ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಒಂದು ಅನುಮಾನದ ವಾದವಾಗಿದೆ. ವಾದದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮೇಯಗಳಂತಹ ಈ ಹಿಂದೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಇತರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸ್ವ-ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಥವಾ ಹಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿಯಮಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೊದಲು ಆಕ್ಸಿಮ್‌ಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆಗಳು ಸಮಗ್ರ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಥವಾ ಅನುಗಮನದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಾದಗಳು ಅಥವಾ ಸಮಗ್ರವಲ್ಲದ ಅನುಗಮನದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ (ಅಥವಾ "ಸಮಂಜಸವಾದ ನಿರೀಕ್ಷೆ") ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆಗಳು ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಿಖಿತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪಾಲು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಠಿಣ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ಬದಲು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಶುದ್ಧ ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಅನುಭವವಾದ ಮತ್ತು ಜಾನಪದ ಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ (ಆ ಪದದ ಎರಡೂ ಇಂದ್ರಿಯಗಳಲ್ಲೂ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕದ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತವನ್ನು ಭಾಷೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದೇಶ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಒಂದು ಪುರಾವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಕಠಿಣ ವಾದವಾಗಿದೆ. ಕಠಿಣತೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದೆ. ಉದ್ದೇಶಿತ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ವೀಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಂದು ಪುರಾವೆ ಕಠಿಣತೆಯ ಕೋಮು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು; ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಾದವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯ ಬದಲು ಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪಚಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರವು ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಪುರಾವೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆ ಹೊಂದಿರುವ ಆಸ್ತಿ. ಕೆಲವು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ.

ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ ಪುರಾವೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಉತ್ತಮತೆಯು ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಪುರಾವೆ ಸಹಾಯಕರ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹೊರಗೆ, ಇದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವೇ ಎಂದು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ-ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಾಂಟ್, ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತವೆಂದು ನಂಬಿದ್ದರು.

ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸೌಂದರ್ಯದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶಂಸಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೆಸ್ ಅವರು "ದಿ ಬುಕ್" ನಿಂದ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೊಗಸಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದರು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರವಾದ ವಿಧಾನ (ಗಳನ್ನು) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಟೋಮ್. 2003 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಫ್ರಮ್ ದಿ ಬುಕ್ ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕವು ಅದರ ಸಂಪಾದಕರು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂತೋಷಕರವಾದ 32 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಧಾನಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ನೇರ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ನೇರ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನೇರ ಪುರಾವೆ ಬಳಸಬಹುದು:

X ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವು ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ x = 2a ಮತ್ತು y = 2b ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಮೊತ್ತ x + y = 2a + 2b = 2 (a + b). ಆದ್ದರಿಂದ x + y ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪುರಾವೆ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿತರಣಾತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಅದರ ಹೆಸರಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯು ಕಡಿತದ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅನುಗಮನದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ, ಒಂದು "ಬೇಸ್ ಕೇಸ್" ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ "ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಕರಣವು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ" ಇಂಡಕ್ಷನ್ ರೂಲ್ "ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತಾದ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಅನೇಕ) ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಬೀತಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣವನ್ನೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಇದು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಅನಂತ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ, ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ, ಆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏನಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಪ್ರತಿ-ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಬಳಲಿಕೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಬಳಲಿಕೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆ 1,936 ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಲಿಕೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆ ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿತ್ತು ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೈಯಿಂದ ಅಲ್ಲ. 2011 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಪುರಾವೆ ಇನ್ನೂ 600 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಯೋಜಕ ಪುರಾವೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಪುರಾವೆ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವವನ್ನು ಅವುಗಳ ಎರಡು ಗಾತ್ರಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಡಬಲ್ ಎಣಿಕೆಯ ವಾದವು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳು ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ದೃ to ೀಕರಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದೆಂದು ಎ೦ದು ಹಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾನವ ಅಥವಾ ತಂಡಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಈಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಮಾನವರ; ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ದೋಷ ಅಥವಾ ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ರನ್-ಟೈಮ್ ದೋಷದ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಅಂತಹ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಳವಳ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಪರಿಶೀಲನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ದೋಷದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವುದು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, "Q.E.D." ಪುರಾವೆಯ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವು "ಕ್ವಾಡ್ ಎರಾಟ್ ಡೆಮನ್‌ಸ್ಟ್ರಾಂಡಮ್" ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕಾದದ್ದು". ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ [ಉಲ್ಲೇಖದ] ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಪಾಲ್ ಹಾಲ್ಮೋಸ್ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ನಂತರ "ಸಮಾಧಿ" ಅಥವಾ "ಹಾಲ್ಮೋಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಥವಾ as ನಂತಹ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಆಯತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೌಖಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಕ್ಯೂಇಡಿ", ಅಥವಾ "" ಬರೆಯುವಾಗ "ತೋರಿಸಬೇಕಾದದ್ದು" ಅನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

೧. https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof

೨. https://medium.com/@nissim.lavy/types-of-proofs-c43ffacc8ada

೩. https://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml

೪. ^{[ಪುಸ್ತಕ ೧]} The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions

೫. ^{[ಪುಸ್ತಕ ೨]} Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics (4th Edition) 4th Edition

೬. ^{[ಪುಸ್ತಕ ೩]} How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes 6th Edition
ಉಲ್ಲೇಖ ದೋಷ: <ref> tags exist for a group named "ಪುಸ್ತಕ", but no corresponding <references group="ಪುಸ್ತಕ"/> tag was found

[ಪುಸ್ತಕ ೧]

[ಪುಸ್ತಕ ೨]

[ಪುಸ್ತಕ ೩]