ಮಾನ
ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.
ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).
ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ R ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 0 ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ.
R ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ A, B ಬಿಂದುಗಳು a, b ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ a ≤ b ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಅಂತರ: ಈಗ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ಎಂಬ R ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೧] ಹೀಗೆಯೇ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ a-b ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು [a,b] ಅಥವಾ (a, b) ಅಂತರದ ಅಥವಾ AB ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು b-a = I [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ b-a = 0. ಇಲ್ಲಿ [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ 0 ಎಂದಾಯಿತು.
ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]S ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು [a, b], (a, b), [a,b) ಅಥವಾ (a, b] ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ (b-a) ಯು S ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ S ಗಣ I1 = [a, b] ಮತ್ತು I2 = [c, d] ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು I1 ಮತ್ತು I2 ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ S = I1 ∪ I2 ಮತ್ತು I1 ∩ I2 = ϕ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ S ನ ಉದ್ದ I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I1) + I(I2) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ a,b,c,d ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a<c<b<d ಆಗಿದ್ದರೆ S = I1 ∪ I2 = {x∈ R | a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a < (b-a) + (d-c) = l(I1) + l(I2). ಹೀಗಾಗಿ S ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. S = I1 ∪ I2 ಆದಾಗ l(S) ≤ l(I1) + l(I2) ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.
S ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x,y ∈ S ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ S ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ S ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ l(S) = ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ = 0 + 0 + …… = 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.
ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: I = {x ∈ R | a < x < b} ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ l(I) = b-a ≠ 0. I ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ (ರ್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I1 ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I2 ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ I = I1 ∪ I2, I1 ∩ I2 = ϕ ಹಾಗೂ I1 ಮತ್ತು I2 ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ∴ l(I1)=0=l(I2). ಆದರೆ b – a = l(I) = l(I1) + l(I2) = 0 + 0 = 0. ಇದು b-a ≠ 0 ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ ಮಾನ (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ.
ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್)
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]A ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ A ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ S ಮತ್ತು T ಗಳಿಗೂ S ∪ T ∈ A ಮತ್ತು S – T ∈ A ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ A ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೨] ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ A ಯ ಎಲ್ಲ {A1, A2, A3,……………} ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ ಸಹ A ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.
R ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಹಾಗೂ ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಎಂಬ R ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.
a ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]f: A → R ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.
ಎಂದರೆ A, B ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ f(A ∪ B) ≤ f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.[೩][೪] ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ , f(A ∪ B) = f(A) + f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).
A ಯಲ್ಲಿ {An}, n=1,2,3,……. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ i ≠ j ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ Ai ∩ Aj = ϕ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ = ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು (countably additive set function).[೫]
ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ
(i) f(ϕ) = 0
(ii) A1, A2, …………An ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ f(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪. . . . ∪ An) = f(A1) + f(A2) + ……. + f(An)
(iii) f ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ A ⊂ B ಆದರೆ f(A) ≤ f(B). ಇದರಿಂದ f(A-B) = f(A) – f(B) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.
(iv) f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, {An} ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ A1 ⊂ A2 ⊂ A3…………⊂ An ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.
ಲೆಬೇಗ್ಮಾನದ ರಚನೆ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]Rn ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು x = (x1, x2, ……….., xn) ರೂಪದಲ್ಲಿ n ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ x1, x2, ……….., xn ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. ai ≤ bi, i = 1, 2,…….n ಇವು ದತ್ತ 2n ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ai ≤ xi ≤ bi, i = 1,2…………..n ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು x = (x1, x2, ……….., xn) ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ Rn ನ ಉಪಗಣವನ್ನು Rn ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ≤ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ < ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ I = { (x1,………….,xn) | ai ≤ xi ≤ bi} ಆದರೆ m(I) = (b1-a1)(b2-a2)………(bn-an) = ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ aj = bj ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ 0 ≤ m(I) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ bj ಯು ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಎಂದರೆ m(I) ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ A ಯು Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ A = I1 ∪ I2 ∪ . . . . ∪ Ik ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,
m(A)= m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik) . . . . * * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ A = J1 ∪ J2 ∪ . . . . ∪ Js ಎಂಬುದಾಗಿ A ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,
m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik) = m(J1) + m(J2) +……….. + m(Js)
ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● * ನಲ್ಲಿ m(A) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.
ಈಗ ξ ಯು Rn ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ A,B ಗಳು ξ ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ m ಎಂಬುದು ξ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:
(1) 0 ≤ m(A) ≤
(2) m ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m(A ∪ B) = m(A) + m(B). ಇದರಿಂದ S,T ∈ ξ ಆದರೆ m(S ∪ T) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.
m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್)
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]Rn ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ S ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ξ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ A1, A2, A3, …………….. ಗಳು S ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ
...
ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ glb ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound).[೬] S ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ Σm(An) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ m•(S). ಇದನ್ನು S ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:
(I) m•(S) ≥ 0, ∀(S) ⊂ Rn
(II) S1 ⊂ S2 ⊂ Rn
ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m•(S1) ≤ m•(S2)
(III) ಆದರೆ
ಎಂದರೆ m• ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.
(IV) ∀A ∈ ξ ಎಂದರೆ A ಮೂಲಗಣವಾದರೆ m•(A)=m(A). ಹೀಗಾಗಿ m• ಎಂಬುದು ξ ನಿಂದ Rn ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.
ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: A ಯು Rn ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು {An}, n=1, 2, 3,………. ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
Rn ನ ಯಾವಗಣ S ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ S1, S2, S3…….. ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ S ನ್ನು ಮಾಪನೀಯ ಗಣ (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. Rn ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು M ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ A,B ∈ M ಆದರೆ m• ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:
(1) m• : M → R ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ
(2) m• A ≥ 0
(3) m• (A ∪ B)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B) ಅರ್ಥಾತ್ m• ಸಂಕಲನೀಯ.
(4) m• : M → R ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ A1,A2,A3………… ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ . ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ m• ಎನ್ನುವುದು ξ ನಿಂದ M ಗೆ m ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. M ನ ಗಣಗಳಿಗೆ m• ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ m• ನ್ನು M ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು Rn ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.
ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ
(1) n=1 ಆದರೆ l = {x | a ≤ x ≤ b} ಯು R1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ m(I) = (b-a) ಯು I ನ ಉದ್ದ.
(2) n=2 ಆದರೆ I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ಯು R2 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ m(I) = (b-a)(d-c) ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.
(3) n=3 ಆದರೆ I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f} ಎಂಬುದು R3 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, m(I) = (b-a)(d-c)(f-e) ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ↑ Strichartz, Robert S. (2000). The Way of Analysis. Jones & Bartlett Publishers. p. 86. ISBN 0-7637-1497-6.
- ↑ De Barra, Gar (2003), Measure Theory and Integration, Horwood Publishing, p. 13, ISBN 9781904275046.
- ↑ Feige, Uriel (2009). "On Maximizing Welfare when Utility Functions are Subadditive". SIAM Journal on Computing. 39 (1): 122–142. doi:10.1137/070680977.
- ↑ Dobzinski, Shahar; Nisan, Noam; Schapira, Michael (2010). "Approximation Algorithms for Combinatorial Auctions with Complement-Free Bidders". Mathematics of Operations Research. 35 (1): 1–13. CiteSeerX 10.1.1.79.6803. doi:10.1145/1060590.1060681. S2CID 2685385.
- ↑ Durrett 2019, pp. 466–470.
- ↑ Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.