ಘನ (ಬೀಜಗಣಿತ)

1 ≤ x 25 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ y = x 3 .

ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ n ನ ಘನ ಅದರ ಥರ್ಡ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು:

n3 = n × n × n.

n3 = n × n2.

ಉದ್ದ n ನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರವೂ ಇದಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಅವರ ಘನವನ್ನು n ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಲವಾರು ಹುಡುಕುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಘನಮೂಲ n . ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಘನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು n ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಇನ್ನಿತರ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ 3 ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2³ = 8 ಅಥವಾ (x + 1) 3 .

ವರ್ಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ f: x → x ³ (ಅಥವಾ y = x ³ ಸಮೀಕರಣ) ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನವು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಲ್ಲ .

0 3 =	0
1 3 =	1	11 3 =	1331	21 3 =	9261	31 3 =	29,791 ರೂ	41 3 =	68,921	51 3 =	132,651
2 3 =	8	12 3 =	1728	22 3 =	10,648	32 3 =	32,768	42 3 =	74,088	52 3 =	140,608
3 3 =	27	13 3 =	2197	23 3 =	12,167	33 3 =	35,937 ರೂ	43 3 =	79,507	53 3 =	148,877
4 3 =	64	14 3 =	2744	24 3 =	13,824	34 3 =	39,304	44 3 =	85,184	54 3 =	157,464
5 3 =	125	15 3 =	3375	25 3 =	15,625	35 3 =	42,875	45 3 =	91,125	55 3 =	166,375
6 3 =	216	16 3 =	4096	26 3 =	17,576	36 3 =	46,656	46 3 =	97,336	56 3 =	175,616
7 3 =	343	17 3 =	4913	27 3 =	19,683	37 3 =	50,653	47 3 =	103,823	57 3 =	185,193
8 3 =	512	18 3 =	5832	28 3 =	21,952 ರೂ	38 3 =	54,872	48 3 =	110,592	58 3 =	195,112
9 3 =	729	19 3 =	6859	29 3 =	24,389	39 3 =	59,319	49 3 =	117,649	59 3 =	205,379
10 3 =	1000	20 3 =	8000	30 3 =	27,000	40 3 =	64,000	50 3 =	125,000	60 3 =	216,000

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಒಬ್ಬರು m ವರ್ಗ ಘಟಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾದ, ವರ್ಗವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 × 3 × 3 = 27 ರಿಂದ 27 ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಬಿಕ್ಸ್ ವರ್ಗದ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.

ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.

(n + 1)3 − n3 = 3(n + 1)n + 1.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವು. ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

ಮೂಲ ಹತ್ತು

ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 25, 75 ಮತ್ತು 00 ಮಾತ್ರ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಬೆಸ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಬಹುದು. ಸಮ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 00, o 2, e 4, o 6 ಮತ್ತು e 8 ಮಾತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು (ಇಲ್ಲಿ o ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು e ಯಾವುದೇ ಸಮ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ). ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 64 ಒಂದು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆ (8 × 8) ಮತ್ತು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ (4 × 4 × 4) . ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಆರನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2 6 ).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲ 1, 8 ಅಥವಾ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು . ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಕೇವಲ −1, 1 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

• X ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,

${\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}};$

• 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು 1 ರ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,

${\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$

• 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಉಳಿದ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 8 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,

${\text{if}}\quad x\equiv -1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv -1{\pmod {9}}.$

ಪ್ರತಿ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂಬತ್ತು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ) ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂಬತ್ತು ಘನಗಳ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 23 ಅನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .