ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ

ಡಯೊಫಾಂಟಸ್‍ನ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕಾದ ೧೬೭೦ರ ಆವೃತ್ತಿಯು ಫ಼ರ್ಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅವನ "ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅವನ ಮರಣದ ನಂತರ ಅವನ ಮಗನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದನು.

ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂಬುದು x, y, z, n ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು n ≥ 3 ಆಗಿರುವಾಗ

xⁿ + yⁿ = zⁿ............…(1)

ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಂಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ (ಫರ್ಮಾಸ್ ಲಾಸ್ಟ್ ಥಿಯರಮ್). ಫರ್ಮ (1601-65) ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ ತನ್ನಲ್ಲಿದ್ದ ಡಯೊಫಾಂಟಸ್ ಕೃತಿಗಳ ಬಾಚೆಟ್ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಚು ಟಿಪ್ಪಣಿಯಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದ (1637). ಇದರಲ್ಲಿ ಆತ ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ತನ್ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ಒತ್ತಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ. ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯದ ಉತ್ತರಚರಿತ್ರೆ ಫರ್ಮ ಪ್ರಾಯಶಃ ತನ್ನ ಸಾಧನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪು ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದೆ. ಇದು ಹಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x, y, z ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವಾಗ

x⁴ + y⁴ = z⁴.............…(2)

ಸಮೀಕರಣ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಫರ್ಮ ನಿಜಕ್ಕೂ ಸಾಧಿಸಿದ್ದ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಾಧು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ x, y, z ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು p ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (odd prime) ಆಗಿರುವಾಗ

x^p + y^p = z^p...........…(3)

ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರುಜುವಾತಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ದಿಟ್ಟತನದಿಂದ ಕೂಡಿದ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಎಂದರೆ ಇ. ಇ. ಕುಮ್ಮರ್ (1810-90) ಎಂಬಾತನ ಕೃತಿ. ಆತ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಏನು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಡಯೊಫೇಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕು. ಕುಮ್ಮರನ ಕೃತಿಯ ಅನಂತರ ಈಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎಚ್.ಎಸ್. ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಎಂಬವರು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಅದೇ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆದು ಎಲ್ಲ p < 2522 ಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಅವರಿಂದ ಮುಂದೆ ಬಂದ ಕಾರ್ಯಕರ್ತರು p ಯ ಈ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ ಅನಂತಸಂಖ್ಯೆಯ (infinite number) ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಗಳ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಕೂಡ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸಾಧನೆ ಅತಿ ಕಷ್ಟವೆಂದು ತೋರುವುದು. ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಧುನಾತಮ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕುರಿತು ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿ 53 (1946) 555-78ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿರುವ 'ರಿಪೋರ್ಟ್ ಆಫ್ ದ ಕಮಿಟಿ ಆನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೇಕ್ ನಂಬರ್ಸ್' ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಘುಗಣಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಎ. ಬೇಕರ್ ಮಾಡಿದ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದಾಗಿ ದಾಳಿಯ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳು (ಇವುಗಳಿಂದ ಕುಮ್ಮರ್‌ನದರಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ತನಕ ಲಭ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ) ಸಾಧ್ಯವಾಗಿವೆ. ಇಂಥ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಿ. ಎಲ್. ಸ್ಟೆವಾರ್ಟ್ ಅವರು ಪಡೆದಂಥವು [ಎ. ನೋಟ್ ಆನ್ ಫರ್ಮ ಇಕ್ವೇಶನ್, ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ 24(1977), 130-132.] ಅವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣ (1)ಕ್ಕೆ x<y, n≥3 ಆಗಿರುವಂತೆ x, y, z, n ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇವೆ ಎಂದೂ, x, y, z ಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಎಂದೂ ಅಂಗೀಕರಿಸೋಣ. ಆಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ:

• ಪ್ರಮೇಯ 1: ಗಣ A ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ (positive constant) ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ A ಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು $y-x<AZ^{1-n-{\frac {1}{2}}}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ n < B ಆದ ವಿನಾ ಪರಿಹಾರ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಗುಣವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ B ಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ.
• ಪ್ರಮೇಯ 2: C ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ C ಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು y-x < C ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ n < D ಆದ ವಿನಾ ಪರಿಹಾರ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಗುಣವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ D ಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ.

ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ

ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ (1953) ಎಳೆ ಅಣುಗನಾಗಿದ್ದಾಗ ಫರ್ಮಾ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿತರಾದರು. ಗಣಿತಾಧ್ಯಯನ ಚಿಂತನ ಮಂಥನವೇ ತಮ್ಮ ಜೀವನದ ಏಕೈಕ ಲಕ್ಷ್ಯವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಫರ್ಮಾ ಅವರನ್ನು ವಶೀಕರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ, ಫರ್ಮಾನಿಂದ ಅವರು ಸಂಪೀಡಿತರಾಗಿದ್ದರು.

ದಿನಾAಕ 26-6-1993 ರಂದು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ದೈನಿಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಮಾಚಾರ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. "ಕೊನೆಗೂ ಈ `ಅಗೋಚರ' ಆದರೆ ಖಚಿತ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಇದೆಯೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್ದ `ಸಾಧನೆ' ಸಿದ್ಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಅರ್ಥಾತ್ ಫರ್ಮಾ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಅಮೆರಿಕದ ಪ್ರಿನ್‌ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ ಈ `ಸಾಧನೆ' ಗಳಿಸಿರುವ ಪರಮ ಸಾಧಕ" ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು.

ಮುಂದೆ ವೈಲ್ಸ್ 27-6-1997 ರಂದು ಪಾಲ್ ವೂಲ್ಫ್‌ಸ್ಕೇಹ್ಲ್ ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಇದಕ್ಕಾಗಿ 1816ರಲ್ಲಿ ಘೋಷಿಸಿದ್ದ ಬಹುಮಾನ ಧನವನ್ನು (1997ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ 50,000 ಡಾಲರ್) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ xⁿ + yⁿ = zⁿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ n ನ ಬೆಲೆ 2 ಅಥವಾ ಅಧಿಕ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (positive integer) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಉಕ್ತಿಗೆ ಉತ್ತರ ದೊರಕಿತು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Ribenboim, P (2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4.
• Singh, S (1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.
• Stark, H (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8.