ಸದಸ್ಯ:Thanushashashi/WEP 2018-19 dec

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ax² + bx + c = 0, ಇದರಲ್ಲಿ a ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಾದ,a, b ಮತ್ತು c.

ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶಾಲ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಹಾಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಏಕೀಕೃತ ಎಳೆಯಾಗಿದೆ.ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಂಪುಗಳು, ರಿಂಗ್ಸ್(rings) ಮತ್ತು ಫೀಲ್ಡ್ಸ್(fields)ಳಂತಹ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಭಾಗ(abstract parts)ಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ(abstract) ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಅಥವಾ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.ಮುಂದುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ,ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ(abstract algebra)ವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಮೂರ್ತತೆಗಳ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ,ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಪರಿಚಿತ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಲ್ಲುವಂತಹ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.ಉದಾಹರಣೆಗೆ,$x+2=5$ ರಲ್ಲಿ $x$ ಅಪರಿಚಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಲೋಮಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು(the law of inverses)ಬಳಸಬಹುದು:$x=3$. E = mc²,ರಲ್ಲಿ $E$ ಹಾಗೂ $m$ಗಳು ಅಸ್ಥಿರ ಹಾಗೂ $c$ ಎಂಬುದು ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದ್ದು(speed of light in vacuum), ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆಯುವ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ(abstract algebra)ದ ವಿಶೇಷವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಸ್ತುವನ್ನು "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಜ್ಞನನ್ನು ಅಲ್ಗೇಬ್ರೈಸ್ಟ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

''ಬೀಜಗಣಿತದ'' ವಿವಿಧ ಅರ್ಥಗಳು

ಲೇಖನವಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಪದವಾಗಿ, "ಬೀಜಗಣಿತ" ವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶಾಲವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಲೇಖನವಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಪದವಾಗಿ, "ಬೀಜಗಣಿತ" ವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶಾಲ ಭಾಗವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿದೆ.ಒಂದು ಲೇಖನ ಅಥವಾ ಬಹುವಚನದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪದವಾಗಿ, "ಬೀಜಗಣಿತ" ಅಥವಾ "ಬೀಜಗಣಿತಗಳು" ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಲೇಖಕರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ರಚನೆಯು ಒಂದು ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಪವಿಭಾಗ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಸಹವರ್ತಿ(associative), ಸಂವಹನ(commutative), ಏಕವಲ್ಲದ(unital), ಮತ್ತು / ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮ(finite-dimensional).ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವು ಮೇಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನ್-ಆರ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ

ಅಂಕಗಣಿತದಂತೆ ಗಣಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಅಕ್ಷರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಂತವು. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಕೊಂಡಿವೆ ಎನ್ನುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಈ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:

$ax^{2}+bx+c=0$

$a,b,c$ಯು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.ಆದರೆ $a$= $0$ ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಹಾಗೂ ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯ $x$ಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರಸಕ್ತ ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನವು ಮೇಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?", "ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?", "ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?" ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು.ಈ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನಾತ್ಮಕ ಗುಣಗಳನ್ನು ನಂತರ ಗುಂಪುಗಳು, ರಿಂಗ್ಸ್(rings), ಮತ್ತು ಫೀಲ್ಡ್ಸ್(fields) ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ೧೬ ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲು ಗಣಿತವನ್ನು ಎರಡು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.ಬಹಳ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು, ಇಂದು ಬೀಜಗಣಿತ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ೧೬ ನೇ ಅಥವಾ ೧೭ ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರವೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.೧೯ ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿದವು, ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿದವು. ಇಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವವರೆಗೂ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೆಳೆದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತ ವಿಷಯ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ (ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು) ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂದು ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಭಾಗ ೦೮-ಜನರಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ೧೨ - ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು, ೧೩ - ಸಾಮುದಾಯಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ, ೧೫ - ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬಹು ರೇಖೀಯ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ; ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ೧೬ - ಅಸೋಸಿಯೇಟೀವ್ ರಿಂಗ್ಗಳು, ೧೭ - ನಾನ್- ಅಸಿಯೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಗಳು ಮತ್ತು ನಾನ್-ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು, ೧೮ -ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ; ಹೋಮಾಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ೧೯ - ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ೨೦ - ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ೧೧ - ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ೧೪ - ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸ

ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪುರಾತನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು, ಇವರು ಮುಂದುವರೆದ ಅಂಕಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವರ್ಗೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಂದು ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ಯುಗದ ಬಹುಪಾಲು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು, ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೧ ನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಮತ್ತು ಚೀನೀ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳಾದ ರೈಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪಪೈರಸ್, ಯುಕ್ಲಿಡ್ಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ದಿ ನೈನ್ ಚಾಪ್ಟರ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಕಲೆ.ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗ್ರೀಕ್ಸ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೆಲಸವು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೀರಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿತ್ತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಮಧ್ಯಯುಗದ ಇಸ್ಲಾಂನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೂ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ. ಪ್ಲೇಟೋನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ತೀವ್ರವಾದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಒಳಗಾಯಿತು. ಗ್ರೀಕರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ(geometric) ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಪದಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ(geometric) ವಸ್ತುಗಳ ಬದಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಲುಗಳು, ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು.ಡಿಯೊಫಾಂಟಸ್ (೩ ನೇ ಶತಮಾನ AD) ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯನ್ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅರಿಥಮೆಟಿಕ(Arithmetica) ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸರಣಿಯ ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದರು.ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗ್ರಂಥಗಳು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಆಧುನಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರಣವಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಹಿಂದಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮುಹಮ್ಮದ್ ಇಬ್ನ್ ಮುಸಾ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (c. ೭೮೦-೮೫೦) ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದೆ.ನಂತರ ಅವರು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಶನ್ ಬೈ ಕಾಂಪ್ಲಿಶನ್ ಅಂಡ್ ಬ್ಯಾಲೆನ್ಸಿಂಗ್( Calculation by Completion and Balancing) ಎಂಬ ದಿ ಕಾಂಪೆಡಿಯಸ್ ಬುಕ್ (The Compendious Book) ಅನ್ನು ಬರೆದರು, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತು ಎಂದು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು.

ಹೆಲೆನಿಸ್ಟಿಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ನಾಯಕ ಮತ್ತು ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ನ ನಾಯಕರು ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನಂತಹ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಡಿಯೊಫಾಂಟಸ್ 'ಅರಿಮೆಟಿಕಾ ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಬ್ರಾಹ್ಮಾಸ್ಫುತುಸಿಧಂತಾ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಪೂರ್ಣವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರ (ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಬ್ರಹ್ಮಸ್ಫುತಿಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. [ಉಲ್ಲೇಖದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ] ನಂತರ, ಪರ್ಷಿಯನ್ ಮತ್ತು ಅರೇಬಿಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಿಯೊಫಾಂಟಸ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಶೇಷ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಅಲ್ ಖವಾರ್ಜ್ಮಿ ಅವರ ಕೊಡುಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿತ್ತು. ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಕೇತ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಹೀಗಾಗಿ ಅವರು ಅನೇಕ ವಿಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು.

ಸಮಭಾಜಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡಿಯೊಫಾಂಟಸ್ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ "ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂದೆ" ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಲ್-ಖವಾರ್ಜ್ಮಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ "ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂದೆ"."ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ" ಯಾರು "ಬೀಜಗಣಿತದ ತಂದೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಧಿಕಾರ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಚರ್ಚೆಯು ಈಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಲ್-ಜಬಾರ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರಿಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅರಿಮೆಟಿಕಾವು ಸಿಂಕ್ಕೋಪೇಟ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್-ಜಬ್ರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ಗೆ ಬೆಂಬಲಿಸುವವರು.

ಮತ್ತೊಂದು ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಒಮರ್ ಖಯ್ಯಾಮ್ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಘನ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.ಬೀಜಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿಳಿಸಿದ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ (೧೦೭೦) ನ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೆಮೊನ್ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಡೆಮೊನ್ಸ್ಟ್ರೇಶನ್ಸ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯುರೋಪ್ಗೆ ಹರಡಲ್ಪಟ್ಟ ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಶಾರಫ್ ಅಲ್-ಡಿನ್ ಅಲ್-ತುಶಿ, ಬೀಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು.ಅವರು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಮಹಾವೀರ ಮತ್ತು ಭಾಸ್ಕರ II, ಪರ್ಷಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಲ್-ಕರಾಜಿ, ಮತ್ತು ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞ ಝು ಶಿಜಿಯವರು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘನ, ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್, ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ೧೩ ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಫಿಬೊನಾಕಿ ಒಂದು ಘನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದೆ. ಅಬು ಅಲ್-ದಾಸನ್ ಇಬ್ನ್ ಅಲಿ ಅಲ್-ಖಲಾಸ್ದಿ (೧೪೧೨-೧೪೮೬) "ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಕೇತಗಳ ಪರಿಚಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಹಂತಗಳನ್ನು".ಅವರು ∑n², ∑n³ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಚದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸತತ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು.ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಪ್ರಪಂಚವು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪ್ರಪಂಚವು ಏರುತ್ತಿತ್ತು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು

ವರ್ಗೀಕರಣ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ತಮ್ಮ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರರು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ: ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

• ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ
• ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಗಳು, ರಿಂಗ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದರಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ,ಸತ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸುಳ್ಳು ಮತ್ತು ಸತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆ.
• ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನ.
• ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದು.
• ಹೋಮಾಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮೂಲಭೂತವಾದ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ.
• ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.
• ಬಹುವಿಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಂತೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅದರ ಪ್ರಾಚೀನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಶಾಖೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ.
• ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಸಂಬಂಧಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ: ಕೆಲವು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟ ಏಕವ್ಯಕ್ತಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪು.
• ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಆಲ್ಜೀಬ್ರ್ರಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತ.

• ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ವರ್ತುಲದ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ವರ್ಗದ ಜೀವಕೋಶಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:
  • ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಅಸೋಸಿಯೇಟೀವ್ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಲೀ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಹಾಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಸಿ * -ಲೇಜೆಬ್ರ.
  • ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಟೆನ್ಸರ್ ಆಕ್ಸಿಜೆರಾ.
  • ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ,
  • ಸಿಗ್ಮಾ-ಬೀಜಗಣಿತ.
  • ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ.
• ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ,
  • F- ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು F- ಕಲ್ಲಿಜೆಬ್ರಾ.
  • ಟಿ-ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ.
• ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ,
  • ಸಂಬಂಧ ಬೀಜಗಣಿತವು, ಒಂದು ಅವಶೇಷವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಎಂಬ ವಿಕಸನದೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು.
  • ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಪೂರಕ ವಿತರಣಾ ಜಾಲ.
  • ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಬೀಜಗಣಿತ

ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದಂತಹ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (+, -, ×, ÷ ನಂತಹ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ (a, n, x, y ಅಥವಾ z ನಂತಹ) ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು

ಪದವಿ 3 ರ ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಕ್ಷೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎನ್ನುವುದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯ-ಅಲ್ಲದ ಪದಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪದವೂ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಏರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಆಗಿದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂಬುದು ಬಹುಮುಖಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಕರ್ಮಟಟಿವಿಟಿ, ಅಸೋಸಿಯಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿ ಪಾಲಿಸಲಾಗದ ಇತರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಗಣನೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ

ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಚಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

• ಸೆಟ್  : ಸೆಟ್ಗಾಗಿ ಗುಣ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ (ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪರಿಚಿತ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಗ್ರಹಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ.ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತರ್ಕದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
• ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ
• ಗುರುತಿನ ಅಂಶ : ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಾಗಿ ಗುರುತಿನ ಅಂಶದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಝೀರೋ ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
• ವಿಲೋಮ ಅಂಶ : ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಲೋಮ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತವೆ.
• ಅಸೋಸಿಯಟಿವಿಟಿ  : ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಅಸೋಸಿಯಟಿವಿಟಿ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಸಂವಹನ : ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡೂ ಸಂವಹನಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಪರಿಣಾಮದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಂಪು

ಒಂದು ಸಮೂಹವು ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಂಶಗಳು ಗುಂಪಿನ ತತ್ತ್ವಗಳನ್ನು ಕರೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ (closure axiom), ಸಹಾಯಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ (Associative Axiom), ಗುರುತಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತ (identity axiom) ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ (inverse axiom).

ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸೆಟ್ 'S' ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ *. ಒಂದು ಗುಂಪು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ:

ಗುರುತಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯ a ಗೆ S, e ∗ a ಮತ್ತು e ∗ a ಎರಡೂ ಒಂದೇ.

ವಿಲೋಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ: S ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರಿಗಾಗಿ, a ∗ a⁻¹ ಮತ್ತು a⁻¹ ∗ a ಎನ್ನುವುದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಂದು ಸದಸ್ಯನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಸಹಾಯಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ: a, b ಮತ್ತು c ಗಳು S ನ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (a ∗ b) ∗ c ಗೆ a ∗ (b ∗ c)ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಗುಂಪು ಸಂವಹನ ಸಿದ್ಧಾಂತ (commutative axiom)ವನ್ನು ಪುರೈಸಿದರೆ - ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸದಸ್ಯರು a ಮತ್ತು b ನ S ಗೆ, * b ವು b * a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಂತರ ಗುಂಪನ್ನು ಅಬೀಲಿಯನ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಿಂಗ್ಸ್ ಮತ್ತು ಫೀಲ್ಡ್

ಗುಂಪುಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು, ಎರಡು ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಚನೆಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದವು ಉಂಗುರಗಳು, ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಎರಡು ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (+) ಮತ್ತು (×), ಜೊತೆಗೆ × ವಿತರಣೆ +. ಮೊದಲ ಆಯೋಜಕರು (+) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಆಪರೇಟರ್ (×) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸಹಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿಭಾಗವು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜಕ (+) ಗುರುತಿನ ಅಂಶವು 0 ಎಂದು ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು -a ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು × 7 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಾತ್ಮಕ (×) ಗುರುತನ್ನು 1 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು a⁻¹ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.