ξ ಆದರೆ m(ST) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್)

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

Rn ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ S ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ξ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ A1, A2, A3, …………….. ಗಳು S ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ  ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ

...

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ glb ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound).[೬] S ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ Σm(An) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ m•(S). ಇದನ್ನು S ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:

(I) m•(S) ≥ 0,(S)Rn

(II) S1S2Rn

ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m•(S1) ≤ m•(S2)

(III) ಆದರೆ

ಎಂದರೆ m• ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.

(IV) A ξ   ಎಂದರೆ A ಮೂಲಗಣವಾದರೆ m•(A)=m(A). ಹೀಗಾಗಿ m• ಎಂಬುದು ξ ನಿಂದ Rn ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.

ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: A ಯು Rn ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು {An}, n=1, 2, 3,………. ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

Rn ನ ಯಾವಗಣ S ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ S1, S2, S3…….. ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ  ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ S ನ್ನು ಮಾಪನೀಯ ಗಣ (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. Rn ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು M ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ A,BM ಆದರೆ m• ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

(1) m• : M → R ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

(2) m• A ≥ 0

(3) m• (AB)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B) ಅರ್ಥಾತ್ m• ಸಂಕಲನೀಯ.

(4) m• : M → R ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ A1,A2,A3………… ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ . ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ m• ಎನ್ನುವುದು ξ ನಿಂದ M ಗೆ m ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. M ನ ಗಣಗಳಿಗೆ m• ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ m• ನ್ನು M ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು Rn ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ

(1) n=1 ಆದರೆ l = {x | a ≤ x ≤ b} ಯು R1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ m(I) = (b-a) ಯು I ನ ಉದ್ದ.

(2) n=2 ಆದರೆ I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ಯು R2 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ m(I) = (b-a)(d-c) ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.

(3) n=3 ಆದರೆ I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f} ಎಂಬುದು R3 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, m(I) = (b-a)(d-c)(f-e) ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]
  1. Strichartz, Robert S. (2000). The Way of Analysis. Jones & Bartlett Publishers. p. 86. ISBN 0-7637-1497-6.
  2. De Barra, Gar (2003), Measure Theory and Integration, Horwood Publishing, p. 13, ISBN 9781904275046.
  3. Feige, Uriel (2009). "On Maximizing Welfare when Utility Functions are Subadditive". SIAM Journal on Computing. 39 (1): 122–142. doi:10.1137/070680977.
  4. Dobzinski, Shahar; Nisan, Noam; Schapira, Michael (2010). "Approximation Algorithms for Combinatorial Auctions with Complement-Free Bidders". Mathematics of Operations Research. 35 (1): 1–13. CiteSeerX 10.1.1.79.6803. doi:10.1145/1060590.1060681. S2CID 2685385.
  5. Durrett 2019, pp. 466–470.
  6. Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

[ಬದಲಾಯಿಸಿ]
"https://kn.wikipedia.org/w/index.php?title=ಮಾನ&oldid=1228769" ಇಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ