ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ
ಜನನ	೧೧೧೪ ಬಿಜ್ಜಡಬೀಡ,(ಈಗಿನ ಬಿಜ್ಜರಗಿ ) ವಿಜಯಪುರ ಜಿಲ್ಲೆ, ಕರ್ನಾಟಕ
ಮರಣ	೧೧೮೫
ವೃತ್ತಿ	ಗಣಿತಜ್ಞ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ
ರಾಷ್ಟ್ರೀಯತೆ	ಭಾರತೀಯ
ವಿಷಯ	ಗಣಿತ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ
ಮಕ್ಕಳು	ಲೀಲಾವತಿ

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಭಾಸ್ಕರ (೧೧೧೪ - ೧೧೮೫), ಭಾರತದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹಾಗೂ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ.

ಜೀವನ, ಸಾಧನೆ

ಕರ್ನಾಟಕ ರಾಜ್ಯದ ವಿಜಯಪುರ ಬಳಿ ಬಿಜ್ಜಡಬೀಡ ಎಂಬಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ. ಇವನ ಕಾಲಘಟ್ಟ ಕ್ರಿ. ಶ. 1114. ತಂದೆ ಮಹೇಶ್ವರೋಪಾಧ್ಯಾಯ. ತಂದೆಯೂ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಅವರಿಂದಲೇ ಮೊದಲ ಪಾಠ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯಸ್ಥನಾದನು. ಅಲ್ಲಿ ವರಾಹಮಿಹಿರ ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತರ ಗಣಿತ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದನು. ದಶಮಾನ ಪದ್ಧತಿ ಹಾಗೂ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಅಕ್ಷರಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಬಳಕೆಗೆ ತಂದವರು ಇವರು. ಇವರು ಒಟ್ಟು ಆರು ಗ್ರಂಥಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿ ಎಂಬುದು ಖಗೋ-ಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥ. ಇದನ್ನು 1150ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ. ಇದರಲ್ಲಿ ಲೀಲಾವತಿ, ಬೀಜಗಣಿತ, ಗೋಳಾಧ್ಯಾಯ, ಗ್ರಹಗಣಿತ ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಿವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಆಕಾಶ, ಸೂರ್ಯ, ಚಂದ್ರ ಹಾಗು ಗ್ರಹಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆ ಇದೆ. 'ಲೀಲಾವತಿ' ಎಂಬುದು ತನ್ನ ಮಗಳ ವಿನೋದಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆದುದೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ ಅಂಕಗಣಿತವೇ ಇದರ ಜೀವಾಳ. ಆಗಿನ ಕಾಲದ ಪದ್ಧತಿಯಂತೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಣಿತವನ್ನೂ (ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್) ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಲುವ ಸ್ವಲ್ಪ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನೂ ಕುಟ್ಟಕವೆಂಬ ಬೀಜಗಣಿತ ಭಾಗವನ್ನೂ ಈ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿರುತ್ತಾನೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿಯ ಇತರ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಸ್ಕರನ ಮುಖ್ಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು ಹಲವು ಅಡಕವಾಗಿವೆ. ಮೂಲ ಗ್ರಂಥದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾದ ವಾಸನಾಭಾಷ್ಯವೆಂಬ ಗ್ರಂಥವನ್ನೂ ಭಾಸ್ಕರ ಬರೆದ. ಹಿಂದಿನವರಾದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ, ಶ್ರೀಧರ, ಪದ್ಮನಾಭ ಮುಂತಾದವರ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಸಾರವತ್ತಾದುದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಉಪಯುಕ್ತ ಪಠ್ಯಗ್ರಂಥ ಬರೆಯುವುದೇ ಭಾಸ್ಕರನ ಧ್ಯೇಯ. ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಸುಂದರ ಕವಿತಾ ಕೌಶಲವನ್ನೂ ತೋರಿಸಿರುತ್ತಾನೆ.

ಲೀಲಾವತಿ

ಮೊದಲನೆಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ತನ್ನ ನಿರ್ಭಾಗ್ಯ ಪುತ್ರಿ ಲೀಲಾವತಿಯ ಹೆಸರು ಕೊಟ್ಟಿರುವುದಾಗಿ ಕಥೆಯಿದೆ. ಇದು ಚರ್ಚಾಸ್ಪದ. ಗ್ರಂಥ ಅಂಕಗಣಿತ ಕುರಿತ ಪಠ್ಯಗ್ರಂಥವಾದರೂ ಇದರಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ವಿಷಯಗಳು ಇವೆ. ಶೂನ್ಯ (ಸೊನ್ನೆ 0) ಮತ್ತು ಅನಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೂ, ಪರಿಮಿತಿ (ಲಿಮಿಟ್) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೂ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಇವೆ. ನಿಖರತೆ ಸಾಲದು. ಗೋಳದ ಘನ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಲೆಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರುತ್ತಾನೆ. ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಕಲ್ಪ (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಬಿನೇಶನ್) ಕುರಿತ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಲೆಕ್ಕಗಳಿವೆ. n ಪದಾರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ a ಒಂದು ತರಹದವು, b ಇನ್ನೊಂದು ತರಹದವು, ಇತ್ಯಾದಿಯಾದರೆ, ಎಲ್ಲ ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನೂ ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ${\frac {n!}{a!b!\cdots }}$. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊತ್ತಮೊದಲು ಭಾಸ್ಕರ ಕೊಟ್ಟ. $a+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}+{\sqrt {d}}$ ಎಂಬುದರ ವರ್ಗಮೂಲ ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ ಕೊಟ್ಟಿರುತ್ತಾನೆ.

ಜನಸಾಮಾನ್ಯರಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಭಿರುಚಿ ಹುಟ್ಟುವುದಕ್ಕಾಗಿಯೂ ಮನರಂಜನೆಗಾಗಿಯೂ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುವುದು ಒಂದು ಪದ್ಧತಿ. ಇಂಥ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿನೋದ ಗಣಿತವೆಂದು ಹೇಳುವುದೂ ಉಂಟು. ಭಾಸ್ಕರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿನೋದಗಣಿತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಅರ್ಥದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಶೈಲಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ಬಹಳ ಚೆನ್ನಾಗಿದ್ದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಗ್ರಂಥಕರ್ತರು ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಗ್ರಂಥಗಳಿಗೆ ಆಯ್ದು ಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರನಾದರೂ ಇವನ್ನು ಹಿಂದಿನವರ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿದ್ದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ರೂಪುಗೊಟ್ಟು ಶೇಖರಿಸಿದ್ದಾನೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಆಧಾರಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರತಕ್ಕವೂ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವವೂ, ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವವೂ ಇವೆ. ಒಂದೊಂದಕ್ಕೆ ಒಂದೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತ

ಕರ್ಪೂರಸ್ಯ ವರಸ್ಯ ನಿಷ್ಕಯುಗಲೇನೈಕಂ ಪಲಂಪ್ರಾಪ್ಯತೇ
ವೈಶ್ಯಾನಂದನ ಚಂದನಸ್ಯ ಚಪಲಂದ್ರಮ್ಮಾಷ್ಟಭಾಗೆ ನಚೇತ್
ಅಷ್ಟಾಂಶೇನ ತಥಾಗುರೋಃಪಲದಲಂ ನಿಷ್ಕೇಣಮೇದೇಹಿತಾನ್
ಭಾಗೈರೇಕಕಷೋಡಶಾಷ್ಟ ಕಮಿತೈರ್ಧೊಪಂಚಿಕೀರ್ಷಾವ್ಯಾಹಂ

ಅರ್ಥ: ಎರಡು ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ 1 ಪಲ ಒಳ್ಳೆಯ ಕರ್ಪೂರವೂ, ${\frac {1}{8}}$ ದ್ರಮ್ಮಕ್ಕೆ 1 ಪಲ ಚಂದನ ಅಥವಾ ${\frac {1}{2}}$ ಪಲ ಅಗರುವೂ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಎಲೈ ವರ್ತಕನೇ! ನಾನು ಧೂಪವನ್ನು ತಯಾರಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಮೂರು ಪದಾರ್ಥಗಳು 1:16:8 ನಿಷ್ಟತ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ 1 ನಿಷ್ಕಕ್ಕೆ ಕೊಡು (ನಿಷ್ಕ, ದ್ರಮ್ಮ ಇವು ಹಳೆಯ ನಾಣ್ಯಗಳು; 1 ನಿಷ್ಕ = 16 ದ್ರಮ್ಮ).

ಉತ್ತರ: 14${\frac {2}{9}}$ದ್ರಮ್ಮಕ್ಕೆ ${\frac {4}{9}}$ ಪಲ ಕರ್ಪೂರ, ${\frac {8}{9}}$ ದ್ರಮ್ಮಕ್ಕೆ ${\frac {64}{9}}$ ಪಲ ಚಂದನ ಮತ್ತು ${\frac {8}{9}}$ ದ್ರಮ್ಮಕ್ಕೆ ${\frac {32}{9}}$ ಪಲ ಅಗರು.

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ

ಅಲಿಕುಲದಲಮೂಲಂಮಾಲತೀಂಯಾತಮಷ್ಟೌ
ನಿಖಿಲನವಮಭಾಗಶ್ಚಾಲಿನೀ ಭೃಂಗಮೇಕಂ
ನಿಶಿಪರಿಮಲಲುಬ್ಧಂಪದ್ಮ ಮಧ್ಯೇನಿರುದ್ಧಂ
ಪ್ರತಿಕರಣಕಿಂತಂಬ್ರೂಹಿಕಾನ್ತೋsಲಿಸಂಖ್ಯಾಂ

ಅರ್ಥ: ದುಂಬಿಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧದ ವರ್ಗಮೂಲದಷ್ಟು ಮಾಲತೀ ಪುಷ್ಪಗಳಿಗೆ ಹೋದುವು: ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ 8/9 ಭಾಗ ಕೂಡ ಅಲ್ಲಿಗೇ ಹೋದುವು. ಒಂದು ಗಂಡು ದುಂಬಿ ಕಮಲ ಪುಷ್ಪದ ಪರಿಮಳಕ್ಕೆ ಆಸೆಪಟ್ಟು ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿದ್ದ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ರಾತ್ರಿಯಾಗಿ ಪುಷ್ಪ ಮುಚ್ಚಿಕೊಂಡಿತು. ಈ ದುಂಬಿ ಒಳಗೆ ಸಿಕ್ಕಿಹೋಯಿತು. ಇದರ ಹೆಣ್ಣು ದುಂಬಿ ಒಳಗಿನಿಂದ ಬರುವ ಕೂಗಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯುತ್ತರ ಕೊಡುತ್ತ ಹೊರಗೆ ಇತ್ತು. ದುಂಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

ಉತ್ತರ: ದುಂಬಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ x ಅದರೆ, ಇದರಿಂದ ಬರುವ ಸಮೀಕರಣ: ${\sqrt {\frac {x}{2}}}+{\frac {8}{9}}x+2=x.\ \therefore x=72$  (ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲ ಋಣಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಉಪಯೋಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.)

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ

ಅಸ್ತಿ ಸ್ತಂಭತಲೇ ಬಿಲಂ ತದುಪರಿಕ್ರೀಡಾಶಿಖಚಿಡೀಸ್ಥಿತಃ
ಸ್ತಂಭೇಹಸ್ತನವೋಚ್ಛ್ರಿತೇತ್ರಿ ಗುಣಿತಸ್ತಂಭಪ್ರಮಾಣಾಂತರೇ
ದೃಷ್ಟ್ವಾ ಹಿಂಬಿಲಮಾವ್ರಜನ್‌ತಮಪತತ್ತಿರ್ಯಕ್ ಸತಸ್ಯೋಪರಿ
ಕ್ಷಿಪ್ರಂಬ್ರೂಹಿತಯೋರ್ಬಿಲಾತ್‌ಕತಿಮಿತೈಃ ಸಾಮ್ಯೇನಗತ್ಯೋರ್ಯುತಿಃ

ಅರ್ಥ: 9 ಮೊಳ ಎತ್ತರದ ಕಂಬದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನವಿಲು ಕುಳಿತಿದೆ. ಕಂಬದ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹುತ್ತ. ಹುತ್ತದ ಕಡೆಗೆ 27 ಮೊಳ ದೂರದಿಂದ ಒಂದು ಹಾವು ಬರುತ್ತಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕಂಡು, ನವಿಲು ನೇರವಾಗಿ ಬಂದು ಹಾವನ್ನು ಹಿಡಿದುಬಿಡುತ್ತದೆ. ನವಿಲಿನ ವೇಗವೂ ಹಾವಿನ ವೇಗವೂ ಒಂದೇ ಆದರೆ, ಹುತ್ತದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಹಾವು ಸಿಕ್ಕಿಬೀಳುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ:

AB = ಕಂಬ = 9
AC = 27
AD = x ಆದರೆ BD = DC = 27 - x
$9^{2}+x^{2}=(27-x)^{2}$
x = 12

ಲೀಲಾವತಿ ಗ್ರಂಥಕ್ಕೆ ಅನೇಕರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬರೆದಿರುತ್ತಾರೆ. ಅಕ್ಬರನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲೀಲಾವತಿಯೂ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಪಾರ್ಸಿ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟವು.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲಸ್) ಭಾಸ್ಕರ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಆರಂಭಿಸಿದ. ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ದಿನಂಪ್ರತಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಗತಿ ಎಂಬ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೂಡಿಸಿ $\delta (\sin x)=\cos x\delta x$ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕೊಟ್ಟ, ಎಂದರೆ ಅವಕಲನಾಂಕದ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೋಎಫಿಶಂಟ್) ಮೊತ್ತಮೊದಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಭಾಸ್ಕರ ನ್ಯೂಟನ್ ಲೈಬ್‍ನಿಟ್ಸರಿಗಿಂತ 500 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದ. ಅಲ್ಲದೆ, f(x) ಫಲನ (ಫಂಕ್ಷನ್) ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಪಡೆದಾಗ ಅದರ ಅವಕಲನಾಂಕ ಶೂನ್ಯ, ಎಂದರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, f(x) ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವಾದಾಗ, f'(x) = 0 ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದ.

ಬೀಜಗಣಿತ

ಭಾಸ್ಕರನ ಅತಿಮುಖ್ಯ ಸಂಶೋಧನೆ ಎಂದರೆ Nx² + 1 = y² ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತ ಚಕ್ರವಾಳವೆಂಬ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೊಟ್ಟದ್ದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು $nx^{2}+k=y^{2},\pm 1,\pm 2\pm 4$ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಧನೆ ಅವಲಂಬಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದ. ಆದರೆ ಈ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿಸಲಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಸ್ಕರ ಚಕ್ರವಾಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಶೋಧಿಸಿದ. ಯಾವುದಾದರೂ k ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮೊದಲು na² + k = b² ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಇದರೊಂದಿಗೆ N.1² + (m² - N) = m² ಎಂಬುದನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ

$N\left({\frac {am+b}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {bm+Na}{k}}\right)^{2}$ ಎಂಬುದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಕುಟ್ಟಕ ವಿಧಾನದಿಂದ ${\frac {am+b}{k}}$ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗುವಂತೆಯೂ m² - N ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವಂತೆಯೂ m ಪಡೆಯುವುದು. m - n ಎನ್ನೋಣ. ಈಗ ${\frac {an+b}{k}}=a_{1}{\frac {n^{2}-N}{k}}=k_{1}{\frac {bn+N_{a}}{k}}=b_{1}$ ಆದರೆ a₁, b₁, k₁ ಮೂರೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೆಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈಗ a, b, k ಗಳಿಂದ a₁, b₁, k₁ ಪಡೆದಂತೆಯೇ a₁, b₁, k₁ ಗಳಿಂದ a₂, b₂, k₂ ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನಃ ಪುನಃ ಆಚರಿಸುತ್ತ ಬಂದಲ್ಲಿ $k=\pm 1,\pm 2$ ಅಥವಾ $\pm 4$ ಎಂಬ ಘಟ್ಟ ಬಂದೇಬರುತ್ತದೆ. ಅದರಿಂದಾಚೆಗೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ Nx² + 1 = y² ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ದೊರಕುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉತ್ತರ ದೊರಕಿದ ಮೇಲೆ, ಅದರಿಂದ ಸಮಾಸ ಕ್ರಿಯೆ ಆಚರಿಸಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ: 61x² + 1 = y². ಇದು ಒಂದು ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಉದಾಹರಣೆ. ಫರ್ಮಾ ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿದ್ವಾಂಸ 1657ರಲ್ಲಿ ಇದರ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಪಂದ್ಯವಾಗಿ ತನ್ನ ಮಿತ್ರರಿಗೆ ಕೊಟ್ಟ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ 1150ರಲ್ಲಿ ಇದೇ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ತನ್ನ ಚಕ್ರವಾಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮೂರೇ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಇದನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವು: x = 226,153,980; y = 1,766,319,049.

Nx² + 1 = y² ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಮಗ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜ್ 1766ರಲ್ಲಿ ಸಂತತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ಸ್) ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ. ಭಾರತೀಯ ವಿಧಾನವೂ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ವಿಧಾನವೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರೆ ಬೇರೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿಂದಲೂ ಸಾಧಿಸಿದರೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂತರ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದು.

ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಭಾಸ್ಕರ ಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಘನವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರಂಥಕರ್ತರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡುದೆಂದು ಭಾಸ್ಕರ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x+y, x-y ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಭಾಸ್ಕರ ಮೇಲಿನ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು $4x^{2}+4x^{3}=2(x+y)^{3}+2(x-y)^{3}+2(x-y)^{3}$ ಎಂಬ ಬೀಜವಾಕ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಇದನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದರೆ $x^{2}+x=3y^{2}$ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

$\therefore 4x^{2}+4x+1=12y^{2}+1$

$\therefore 12y^{2}+1=(2x+1)^{2}=z^{2}$

ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳು y = 2, z = 7; y = 28, z =97 ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (5, 76), (1, 20), ಇತ್ಯಾದಿ.

ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಈತನೇ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದನೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ.

ನಿಧನ

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ಕ್ರಿ. ಶ. 1185ರಲ್ಲಿ ಮರಣಹೊಂದಿದ.

ಮುಖ್ಯ ಕೃತಿಗಳು

• ಲೀಲಾವತಿ ಗಣಿತ (ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ, ತನ್ನ ಮಗಳ ಮನೋರಂಜನೆಗಾಗಿ ಬರೆದದ್ದೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ).
• ಬೀಜಗಣಿತ
• ಸಿದ್ಧಾಂತಶಿರೋಮಣಿ: ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಿವೆ:
  • ಗೋಳಾಧ್ಯಾಯ
  • ಗ್ರಹಗಣಿತ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ

1. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ವಿರಚಿತ ಲೀಲಾವತಿ 108 ಆಯ್ದ ಲೆಕ್ಕಗಳು

ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿ

• ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು

ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ

• W. W. Rouse Ball. A Short Account of the History of Mathematics, 4th Edition. Dover Publications, 1960.
• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd Edition. Penguin Books, 2000.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews University of St Andrews, 2000.
• Ian Pearce. Bhaskaracharya II at the MacTutor archive. St Andrews University, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). "Bhāskara II". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 2. New York: Charles Scribner's Sons. pp. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

ಹೊರಗಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳು

• Bhaskara II - ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ Archived 2004-10-10 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.
• 4to40 Biography