ಪರಿವರ್ತನೆ
ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೋ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಒಂದು ಗಣ X ನ್ನು ಅದಕ್ಕೇ ಬಿಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ f, ಅಂದರೆ f: X → X.[೧][೨][೩]
S ಒಂದು ಗಣವೂ Φ: S → S ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ Φ ನ್ನು S ನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫ಼ಾರ್ಮೇಶನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಉದಾಹರಣೆ ೧: R ಎನ್ನುವುದು ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ Φ: R → R ನ್ನು Φ(x)=x+3 ಎಂದು, R ನ ಎಲ್ಲ x ಗಳಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ Φ(y--3). ಆದ್ದರಿಂದ Φ ಒಂದು ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣ. ಹಾಗೆಯೇ x1+3 = x2+3 ಆಗಿದ್ದರೆ x1 = x2; ಎಂದರೆ Φ(x1) = Φ(x2) ⇒ x1 = x2.
∴ Φ ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ; ∴ Φ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ; ∴ ಅದು R ನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ೨: α ಒಂದು ಸಮತಲವೂ, I ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯೂ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ P ∈ σ, σ ದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ PM ಗೆ I ನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದು PM=MP' ಆಗುವಂತೆ PM ನ್ನು P' ಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೆ I ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಮತಲ ದರ್ಪಣವನ್ನು ಇಟ್ಟಾಗ P ಯ ಬಿಂಬ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುವೇ P' ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನೆಯಿಂದ a ದಲ್ಲಿ I ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.
ಈ ಅನ್ವಯವನ್ನು λ: a → α ಎಂದು ಬರೆದು λ(P) = P' ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ λ ಎಂಬುದು σ ದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ P ∈ α ಆಗಿದ್ದರೆ λ(λ(P)) = P ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇದರಿಂದ λ ಚಿತ್ರಣ ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಮೇಲಾಗಿ λ(P) = λ(Q) ಎಂದಿದ್ದರೆ λ(λ(P)) = λ(λ(Q))
∴ P = Q
∴ λ ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ; ∴ ಅದು ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ; ∴ ಅದು ಸಮತಳ σ ದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಚಿತ್ರಣ (ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ಪಿಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ೩: ದತ್ತಸಮತಳ a ದಲ್ಲಿ ox, oy ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನು ದತ್ತಬಿಂದು P ಯ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ a ದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೂ ಒಂದು ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ನೈಜಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ಮ (Real number ordered pair) (x,y) ಏಕೈಕವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ. h ಮತ್ತು k ಗಳು ದತ್ತ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ.
ಈಗ a ದಿಂದ α ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಚಿತ್ರಣ θ ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ.
θ: a → α ಚಿತ್ರಣವನ್ನು θ(x,y) = (x+h, y+k) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ.
∴ (x,y) = θ(x-h, y-k) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
ಏಕೆಂದರೆ θ(x-h, y-k) = ( (x-h) + h, (y-k) + k) = (x,y)
∴ θ: a → α ಒಂದು ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣ.
ಮೇಲಾಗಿ θ(x, y) = θ(x', y') ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ
[(x+h, y+k) = (x'+ h, y'+k)]
[ಎಂದರೆ x+h = x' +h]
ಆದ್ದರಿಂದ x = x' ಹಾಗೂ y+k = y'+k. ಆದ್ದರಿಂದ y = y'.
[ಎಂದರೆ (x, y) = (x', y') ಎಂದಾಯಿತು.]
ಆದ್ದರಿಂದ θ: a → α ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ; ಆದ್ದರಿಂದ a ದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ. ಇದು ಸರಳ ಚಲನೆಗೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಲೇಷನ್) ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ↑ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. p. 1. ISBN 978-1-84800-281-4.
- ↑ Pierre A. Grillet (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. p. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
- ↑ Wilkinson, Leland (2005). The Grammar of Graphics (2nd ed.). Springer. p. 29. ISBN 978-0-387-24544-7.