ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ

ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ (ಸಾಂತ) ಸಮೂಹದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದರೆ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಪ್ಯೆರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆಸ್ಟ್). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು (random phenomena) ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು (ಮೌಲ್ಯ ತಿಳಿಯದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು) ಆಧರಿಸಿದ್ದು, ಈ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಮಾಡಿ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೂ ತಿಳಿಯುವುದು ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಇನ್ನೊಂದು. ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ, ದ್ವಿಪದ, ಪ್ಯಾಸಾನ್, ಚಲಘಾತೀಯ ಇವು ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳು.

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆ

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi P}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]{\frac {-\infty <x,\mu <\infty }{0<\sigma <\infty }}$

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ μ ಮತ್ತು σ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳು. ಬತ್ತದ ಹೊಸ ತಳಿಯೊಂದನ್ನು ರೂಢಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೊಸ ತಳಿ ಇದುತನಕವೂ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಳುವರಿ ಕೊಡುತ್ತದೆಯೋ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹೊಸ ತಳಿಯ ಇಳುವರಿ hello (X ಇರಲಿ) ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಅಭಿಗ್ರಹಿಸಿದರೆ μ ಸರಾಸರಿ ಇಳುವರಿ. μ=50 ಹೊಸತಳಿ ಇದುತನಕ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಯಷ್ಟು, μ>50 ಹೊಸತಳಿ ಇದುತನಕ ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದ ತಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಳುವರಿ ಕೊಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳು. ಈ ಎರಡು ಆಧಾರ ಭಾವನೆಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಅನುಮೇಯ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಇನ್‌ಫರೆನ್ಸ್) ಪ್ರತಿ ಚಯವನ್ನು ಆಯ್ದ ನಿಯಮವೊಂದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ಮೇಲೆ ಅವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವ ಆಧಾರಭಾವನೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ನಿಯಮವೇ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಇದು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ ಅದು ಪ್ರಾಚಲೀಯ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ (ವಿತರಣೆ ಮುಕ್ತ).

ಉದಾಹರಣೆ

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ μ ವನ್ನು ಕುರಿತ H:μ=50 ಆಧಾರಭಾವನೆಯನ್ನು K:> μ 50 ಪರ್ಯಾಯ ಆಧಾರಭಾವನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಳಸುವ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. X₁, X₂………X_n, n ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳಾದರೆ (ಅಂದರೆ ಒಂದು ಎಕರೆಯ n ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಬತ್ತದ ಇಳುವರಿಗಳು) ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ

$t={\frac {{\sqrt {n(n-1)}}({\bar {x}}-50)}{\sqrt {\sum \limits _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

ಎಂಬುದರ ಮೌಲ್ಯ t_a ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಆಧಾರಭಾವನೆ H ನ್ನು α-ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಆಧಾರಭಾವನೆ K ಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. t_α ಸಂಧಿಸ್ಥ ಮೌಲ್ಯ (critical value). ಪರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರತಿಚಯವನ್ನು (sample) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. H ನಿಜವಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದು ಮೊದಲನೆಯದು; H ನಿಜವಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದು ಎರಡನೆಯದು. ಈ ಎರಡು ವಿಧದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಬಹಳ ವಿರಳ. ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಅನುಮೇಯದಲ್ಲಿ H ನಿಜವಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಮೊದಲೇ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ α ಕ್ಕಿಂತ (ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟ - significance level) ಜಾಸ್ತಿಯಾಗದಂತೆ ನೋಡಿಕೊಂಡು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಕನಿಷ್ಠತಮವಿರುವಂತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ತತ್ತ್ವ ಬಳಸಿ ಸಂಧಿಸ್ಥಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೋಧಿಸಲಾಗುವುದು. ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸ್ಥಮೌಲ್ಯ t_α ವನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ಶೋಧಿಸಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯೇಕ್ತ ಲಕ್ಷ್ಯಾರ್ಹತೆ ಮಟ್ಟದ ಆಯ್ಕೆ ಮೊದಲನೆಯ ವಿಧದ ತಪ್ಪಿನ ಪರಿಣಾಮದ ತೀವ್ರತೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು (H ನಿಜವಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ) ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಟಿ-ನಿದರ್ಶಜ (t-statistic) H ನಿಜವಿರುವಾಗ (n-1) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳುಳ್ಳ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವಲೋಕನಗಳು ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ.

ಚಲನೀಯ σ² ವನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಕೈ-ವರ್ಗ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಎರಡು ಚಲನೀಯಗಳ ಸಮತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ F-ಪರೀಕ್ಷೆ, ಚಲನೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇವು ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಹೆಚ್ಚು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಕೆಲವು ತರದ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವುಳ್ಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ನೇಮನ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದ ಸಮಪ್ರಾಯಿಕ-ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನೂ (ಲೈಕ್ಲೀಹುಡ್ ರೇಶಿಯೊ ಟೆಸ್ಟ್) ರಚಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ವಿವರಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪ್ರಾಚಲೀಯ. ಇವಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಲೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲೂ ಸುಲಭವಾದ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ (ವಿತರಣಮುಕ್ತ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೂ ಇವೆ. ಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದರೂ ಅಪ್ರಾಚಲೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಕಡಿಮೆ.