ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ): ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
Chandanv89 (ಚರ್ಚೆ | ಕಾಣಿಕೆಗಳು) No edit summary |
Chandanv89 (ಚರ್ಚೆ | ಕಾಣಿಕೆಗಳು) ಚುNo edit summary |
||
೧ ನೇ ಸಾಲು: | ೧ ನೇ ಸಾಲು: | ||
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿಪದ''' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. |
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''ಶ್ರೇಢಿಪದ''' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. |
||
<math>2, 6, 10, 14, ...</math> |
|||
ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ: |
|||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
!ಪದ |
!ಪದ |
||
|ಮೊದಲನೇ |
|ಮೊದಲನೇ |
||
|ಎರಡನೇ |
|ಎರಡನೇ |
||
|ಮೂರನೇ |
|ಮೂರನೇ |
||
|ನಾಲ್ಕನೇ |
|ನಾಲ್ಕನೇ |
||
| |
|<math>n </math>ನೇ |
||
|- |
|- |
||
!ಚಿಹ್ನೆ |
!ಚಿಹ್ನೆ |
||
೨೦ ನೇ ಸಾಲು: | ೨೪ ನೇ ಸಾಲು: | ||
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: <math>T_1, T_2, T_3, ... T_n</math> |
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: <math>T_1, T_2, T_3, ... T_n</math> |
||
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: |
|||
⚫ | |||
<math>1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15</math> |
|||
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,<blockquote><math>2, 4, 6, 8, 10, ...</math></blockquote><blockquote><math>S = \{x : 2x, x > 0\}</math></blockquote> |
|||
<math>S = \{x : (2x+1), 1\leq x \leq 15\}</math> |
|||
⚫ | |||
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, |
|||
<math>2, 4, 6, 8, 10, ...</math> |
|||
<math>S = \{x : 2x, x > 0\}</math> |
|||
=== ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ === |
=== ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ === |
||
೩೨ ನೇ ಸಾಲು: | ೪೬ ನೇ ಸಾಲು: | ||
|<math>T_4 - T_3</math> |
|<math>T_4 - T_3</math> |
||
|- |
|- |
||
|5, 8, 11, 14, ... |
|<math>5, 8, 11, 14, ...</math> |
||
|3 |
|3 |
||
|3 |
|3 |
||
|3 |
|3 |
||
|- |
|- |
||
|3, 13, 23, 33, ... |
|<math>3, 13, 23, 33, ...</math> |
||
|10 |
|10 |
||
|10 |
|10 |
||
|10 |
|10 |
||
|- |
|- |
||
|1, -1, -3, -5, ... |
|<math>1, -1, -3, -5, ...</math> |
||
| -2 |
| -2 |
||
| -2 |
| -2 |
||
| -2 |
| -2 |
||
|- |
|- |
||
|1, 1.5, 2, 2.5, ... |
|<math>1, 1.5, 2, 2.5, ...</math> |
||
|0.5 |
|0.5 |
||
|0.5 |
|0.5 |
||
|0.5 |
|0.5 |
||
|} |
|} |
||
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು '''ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ''' ಅಥವಾ '''ಸ್ಥಿರಾಂಕ''' ''(Common Difference, C.D)'' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು <math>d</math> ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. |
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು '''ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ''' ಅಥವಾ '''ಸ್ಥಿರಾಂಕ''' ''(Common Difference, C.D)'' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು <math>d</math> ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. |
||
<math>T_1, T_2, T_3, T_4, ...</math> |
|||
<math>d = T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = T_4 - T_3 ...</math> |
|||
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. |
|||
<math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವು, <math>d</math> ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ, |
|||
<math>T_1 = a</math> |
|||
⚫ | |||
<math>T_3 = T_2 + d = (a + d) + d = a + 2d</math> |
|||
<math>T_4 = T_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d</math> |
|||
ಹಾಗಾಗಿ, <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು: |
|||
<math>a, (a+d), (a+2d), (a+3d), ...</math> |
|||
==== ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು ==== |
==== ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು ==== |
||
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, |
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು '''ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, |
||
<math>5, 10, 15, 20, 25</math> |
|||
<math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \leq 50 \}</math> |
|||
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು '''ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, |
|||
<math>5, 10, 15, 20, 25,...</math> |
|||
<math>S = \{ x : (3x-1), 0 \leq x \}</math> |
|||
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ <math>a</math> ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ <math>d</math> ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ <math>n</math>ನೇ ಪದವು <math>T_n = a + (n-1)d </math> ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. |
|||
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
||
|+ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು |
|||
|- |
|- |
||
| colspan="2" |ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ <math>5, 10, 15, 20, 25,...</math>ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ: |
|||
| colspan="2" |ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ <math>5, 10, 15, 20, 25,...</math>ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:<blockquote><small><math>T_1 = a = 5, d = T_2 - T_1 = 10 - 5 = 5</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_1 = 5 = a = a + (1-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_2 = 10 = 5+5 = a+d = a+(2-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_3 = 15 = 5+5+5 = a+d+d = a+(3-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_4 = 20 = 5+5+5+5 = a+d+d+d = a+(4-1)d</math></small></blockquote><blockquote><small><math>\cdots</math></small></blockquote><blockquote><small><math>T_n = a+d+d+d ... = a + (n-1)d</math></small></blockquote>'''<big><math>\therefore T_n = a + (n-1)d</math></big>''' |
|||
<small><math>T_1 = a = 5,\ d = T_2 - T_1 = 10 - 5 = 5</math></small> |
|||
<small><math>T_1 = 5 = a = a + (1-1)d</math></small> |
|||
<small><math>T_2 = 10 = 5+5 = a+d = a+(2-1)d</math></small> |
|||
<small><math>T_3 = 15 = 5+5+5 = a+d+d = a+(3-1)d</math></small> |
|||
<small><math>T_4 = 20 = 5+5+5+5 = a+d+d+d = a+(4-1)d</math></small> |
|||
<small><math>\cdots</math></small> |
|||
<small><math>T_n = a+d+d+d ... = a + (n-1)d</math></small> |
|||
'''<big><math>\therefore T_n = a + (n-1)d</math></big>''' |
|||
|- |
|- |
||
|<math>T_n + d = T_{n+1}</math> |
|<math>T_n + d = T_{n+1}</math> |
||
೬೯ ನೇ ಸಾಲು: | ೧೩೧ ನೇ ಸಾಲು: | ||
==== ಶ್ರೇಣಿ ==== |
==== ಶ್ರೇಣಿ ==== |
||
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು '''ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. <math>T_1, T_2, T_3...T_n</math> ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ <math>T_1+T_2+T_3+...+T_n</math>ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು <math>S_n</math> ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, <math>S_n = T_1 + T_2 + T_3 + ... + T_n</math>. |
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು '''ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. <math>T_1, T_2, T_3...T_n</math> ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ <math>T_1+T_2+T_3+...+T_n</math> ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು <math>S_n</math> ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, <math>S_n = T_1 + T_2 + T_3 + ... + T_n</math>. |
||
{| class="wikitable mw-collapsible" |
{| class="wikitable mw-collapsible" |
||
|+ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ |
|||
⚫ | |||
|<math>S_1 = T_1</math> |
|||
|- |
|||
|<math>S_2 = T_1 + T_2</math> |
|||
|- |
|||
|<math>S_3 = T_1 + T_2 + T_3...</math> |
|||
|- |
|- |
||
|<math>S_n - S_{n-1} = T_n</math> |
|<math>S_n - S_{n-1} = T_n</math> |
||
|} |
|} |
||
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು '''ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. |
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು '''ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ''' ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. |
||
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ <math>a</math>, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ <math>d</math> ಆಗಿದ್ದು, <math>S_n</math> ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, |
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ <math>a</math>, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ <math>d</math> ಆಗಿದ್ದು, <math>S_n</math> ಮೊದಲ <math>n</math> ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, |
||
<math>S_n = \frac{n}{2}\left [2a + (n-1)d\right ]</math> |
|||
<math>S_n = \frac{n}{2}\left [2a + (n-1)d\right ]</math><blockquote>'''ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:'''</blockquote><blockquote><math>1+2+3+...+n</math> ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,</blockquote><blockquote><math>a=1,\ d=T_2-T_1=2-1=1,\ n=n</math></blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times1+(n-1)1]=\frac{n}{2}[2+n-1]</math></blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{1}^n n</math></blockquote><blockquote>'''ಮೊದಲ <math>n</math> ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ''' <math>= \frac{n(n+1)}{2}</math> '''ಅಥವಾ''' <math>\sum_{1}^n n = \frac{n(n+1)}{2} </math></blockquote><blockquote>ಅಲ್ಲದೆ, <math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math> ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:</blockquote><blockquote><math>S_n=\frac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]</math></blockquote><blockquote><math>\therefore S_n = \frac{n}{2}[a+T_n]\ \ \ \ \ \because\ T_n=a+(n-1)d</math></blockquote><blockquote><math>\therefore \frac{a+T_n}{2}\ \rightarrow\ </math>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.</blockquote> |
|||
'''ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:''' |
|||
<math>1+2+3+...+n</math> ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, |
|||
<math>a=1,\ d=T_2-T_1=2-1=1,\ n=n</math> |
|||
<math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times1+(n-1)1]=\frac{n}{2}[2+n-1]</math> |
|||
<math>S_n=\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{1}^n n</math> |
|||
'''ಮೊದಲ <math>n</math> ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ''' <math>= \frac{n(n+1)}{2}</math> '''ಅಥವಾ''' <math>\sum_{1}^n n = \frac{n(n+1)}{2} </math> |
|||
ಅಲ್ಲದೆ, <math>S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math> ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು: |
|||
<math>S_n=\frac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]</math> |
|||
<math>\therefore S_n = \frac{n}{2}[a+T_n]\ \ \ \ \ \because\ T_n=a+(n-1)d</math> |
|||
<math>\therefore \frac{a+T_n}{2}\ \rightarrow\ </math>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ. |
೦೨:೫೨, ೧೯ ಮಾರ್ಚ್ ೨೦೧೭ ನಂತೆ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:
ಪದ | ಮೊದಲನೇ | ಎರಡನೇ | ಮೂರನೇ | ನಾಲ್ಕನೇ | ನೇ |
---|---|---|---|---|---|
ಚಿಹ್ನೆ |
ಇಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:
ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಶ್ರೇಢಿ | |||
---|---|---|---|
3 | 3 | 3 | |
10 | 10 | 10 | |
-2 | -2 | -2 | |
0.5 | 0.5 | 0.5 |
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಮೊದಲನೇ ಪದವು, ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,
ಹಾಗಾಗಿ, ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:
ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು
ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ನೇ ಪದವು ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:
| |
ಶ್ರೇಣಿ
ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, .
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ , ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಆಗಿದ್ದು, ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,
ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:
ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,
ಮೊದಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ
ಅಲ್ಲದೆ, ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.