ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳುಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಳು ದತ್ತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೆಂದೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವಂತೆ ಮತ್ತು ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಈಗ ಆಗುವುದರಿಂದ, ಗೆ ನಾವು ಯಾವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಗೆ ನಾವು ಯಾವ ಬೆಲೆಯನ್ನಾದರೂ ಕೊಡಬಹುದ್ದಾದರಿಂದ, ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಮಾಡುವಂಥ ಮತ್ತು ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಇಂಡಿಟರ್ಮಿನೇಟ್) ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಆದರೆ ಮತ್ತು ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವುದೇ ಅಲ್ಲದೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿಯೂ ಇರಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಾವುವು ಮತ್ತು ಇದರ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದೇ ಇಲ್ಲಿರುವ ವಿಚಾರ. ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ.

ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ

ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಂಬುವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೆಂದೂ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ನಿರಪವರ್ತನೀಯಗಳೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಈ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡದಿದ್ದರೆ ಆಗ ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಾರವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.ಈ ವಿಚಾರವನ್ನು ರೇಖಾರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಿಸೋಣ. ಎಂಬುವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬಾಕ್ಷಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದನೆಯ ಪಾದದಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಡ್ರೆಂಟ್) ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 1,2,3 ಇತ್ಯಾದಿ ದೂರಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಆಗ ಒಂದನೆಯ ಪಾದದಲ್ಲಿ ಹಲವು ಚೌಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅನಂತರ ಎಂಬ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಈ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಚೌಕಗಳ ಯಾವ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಾದರೂ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆಯೇ, ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು. ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆ ಒಂದನೆಯ ಪಾದವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬೇಕಾದರೆ ಅದರ ಸಮೀಕರಣ ಈ ಮೇಲೆ ಉಕ್ತವಾಗಿರುವ ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.ಮೊದಲು, ಮತ್ತು ಎಂಬ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮೇಲಿನ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವಂತೆ ಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಯೊಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ. ಹೇಗೆಂದರೆ ಎಂಬ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂತತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್) ಪರಿವರ್ತಿತವಾಗಲಿ. ಅದರ ಉಪಾಂತ್ಯಅಭಿಸರಣ (ಪೆನಲ್ಟಿಮೆಟ್ ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಆಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಆದರೆ, ಆಗ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆದರೆ, ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣ (iii)ನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ; ಹಾಗಲ್ಲದೆ, ಎಂದಾದಾಗ, ಆಗ ಮತ್ತು ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣ (iii)ನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ.ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (i)ರ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಾಧನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ. ಎಂಬುದು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಆಗುವಂತೆ ಮತ್ತು ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ. ಆಗ, ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ನಿರಪವರ್ತನೀಯವಾದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಚಲ (ಪೆರಾಮಿಟರ್) ಪೂರ್ಣಾಂಕ.ಮತ್ತು ಈಗ ಮತ್ತು ಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಬೇಕಾದರೆ, ಆಗಿಯೂ ಟ ಆಗುವಂತೆಯೂ ಆಗಬೇಕು ಎಂದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ (v) ಎಂಬ ಅಸಮತೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವಂಥ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗೂ (iv) ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಜೊತೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ. (v) ಎಂಬ ಅಸಮತೆಗಳನ್ನು ತಾಳೆಮಾಡುವ ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವ ಗಳ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅಂಥಬೆಲೆಗಳು ಇಲ್ಲದಿರಲೂಬಹುದು.

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ

ಮತ್ತೆ, ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಆಗುತ್ತವೆ; ಹಿಂದಿನಂತೆ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಯ ಬೆಲೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಬೇಕಾದರೆ ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಬ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಅಧಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಗೆ ಅಂಥ ಬೆಲೆಗಳು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುವ ಗಳ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳೂ ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿರುತ್ತವೆ.ಅನೇಕ ವೇಳೆ, ಟಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಮಾಡುವಂತೆ ಎಂಬ ಒಂದು ಜೊತೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಊಹೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆಗ ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಕಲನದಿಂದ , ಪ್ರಾಚಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದೆ ಗಳು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಬೇಕಾದರೆ, . ಇದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನೂ ಬಿಡಿಸಬಹುದು.

ಯೊಫ್ಯಾಂಟಸ್

3ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟಸ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಎಂಬ ರೂಪದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ. ಪೂರ್ವಕಾಲದ ಹಿಂದೂಗಣಿಕರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕುಟ್ಟಕ ವ್ಯವಹಾರವೆಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಿಡಿಸುವಿಕೆಯ ವಿಚಾರವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಲೀಲಾವತೀ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕವಿಂಶತಿಯುಂ ಶತದ್ವಯಂ ಯದ್ಗುಣಂ ಗಣಕಪಂಚ ಷಷ್ಠಿಯುಕ್ ಪಂಚವರ್ಜಿತ ಶತದ್ವಯೋದ್ಧøತಂ ಶುದ್ಧಿಮಿತಿಗುಣಕಂ ನದಾಶು ||ಎಂಬ ಲೆಕ್ಕವಿದೆ; ಎಂದರೆ, ಅಥವಾ ಎಂಬ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬಿಡಿಸಿಕೆ. ಇದರ ಉತ್ತರ ಪ್ರಾಚಲ ಇತ್ಯಾದಿ.