ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ J_n, J_-n ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. $\exp \left[{\frac {1}{2}}x\left(t-{\frac {1}{t}}\right)\right]$ ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ t ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ tⁿ ನ ಗುಣಕವನ್ನು J_n(x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. (-1) t^-n ಗುಣಕವೂ J_n(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$\exp \left[{\frac {1}{2}}x\left(t-{\frac {1}{t}}\right)\right]=J_{0}(x)+tJ_{1}(x)+\cdots +t^{n}J_{n}(x)+\cdots$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -t^{-1}J_{1}(x)+t^{-2}J_{2}(x)+\cdots +(-1)^{n}t^{-n}J_{n}(x)+\cdots$

n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ

$J_{n}(x)={\frac {x_{n}}{2^{n}n!}}\left\{1-{\frac {x^{2}}{2^{2}.1(n+1)}}+{\frac {x^{4}}{2^{4}.1.2.(n+1)(n+2)}}-{\frac {\cdots }{\cdots }}\right\}$

n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ n=1-m ಆದರೆ

$J_{n}(x)=\sum _{r=m}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}\left({\frac {1}{2}}x\right)^{2r-s}}{r!(r-m)!}}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+s}\left({\frac {1}{2}}x\right)^{m+2s}}{(m+s)!s!}}$ ...............(2)

ಇದರಿಂದಲೂ J_-m(x) = (-1)^mJ_m(x) ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

J_n ಮತ್ತು J_-m(x) ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ (ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. J_n ಮತ್ತು J_-m ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು (Bessel multipliers) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ n, m ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ

$J_{n}(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}}{\pi (n+r)\pi (r)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n+2s}$.............(3)

$J_{-n}(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}}{\pi (-n+r)\pi (r)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n+2x}$..............(4)

ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ π(n) ಎಂಬುದು ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆಯಿಲರನ ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ π(x) = Γ(x+1). ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು J_n ಮತ್ತು J_-n ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ n ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ J_n ಮತ್ತು J_-n ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left(1-{\frac {n^{2}}{x^{2}}}\right)y=0$................(5)

ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ (second order) ಒಂದು ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ (Bessel's equation) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ

y = AJ_n(x) + BJ_-n(x)..............(6)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ A, B ಯಾವುವೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈ ಪ್ರಕಾರ J_n ಮತ್ತು J_-n ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ J_n ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ J_-n ಶ್ರೇಣಿ J_n ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ J_n ಶ್ರೇಣಿ J_-n ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. n=0 ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ n ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ J_n(x) ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ n ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ J_n ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

J_n(x) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. n ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

1. $J_{0}(x)=1-{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\cdots$
2. $J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)$. ಇದಕ್ಕೆ J_n ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ (recurrence formula) ಎಂದು ಹೆಸರು. J_n-1 ಮತ್ತು J_n ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ J_n+1 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
3. $J_{n}'(x)={\frac {n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)$
4. $J_{n}'(x)={\frac {1}{2}}\{J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)\}$
5. $J_{n}'(x)=J_{n-1}(x)-{\frac {n}{x}}J_{n}(x)$
6. $J_{\frac {1}{2}}(x)={\frac {2^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{\pi _{\frac {1}{2}}}}\left\{1-{\frac {x^{2}}{2.3}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4.5}}-\cdots \right\}=\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\sin x$
7. $J_{k+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{k}{\frac {(2x)^{k+{\frac {1}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\times {\frac {d^{k}}{d(x^{2})^{n}}}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)$, k= ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
8. $\cos x=J_{0}(x)-2J_{2}(x)+2J_{4}(x)-\cdots$, $\sin x=2J_{1}(x)-2J_{3}(x)+2J_{5}(x)-\cdots$
9. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, $J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(\cos n\theta -x\sin \theta )d\theta$
10. $\int _{0}^{\infty }e^{-ax}J_{0}(bx)dx=(a^{2}+b^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$
11. $J_{-n}\ {\frac {dJ_{n}}{dx}}-J_{n}\ {\frac {dJ_{-n}}{dx}}={\frac {2}{\pi x}}\sin n\pi$

ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ (continuous differential coefficient) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ನ್ನು (0,π) ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

$f(x)=a_{0}+a_{1}J_{0}(x)+a_{2}J_{0}(2x)+\cdots$

ಇಲ್ಲಿ $a_{0}=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }f'(u\sin \theta )d\theta du$

$a_{0}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\cos \ nu\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }f'(u\sin \theta )d\theta \ du,n>0$

ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು

φ(x) = 0 ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ x ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ (root of a function) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ.

n ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ J_n(x) ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. J_n(x) ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ J_n+1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ J_n-1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ J_n, J_n-1 ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. $n>{\frac {1}{2}}$ ಆದಾಗ J_n(x) ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ π ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು π ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು.

ಧನ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ π ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ J(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ.

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಕ್ತಿ n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ n ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ J_n ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು.

n=0 ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ

$y_{0}=J_{0}\log x+2\left\{J_{2}-{\frac {1}{2}}J_{4}+{\frac {1}{3}}J_{6}-{\frac {1}{4}}J_{8}+{\frac {1}{5}}J_{10}-\cdots \right\}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+y=0$

ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

y = AJ_೦ + By_೦

n ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ

y = AJ_n + By_n

ಇಲ್ಲಿ, $y_{n}=\log x-\sum _{r=1}^{\infty }(-1)^{r}{\frac {n+2r}{r(n+r)}}J_{n+2r}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\frac {1}{2}}\pi (n)\sum _{p=0}^{n-1}{\frac {1}{n-p}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-p}{\frac {J_{p}}{\pi (p)}}$

y₀, y_n ಉತ್ಪನ್ನಗಳು x=0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 9". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253. See also chapter 10.
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
• Bessel, Friedrich (1824). "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht" [Investigation of the part of the planetary disturbances which arise from the movement of the sun]. Berlin Abhandlungen. Reproduced as pages 84 to 109 in Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel. Leipzig: Engelmann. 1875. English translation of the text.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Lizorkin, P. I. (2001) [1994], "Bessel functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Karmazina, L. N.; Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Cylinder function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Bessel equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.