ಶಾಂಕವೇಯಗಳು

ಶಾಂಕವೇಯಗಳು ಎನ್ನುವುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಜ (ಎಲ್ಲಿಪ್ಸಾಯ್ಡ್), ಪರವಲಯಜ (ಪ್ಯಾರಬೊಲಾಯ್ಡ್) ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಜಗಳ (ಹೈಪರ್ಬೊಲಾಯ್ಡ್) ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು (ಕಾನಿಕಾಯ್ಡ್ಸ್). ಇವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಘನಾಕೃತಿಗಳು. ಎರಡನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಪೃಷ್ಠ (ಸರ್ಫೇಸ್). ಎಂದೇ ಇದರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪ:

ax²+by²+cz²+2fyz+2gzx+2hxy+2lx+2my+2nz+d = 0

ಶಾಂಕವೇಯದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಿಸದಿರಬಹುದು, ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಶಾಂಕವೇಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕ (tangent) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ಸಮತಲವೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಿಸದಿರಬಹುದು, ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಈ ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತಕ್ಕೆ ಶಂಕುಚ್ಛೇದ ಅಥವಾ ಶಂಕುಜ (ಕಾನಿಕ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.
ಶಾಂಕವೇಯದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ 9 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ a, b, c, f, g, h, l, m, n, d ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. a, b, c ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಅರ್ಥ:

ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಆಯ್ದ 9 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವಂತೆ ಅಥವಾ 3 ಪರಸ್ಪರ ವಿಷಮತಲೀಯ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಒಂದು ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸಮರ್ಪಕ ಲಂಬನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದನ್ನು ಆಯ್ದ ಮೇಲಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾ:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಜ

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ಇದು ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಅತಿಪರವಲಯಜ.

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$ ಇದು ಎರಡು ಹಾಳೆಗಳ ಅತಿಪರವಲಯಜ

ಇವೆಲ್ಲವೂ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪೃಷ್ಠಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವಿದೆ. ನಕೇಂದ್ರೀಯ ಪೃಷ್ಠಗಳೂ ಇವೆ: $z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ ಈ ಸಮೀಕರಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತರೂಪದ ಪರವಲಯಜವನ್ನು (elliptic paraboloid) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೇಂದ್ರವಿಲ್ಲ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

M. Audin: Geometry, Springer, Berlin, 2002, ISBN 978-3-540-43498-6, p. 200.
M. Berger: Problem Books in Mathematics, ISSN 0941-3502, Springer New York, pp 79–84.
A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie, Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07241-5, p. 159.
P. Dembowski: Finite Geometries, Springer, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0, p. 43.
Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Quadric", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Weisstein, Eric W., "Quadric", MathWorld.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು