ಸದಸ್ಯ:Puneeth236/sandbox
ನಿಖರವಾದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಪರಿಚಯ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ನ್ಯಾಯ ಸಮ್ಮತವಾದ ವಾದದ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಹಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪೀಠಿಕೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುವುದರಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಣಿತ ಹಾಗು ಇತರೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಕೆಲವು ತರ್ಕ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ತರ್ಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಿದ್ದೇವೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವು ಬಹಳ ಆಳವುಳ್ಳ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದು ನಾವು ಕೇವಲ ಅದರ ಮೂಲಭೂತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಿದ್ದೇವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ನಾವು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಆಜ್ಞಾರ್ಥಕ ವಾಕ್ಯಗಳು, ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಥಕ ವಾಕ್ಯಗಳು, ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು, ಉದ್ಗಾರವಾಚಕಗಳು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕುತೂಹಲ ಕೇವಲ ಸರಿ ಅಥವ ಕೇವಲ ತಪ್ಪು ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಗುವ ವಾಕ್ಯಗಳ ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ ಇಂತಃ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ :
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]೯>೬ (ಸರಿ)
-೩=೩ (ತಪ್ಪು)
ಯಾವ ವಾಕ್ಯ ತನ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಉದ್ಗಾರ, ಹಾಗು ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಯಸುತ್ತ್ದೆಯೋ ಅವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ನೀನು ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುವೆಯಾ?
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಆಂಗ್ಲ ಭಾಷೆಯ p,q,r ಅಕ್ಷರ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಸತ್ಯತೆ ಅಥವ ಅಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಟ್ರುತ್ ವಾಲ್ಯು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಾಕ್ಯ ಸತ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು T ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಹಾಗು ತಪ್ಪಾದಲ್ಲಿ F ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ತರ್ಕ ಕೂಡಿಕೆ ಹಾಗು ಪ್ರಮೇಯ ಮಿಶ್ರತೆ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
and (ಮತ್ತು)
or (ಅಥವ)
not (ನಕಾರ)
if then (ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆ)
if and only if (ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಆಗಲೇಬೇಕು)
ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕೂಡಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಕ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ತರ್ಕ ಕೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
and [^]
or [v]
not [~]
if then [->]
if and only if [<->]
ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯ ರಚನೆ
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ಸಂಗಮ (conjunction)
p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿದ್ದು; p^q ಎಂಬ ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಗಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. p ಮತ್ತು q ಸತ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಗಮ ಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲವಾದಲ್ಲಿ ಅಸತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
| p | q | p^q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
- ಅಗಲಿಕೆ (disjunction)
p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿದ್ದು; pvq ಎಂಬ ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ಅಗಲಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. p ಅಥವ q ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವೊಂದು ಸತ್ಯವಾದರೂ ಪ್ರಮೇಯ ಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
| p | q | pvq |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- ನಕಾರ(negation)
p ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯ ~p ಯನ್ನು pನ ನಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರೆಮೇಯ p ಸತ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ~p ಅಸತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಪ್ರಮೇಯ p ಅಸತ್ಯವಾದಲ್ಲಿ pನ ನಕಾರ ಸತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
| p | ~P |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
- ಕರಾರು(conditional)
p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿದ್ದು; p->q ಎಂಬ ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕರಾರಿನ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
| p | q | p->q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
- ಶರತ್ತು(biconditional)
p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿದ್ದು; p<->q ಎಂಬ ಮಿಶ್ರಿತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಶರತ್ತು ಬದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
| p | q | p<->q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
ಡಿ'ಮಾರ್ಗನ್ ನ ನಿಯಮ(De' Morgan's law)
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ~(p^q) = (~pv~q)
| p | q | ~p | ~q | (p^q) | ~(p^q) | (~pv~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
- ~(pvq) = ~p^~q
| p | q | ~p | ~q | (pvq) | ~(pvq) | (~p^~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | T | F | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | T | T |
- ~(p->q) = p^~q
| p | q | ~q | (p->q) | ~(p->q) | (p^~q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | F |
- [p->(q^r)] = [(p->q)^(p->r)]
| p | q | r | (q^r) | [p->(q^r)] | (p->q) | (p->r) | [(p->q)^(p->r)] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | F | T | F | F |
| T | F | T | F | F | F | T | F |
| T | F | F | F | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | F | F | T | T | T | T |