ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್

ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (ಡಿಸಿಟಿ ) ಹಲವು ಪರಿಮಿತ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು, ವಿವಿಧ ಪುನರಾವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಯ್ದಾಡುವ ಕೋಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಉಪಯೋಗಗಳಿಗೆ ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಧ್ವನಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಗಳ ಲಾಸಿ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ (ಇಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಅಧಿಕ-ಪುನಾರಾವರ್ತನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು), ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಡಿಫರೆನ್‌ಷಿಯಲ್‌ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ವಕ್ರೀಭವನದ ವಿಧಾನಗಳವರೆಗೆ. ಈ ಉಪಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸೈನ್‌ಗಿಂತಲೂ ಕೋಸೈನ್‌ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಅಡಕ ಮಾಡಲು ಕೋಸೈನ್‌ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ (ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಮಾದರಿ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಅನ್ನು ಹೋಲಲು ಕೆಲವೇ ಸಾಕು), ಆದರೆ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳು ಡಿಫರೆನ್‌ಷಿಯಲ್‌ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಡಿಸಿಟಿಯು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಫೋರಿಯರ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (ಡಿಎಫ್‌ಟಿ)ಗೆ ಸಮನಾದ ಫೋರಿಯರ್‌-ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾರ್ಪಾಡು, ಆದರೆ ಕೇವಲ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸಿಟಿಗಳು ತಮ್ಮ ಉದ್ದದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಇರುವ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಮ ಸಮರೂಪತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಾಸ್ತವಿಕ ಡೇಟಾಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸಮಾಡುತ್ತದೆ (ಒಂದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಸಮ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು ಕೂಡ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಸಮ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ), ಆದರೆ ಕೆಲವು ವೇರಿಯಂಟ್‌(ವ್ಯತ್ಯಯಗಳು)ಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಬರುವ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಹೊರಹೋಗುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮಾದರಿಯ ಅರ್ಧದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಉತ್ತಮ ದರ್ಜೆಯ ಎಂಟು ಡಿಸಿಟಿ ವೇರಿಯಂಟ್‌ಗಳು ಇವೆ, ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇರಿಯಂಟ್‌ ಎಂದರೆ IIನೇ ವಿಧದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಸರಳವಾಗಿ "ದ ಡಿಸಿಟಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ್ದು, IIIನೇ ವಿಧದ ಡಿಸಿಟಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ದ ಇನ್ವರ್ಸ್‌(ವಿರುದ್ಧ) ಡಿಸಿಟಿ" ಅಥವಾ "ದ ಐಡಿಸಿಟಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳೆಂದರೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (ಡಿಎಸ್‌ಟಿ), ಇದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾದದ್ದು, ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (ಎಂಡಿಸಿಟಿ), ಇದು ಮೇಲ್ಚಾಚಿ ದ ಡೇಟಾ ಡಿಸಿಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು.

ಉಪಯೋಗಗಳು

ಡಿಸಿಟಿ, ಅದರಲ್ಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಡಿಸಿಟಿ-IIಅನ್ನು ಸಿಗ್ನಲ್‌ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಸಿ ಡೇಟಾ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ "ಶಕ್ತಿ ಅಡಕ" ಮಾಡುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಿದೆ (ರಾವ್‌ ಮತ್ತು ಯಿಪ್‌, 1990): ಬಹುತೇಕ ಸಿಗ್ನಲ್‌ ಮಾಹಿತಿಯು ಡಿಸಿಟಿಯ ಕೆಲವು ಕನಿಷ್ಠ-ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಕೊವ್‌ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಮಿತಿ ಆಧಾರಿತ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಹುನೆನ್‌-ಲೋಯೆವ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತ ಏಕಾಗ್ರವಾಗುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು ಡಿಕಾರಿಲೇಷನ್‌ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ). ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಕೊಸೈನ್‌ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅವ್ಯಕ್ತವಾದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಇನ್‌ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ನ (ಮೇಲಿನ) ಡಿಎಫ್‌ಟಿ (ಮಧ್ಯದ) ಗೆ ಡಿಸಿಟಿ-II (ಕೆಳಗಿನದು) ಯ ಹೋಲಿಕೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾರ್ಪಾಡು, ಬದಲಾಯಿಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು, ಅಥವ ಎಂಡಿಸಿಟಿಯನ್ನು (ಡಿಸಿಟಿ-IV ಆಧಾರಿತ), ಎಎಸಿ, ವೊರ್ಮಿಸ್‌, ಡಬ್ಲ್ಯೂಎಂಎ, ಮತ್ತು ಎಂಪಿತ್ರೀ ಧ್ವನಿ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಡಿಫರೆನ್‌ಷಿಯಲ್‌ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಕ್ರೀಭವನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಡಿಸಿಟಿಯ ವಿವಿಧ ವೇರಿಯಂಟ್‌ಗಳು, ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾದ ಸಮ/ಬೆಸ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯೂಹದ ಎರಡು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂವಾದಿಸುತ್ತವೆ.

ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಚೆಬಿಶೆವ್‌ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ಸ್‌ಗೆ ಕೂಡ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಿವೆ, ಮತ್ತು ವೇಗದ ಡಿಸಿಟಿ ಸೂಚನಾಸರಣಿಗಳನ್ನು (ಕೆಳಗೆ) ಚೆಬಿಶೆವ್‌ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್‌ ಸರಣಿಗಳು ನಿರಂಕುಶ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳ ಚೆಬಿಶೆವ್‌ ಸರಿಸುಮಾರುವಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ಲೆನ್‌ಷಾ–ಕರ್ಟಿಸ್‌ ಕ್ವಾಡ್ರಾಚರ್‌.

ಜೆಪಿಇಜಿ ಅಥವಾ ಜೇಪೆಗ್‌

Main article: JPEG: Discrete cosine transform

ಡಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಜೇಪೆಗ್‌ ಚಿತ್ರ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಎಂಜೆಪಿಇಜಿ, ಎಂಪಿಇಜಿ, ಡಿವಿ, ಮತ್ತು ಥಿಯೊರ ವಿಡಿಯೋ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ, ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿ-IIರ $N\times N$ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟೈಸ್‌ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂಟ್ರೋಪಿಯನ್ನು ಕೋಡ್‌ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $N$ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 8 ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿಸಿಟಿ-II ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲು ಮತ್ತು ಉದ್ದಸಾಲಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ 8 × 8 ಮಾರ್ಪಾಡಿನ ಗುಣಾಂಕ ರಚನೆ, ಇದರಲ್ಲಿ $(0,0)$ ಭಾಗವು (ಮೇಲಿನ-ಎಡಭಾಗ) ಡಿಸಿ (ಶೂನ್ಯ-ಪುನರಾವರ್ತನ) ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಸೂಚಿಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹಿರಿಯ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಸ್ಪೇಷಿಯಲ್‌ ಪುನರಾವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಸ್ಥೂಲಪರಿಚಯ

ಯಾವುದೇ ಫೋರಿಯರ್‌-ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾರ್ಪಾಡಿನಂತೆ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು (ಡಿಸಿಟಿಗಳು) ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯವನ್ನು ಅಥವ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪುನರಾವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿನುಸಾಯ್ಡ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀ‍ಟ್‌ ಫೋರಿಯರ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ (ಡಿಎಫ್‌ಟಿ)ನಂತೆ, ಒಂದು ಡಿಸಿಟಿಯು ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಡಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ನಡುವಣ ಇರುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಕೇವಲ ಕೋಸೈನ್‌ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಕೊಸೈನ್‌ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್‌ಷಿಯಲ್ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾಣುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇವಲ ಆಳವಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಷ್ಟೇ: ಒಂದು ಡಿಸಿಟಿಯು ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿಗಿಂತ ಬೇರೆಯದೇ ಆದ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಿತ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಫೋರಿಯರ್‌ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ಅಥವಾ ಡಿಸಿಟಿ ಅಥವಾ ಫೋರಿಯರ್‌ ಸರಣಿಯನ್ನು, ಆ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಹೊರಗಡೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ವಿಸ್ತೃತಿ ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಒಮ್ಮೆ ನೀವು $f(x)$ ಸಿನುಸಾಯ್ಡ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದಂತೆ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯವನ್ನು ಬರೆದ ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ $x$ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಮೂಲದಲ್ಲಿ $f(x)$ ಹೇಳಿರದ $x$ಗಳಿಗೂ ಕೂಡ. ಡಿಎಫ್‌ಟಿ, ಫೋರಿಯರ್‌ ಸರಣಿಯಂತೆ, ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಕಾಲಿಕವಿಸ್ತೃತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸಿಟಿಯು, ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡಿನಂತೆ, ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಸಮ ವಿಸ್ತೃತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

N=11 ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ (ಕೆಂಪು ಬಿಂದುಗಳು), ಡಿಸಿಟಿ (ಪ್ರಕಾರಗಳು I-IV)ಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ೪ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಡಿಸಿಟಿ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾದ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಸರಿ/ಬೆಸ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಚಿತ್ರಣ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಪರಿಮಿತ , ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸರಣಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಿರಂತರ ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸದ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು, ಡೊಮೇನ್‌ನ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ, ಎರಡೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನ ವಾಕ್ಯವು ಸಮವೋ ಅಥವಾ ಬೆಸವೋ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಬೇಕು (ಅಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ-n ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ-n ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಬೇಕು. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಸಮ-ಅಂತರಗಳುಳ್ಳ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಾದ ಎಬಿಸಿಡಿ ಎನ್ನುವ ಎಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮ ಎಡ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡು ವಿವೇಚನೀಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ: ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ a ನ ಬಗೆಗೆ ಡೇಟಾ ಸಮವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮ ವಿಸ್ತೃತಿಯು dcbabcd ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ a ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯ ದಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮ ವಿಸ್ತೃತಿಯು dcbaabcd ಆಗಿರುತ್ತದೆ (a ಪುನರಾವೃತವಾಗಿದೆ).

ಈ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ (ಡಿಎಸ್‌ಟಿಗಳ) ಎಲ್ಲ ಸ್ಥಾಯಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಮಿತಿಯು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಆಗಿರಬಹುದು (ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು) ಮತ್ತು ಒಂದು ಡೇಟಾ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅಥವಾ ಎರಡು ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು (ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು), ಒಟ್ಟಾರೆ $2\times 2\times 2\times 2=16$ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿಗೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು, ಎಡ ಪರಿಮಿತಿಯು ಸಮವಾಗಿರುವವು ಡಿಸಿಟಿಯ 8 ವಿಧಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗುತ್ತದೆ; ಉಳಿದರ್ಧ ಡಿಎಸ್‌ಟಿಯ 8 ವಿಧಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಈ ವಿವಿಧ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ ಉಪಯೋಗದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಡಿಸಿಟಿ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ನೇರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಡಿಫರೆನ್‌ಷಿಯಲ್‌ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಕ್ರೀಭವನದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಫೋರಿಯರ್‌ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಭಾಗವೆಂದೇ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ, ಎಂಡಿಸಿಟಿಗೆ (ಡಿಸಿಟಿ-IV ಆಧಾರಿತ), ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಎಂಡಿಸಿಟಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾದ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್‌ aliasing cancellationನೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇನ್ನೂ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಧ್ವನಿ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ "ಶಕ್ತಿ ಅಡಕ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೇ ಕಾರಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಫೋರಿಯರ್‌-ತರಹದ ಸರಣಿಯ ಏಕಾಭಿಮುಖವಾಗುವ ವೇಗದ ಮೇಲೆ ಅವು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಡುವುಗಳು ಫೋರಿಯರ್‌ ಸರಣಿಯ ಏಕಾಭಿಮುಖವಾಗುವ ವೇಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಖಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಧಿಕ ಸಿನುಸಾಯ್ಡ್‌ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ ಸಿಗ್ನಲ್‌ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಇದೇ ತತ್ತ್ವ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯ ಸರಳವಾದಷ್ಟೂ, ಅದನ್ನು ಖಚಿತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ಅಥವಾ ಡಿಸಿಟಿಯ ಪದಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಡಕ ಮಾಡಬಹುದು. (ಇಲ್ಲಿ, ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ಅಥವಾ ಡಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್‌ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಕೋಸೈನ್‌‍ ಸರಣಿಯ ಸರಿಸುಮಾರು ಮೌಲ್ಯವೆಂದಷ್ಟೇ ಯೋಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ "ಸರಳತೆ"ಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬೇಕಾದಾಗ.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯ ಅವ್ಯಕ್ತ ಸಾಮಯಿಕತೆಯ ಅರ್ಥ ಬಿಡುವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು: ಯಾವುದೇ ಸಿಗ್ನಲ್‌ ಭಾಗವು ತನ್ನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲದ ಪರಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಸಂಭವನೀಯ. (ಡಿಎಸ್‌ಟಿಗೂ ಇಂಥದ್ದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯ ಪರಿಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ಆಗದಿದ್ದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ, ಆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ಬಿಡುವು ಎಂದು ಬೆಸ ಎಡ ಪರಿಮಿತಿಯು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ.) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಸಮನಾದಾಗ ಡಿಸಿಟಿಯುಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇಳಿಜಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಡುವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಇದರಿಂದಲೇ ಡಿಸಿಟಿಗಳು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ I, II, V, ಮತ್ತು VIನೇ ವಿಧದ ಡಿಸಿಟಿಗಳು (ಎರಡು ಸಮ ಪರಿಮಿತಿ ಇರುವ ವಿಧಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಎಫ್‌ಟಿ ಮತ್ತು ಡಿಎಸ್‌ಟಿಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಿಗ್ನಲ್‌ ಅಡಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ, ಇಂತಹ ಉಪಯೋಗಗಳಿಗೆ ವಿಧ-II ಡಿಸಿಟಿಯನ್ನೇ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗಿನ ಅನುಕೂಲವು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ.

ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌‍ ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು ಒಂದು ಏಕಮುಖ, ತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯ F(ಎಫ್)  : R(ಆರ್‌) ^{N(ಎನ್‌)} -> R‌ ^N (ಇಲ್ಲಿ R ಎನ್ನುವುದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ಅಥವಾ ಒಂದು ತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ N × N ವರ್ಗ ಮಾತೃಕೆಗೆ ಸಮ. ಡಿಸಿಟಿಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆ ಹೊಂದಿದ ಹಲವು ವ್ಯತ್ಯಯಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ N ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x ₀, ..., x _{N -1} N ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ X ₀, ..., X _{N -1}:

ಡಿಸಿಟಿ-I

$X_{k}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{k}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N-1}}nk\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

ಕೆಲವು ಬರಹಗಾರರು x ₀ ಮತ್ತು x _{N -1}ಅನ್ನು 1√2ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ X ₀ ಮತ್ತು X _{N -1}ಗಳನ್ನು 1/√2ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ${\sqrt {2/(N-1)}}$ ಎಂಬ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶದಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಡಿಸಿಟಿ-I ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ಆಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಸಂವಾದವನ್ನು ಕಡಿದುಬಿಡುತ್ತದೆ.

ಡಿಸಿಟಿ-I (ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶ 2ರವರೆಗೆ), $2N-2$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮ ಸಮಮಿತಿಯ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗೆ ತದ್ವತ್‌ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, N =5 ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ abcde(ಎಬಿಸಿಡಿಇ) ಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಡಿಸಿಟಿ-I, ಎಂಟು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ abcdedcb(ಎಬಿಸಿಡಿಇಡಿಸಿಬಿ) ಯನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗೆ ತದ್ವತ್‌ ಸಮ (ಸಮ ಮಿತಿಯೂ ಸಹ). (ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, II-IV ವಿಧದ ಡಿಸಿಟಿಗಳು ತದ್ವತ್‌ ಸಮವಾದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ ಅನ್ನು ವರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.)

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಿಸಿಟಿ-Iಅನ್ನು 2ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯ N ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. (ಬೇರೆಲ್ಲ ಡಿಸಿಟಿ ವಿಧಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಅಧಿಕ N ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಿಸಿಟಿ-I ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗುತ್ತದೆ: x _n ಯು n =0ನ ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n =N -1ನ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮವಾಗಿದೆ; ಹಾಗೆಯೇ X _k ಕ್ಕೂ.

ಡಿಸಿಟಿ-II

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)k\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

ಡಿಸಿಟಿ-II ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ರೂಪ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಕೇವಲ "ಡಿಸಿಟಿ" ಎಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಮಾರ್ಪಾಡು, $4N$ ವಾಸ್ತವ ಒಳಹರಿವಿನ ಸಮ ಸಮಮಿತಿಯ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗೆ (ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶ 2ರವರೆಗೆ) ತದ್ವತ್‌ ಸಮವಾದದ್ದು, ಸಮ-ಸೂಚಿಕೆ ಅಂಶಗಳು ಸೊನ್ನೆ ಇದ್ದಾಗ. ಅಂದರೆ, ಇದು $y_{n}$ ಒಳಹರಿವಿನ $4N$ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯ ಅರ್ಧ, ಇಲ್ಲಿ $0\leq n$ಕ್ಕೆ $y_{2n}=0$, $y_{2n+1}=x_{n}$, ಮತ್ತು $0$ಕ್ಕೆ $y_{4N-n}=y_{n}$.

ಕೆಲವು ಬರಹಗಾರರು X ₀ಅನ್ನು 1/√2ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಬಂದ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶ ${\sqrt {2/N}}$ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ (see below for the corresponding change in ಡಿಸಿಟಿ-IIIರಲ್ಲಿಯ ಸಂವಾದಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಇದು ಡಿಸಿಟಿ-II ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ಆಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅರ್ಧ ವರ್ಗವಾದ ಒಳಹರಿವಿನ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯ ಜೊತೆಗಿನ ನೇರ ಸಂವಾದವನ್ನು ಕಡಿದುಬಿಡುತ್ತದೆ.

ಡಿಸಿಟಿ-IIರ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ: x _n n =-1/2 ಮತ್ತು n =N -1/2ರ ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ; X _k k =0 ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು k =N ಸುತ್ತ ಬೆಸ ಆಗಿದೆ.

ಡಿಸಿಟಿ-III

$X_{k}={\frac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}n\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಡಿಸಿಟಿ-IIಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧಬಾದದ್ದು (ಒಂದು ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶದವರೆಗೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ), ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೇವಲ "ಇನ್ವರ್ಸ್‌ ಡಿಸಿಟಿ" ("Iಡಿಸಿಟಿ"-ಐಡಿಸಿಟಿ) ಎಂದಷ್ಟೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಬರಹಗಾರರು x ₀ಅನ್ನು √2ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಬಂದ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶ ${\sqrt {2/N}}$ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ (ಡಿಸಿಟಿ-IIರಿಂದಾಗುವ ಸಂವಾದಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೋಡಿ), ಇದರಿಂದ ಡಿಸಿಟಿ-II ಮತ್ತು ಡಿಸಿಟಿ-III ಒಂದನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಡಿಸಿಟಿ-III ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ಆಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅರ್ಧ ವರ್ಗವಾದ ಹೊರಹರಿವಿನ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯೊಂದಿಗಿನ ನೇರ ಸಂವಾದವನ್ನು ಕಡಿದುಬಿಡುತ್ತದೆ.

ಡಿಸಿಟಿ-IIIರ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ: x _n n =0ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n =N ನ ಸುತ್ತ ಬೆಸವಾಗಿದೆ; X _k k =-1/2ನ ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು k =N -1/೨ ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ.

ಡಿಸಿಟಿ-IV

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

ಡಿಸಿಟಿ-IV ಮಾತೃಕೆಯು, ಒಟ್ಟಾರೆ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶ ${\sqrt {2/N}}$ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ ಆಗುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್‌ ಆಗಿದ್ದು, ತನ್ನದೇ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ).

ಡಿಸಿಟಿ-IVರ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯವೆಂದರೆ, ವಿವಿಧ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿಂದ ಬಂದ ಡೇಟಾಗಳು ಮೇಲ್ಚಾಚಿದಾಗ ಆಗುವುದು, ಇದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (Mಡಿಸಿಟಿ-ಎಂಡಿಸಿಟಿ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಮಾಲ್ವಾರ್‌, 1992).

ಡಿಸಿಟಿ-IVರ ಪರಿಮಿತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೆಂದರೆ: x _n n =-1/2 ಸುತ್ತ ಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n =N -1/2 ಸುತ್ತ ಬೆಸವಾಗಿದೆ; ಹಾಗೆಯೇX _k ಕ್ಕೂ.

ಡಿಸಿಟಿ V-VIII

I-IVರವರೆಗಿನ ಡಿಸಿಟಿ ವಿಧಗಳು ಸಮ-ಕ್ರಮದ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಿಗೆ ಸಮ ((0}N ಎಂಬುದು ಸರಿಯೋ ಅಥವಾ ಬೆಸವೋ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಸಂವಾದಿ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯ ಉದ್ದ 2(N −1) (ಡಿಸಿಟಿ-Iಕ್ಕೆ) ಅಥವಾ 4N (ಡಿಸಿಟಿ-II/IIIಕ್ಕೆ) ಅಥವಾ 8N (ಡಿಸಿಟಿ-VIIIಕ್ಕೆ) ಇರುವುದರಿಂದ. ತತ್ತ್ವಶಃ‌, ನಾಲ್ಕು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಧದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿವೆ (ಮಾರ್ಟುಕಿ, 1994), ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಡಿಎಪ್ಗ್‌ಟಿಗಳು ಕೋಸೈನ್‌ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ N ±½ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ, I-IVರ ವಿಧದ ಡಿಸಿಟಿಗಳು, ಎರಡು ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಮಧ್ಯದ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ/ಬೆಸ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. V-VIIIರ ವಿಧದ ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿಯ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅಥವಾ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಮಿತಿಯ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲಿಯ ಎರಡು ಡೇಟಾ ಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮ/ಬೆಸ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಬಹಳ ಅಪರೂಪ. ಬಹುಶಃ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೆಸ-ಆಯಾಮದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಸಮ-ಆಯಾಮದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗಿಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌-2 ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಕೇವಲ ಸಮ-ಆಯಾಮದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ), ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಹೆಚ್ಚಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯು, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಹಾಗೆ ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ದಾರಿ ತಪ್ಪಿಸಿಬಿಡುತ್ತದೆ.

(ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ರಚನೆಯು, a ಎಂಬ ಏಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿ (ಬೆಸ ಆಯಾಮ), N =1 ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿ-Vಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗುತ್ತದೆ.)

ಇನ್ವರ್ಸ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು (ವಿರುದ್ಧ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳು)

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರಕಾರ, ಡಿಸಿಟಿ-Iನ್ನು 2/(N -1)ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಡಿಸಿಟಿ-Iರ ವಿರುದ್ಧ ಆಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸಿಟಿ-IVನ್ನು 2/N ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಡಿಸಿಟಿ-IVರ ವಿರುದ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸಿಟಿ-III ನ್ನು 2/N ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಡಿಸಿಟಿ-IIರ ವಿರುದ್ಧ ಆಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಇದರ ತಿರುಗು ಮುರುಗು ಕೂಡ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರಾವ್‌ ಅಂಡ್‌ ಯಿಪ್‌, 1990 ನೋಡಿ‍.)

ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯಂತೆ, ಈ ಮಾರ್ಪಾಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಮುಂದೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಅಂಸವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಾರ್ಗ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವರ್ತನೆಗಳ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಬರಹಗಾರರು ${\sqrt {2/N}}$ಯಿಂದ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿರುದ್ಧಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಕಾರ ಅಂಶವು ಬೇಕಾಗದೇ ಇರಲಿ ಎಂದು. √2 ನ ಸರಿಯಾದ ಭಾಜಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ), ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ಆಗಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಬಹುಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಗಳು

ವಿವಿಧ ಡಿಸಿಟಿ ವಿಧಗಳ ಬಹುಆಯಾಮದ ವ್ಯತ್ಯಯಗಳು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನೇ ನೇರವಾಗಿ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ: ಅವು ಕೇವಲ ಒಂದೊಂದು ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪತ್ತಿಗಳು (ಸಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೃಷ್ಟಿ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಚಿತ್ರ ಅಥವಾ ಮಾತೃಕೆಯ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿ-II ಕೇವಲ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿ-II, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೊದಲು ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿ ಆನಂತರ ಲಂಬಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ತಿರುಗು ಮುರುಗು). ಅಂದರೆ, 2 ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿ-IIನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು (ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಇತರ ಸ್ಕೇಲ್‌ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ):

$X_{k_{1},k_{2}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right].$

ಎರಡು-ಆಯಾಮಗಳ ಡಿಸಿಟಿ

ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡು- (ಅಥವಾ ಬಹು-) ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಯ ಸರಣಿಗಳಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಹಾಕುವುದಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಸಾಲು-ಲಂಬಸಾಲು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಎಂದು ಹೆಸರು (ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದ ನಂತರ). ಬಹುಆಯಾಮದ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಹಾಗೆ, ಆದರೆ, ಬೇರೆಯೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಿರುವಾಗ ಅದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ (ಅಂದರೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಆಯಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು/ಜೋಡಿಸುವುದು).

ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಯ ವಿರುದ್ಧವೆಂದರೆ, ಸಂವಾದಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿರುದ್ಧ(ಗಳ)ದ ಉತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಮ್ಮೆಗೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ’ಅಡ್ಡಸಾಲು-ಲಂಬಸಾಲು’ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಿರುದ್ಧಗಳು.

ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಚಿತ್ರವು, ಒಂದು 8 x 8 ($N_{1}=N_{2}=8$) ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಡಿಸಿಟಿಯ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಪುನರಾವರ್ತನಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೆಜ್ಜೆಗೂ ಪುನರಾವರ್ತನವು 1/2 ಚಕ್ರದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮೇಲಿನ-ಎಡ ಚೌಕವು ಅಡ್ಡ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ-ಚಕ್ರದಷ್ಟು ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾರಿ ಮುಂದುವರೆದರೆ ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಚಕ್ರದಷ್ಟು ಏರಿಕೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಕೆಳಗೆ ಬಂದರೆ ಅಡ್ಡಕ್ಕೆ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಚಕ್ರದಷ್ಟು ಏರಿಕೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ಚಕ್ರದಷ್ಟು ಏರಿಕೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಆಕರ ಡೇಟಾವನ್ನು (8x8) ಈ 64 ಪುನರಾವರ್ತನ ಚೌಕಗಳ ಏಕಮುಖ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ಕಂಪ್ಯೂಟೇಷನ್)

ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ನೇರ ಅನ್ವಯ ಮಾಡಲು O(N ²) ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುವುದಾದರೂ, ಕೇವಲ O(N log N ) ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದಲೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯ, ವೇಗದ ಫೋರಿಯರ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ (ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ) ಹಾಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ-ಹಂತ ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ಹಂತದ ನಂತರ O(N )ನೊಂದಿಗಿನ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಗಳ ಮೂಲಕ ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ, ಡಿಸಿಟಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ O(N ಲಾಗ್‌ N ) ವಿಧಾನಗಳು ವೇಗದ ಕೋಸೈನ್‌ ಮಾರ್ಪಾಡು (ಎಫ್‌ಸಿಟಿ) ಕ್ರಮಾವಳಿ ಎಂದು ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ.

ತತ್ತ್ವಶಃ, ಅತ್ಯಂತ ಸಮರ್ಥ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳೆಂದರೆ ನೇರವಾಗಿ ಡಿಸಿಟಿಗಳಿಗೇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ತಯಾರಾದವು, O(N ) ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯ ಬದಲು (ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಪವಾದವಿದೆ, ವಿವರಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, "ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ತಯಾರಾದ" ಡಿಸಿಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು (ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿ, ಕನಿಷ್ಠ power-of-two sizesಗಳಿಗೆ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಫ್‍ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತವೆ—ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಸಿಟಿಗಳು ಮೂಲತಃ ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡೇಟಾದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿ, ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವುದರಿಂದ ಒಂದು ವೇಗದ ಡಿಸಿಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕೂಡ ಮಾಡಬಹುದು (ಫ್ರಿಗೊ ಅಂಡ್‌ ಜಾನ್‌ಸನ್‌, 2005). ಕೂಲಿ–ಟ್ಯೂಕಿ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಮವಾಳಿಗಳು ಸರ್ವೇ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಆದರೆ ಬೇರೆಯ ಯಾವುದೇ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿನೋಗ್ರಾಡ್‌ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳ ಕನಿಷ್ಠ-ಗುಣಾಕಾರದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಧಿಕ ಹೆಚ್ಚುವರಿಗಳಾಗುವ ಮೂಲಕ; ಡಿಸಿಟಿಗಳಿಗೆ ಇಂಥದ್ದೇ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಫೇಗ್‌ ಮತ್ತು ವಿನೋಗ್ರಾಡ್‌ (1992) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದರು. ಏಕೆಂದರೆ, ಡಿಎಫ್‌ಟಿ, ಡಿಸಿಟಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಹತ್ತಿರದ ’ಸಂಬಂಧಿ’ಗಳು. ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪಾಡಿಗೆ ಮಾಡುವ ಸುಧಾರಣೆಯು ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಿಗೂ ಲಾಭವಾಗುತ್ತದೆ (ದುಹಾಮೆಲ್‌ ಮತ್ತು ವೆಟ್ಟೆರ್‌ಲೀ, 1990).

ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಯಾರಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಡಿಸಿಟಿ‌ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಬದಲಾಯಿಸದ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಡಿಸಿಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇವಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಪಯೋಗವಿದೆ: ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಎಫ್‍ಎಫ್‌ಟಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ, ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದ N ಗೆ ಅಧಿಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. (ಆಧುನಿಕ ಯಂತ್ರಾಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯಾ ಗಣನೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್‌ಗೆ ದೃಢವಾದ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ ಶ್ರಮವೂ ಬೇಕು.) ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಯಾರಾದ ಡಿಸಿಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಸಣ್ಣ, ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $8\times 8$ ಜೇಪೆಗ್‌ ಅಡಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಡಿಸಿಟಿ-II, ಅಥವಾ ಧ್ವನಿ ಅಡಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಸಣ್ಣ ಡಿಸಿಟಿಗಳು (ಅಥವಾ ಎಂಡಿಸಿಟಿಗಳು). (ಎಂಬೆಡೆಡ್‌-ಸಾಧನ ಉಪಯೋಗಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಯಾರಾದ ಡಿಸಿಟಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಕೋಡ್‌ನ ಗಾತ್ರ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದೂ ಒಂದು ಕಾರಣ.)

ಸತ್ಯವೇನೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಡಿಸಿಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳೂ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವ ಸಮಮಿತಿ ಡೇಟಾದ ದೊಡ್ಡ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಖ್ಯಾ ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಐಚ್ಛಿಕ ಕೂಡ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಧ-II ಡಿಸಿಟಿಯು $4N$ಗಾತ್ರದ, ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಸಮಮಿತಿಯ, ಸಮ-ಸೂಚಿಕೆ ಅಂಶಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಾದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗೆ ಸಮ. ಇದನ್ನು ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ FFTPACK (ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಪ್ಯಾಕ್‌) ಮತ್ತು FFTW (ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಡಬ್ಲ್ಯೂ)ನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ವಿಧಗಳು) ವಿವರಿಸಿದವರು ನರಸಿಂಹ ಮತ್ತು ಪೀಟರ್‌ಸನ್‌ (1978) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್‌ಹೋಲ್‌ (1980), ಮತ್ತು ಹಿನ್ನೋಟಕ್ಕೆ ಡಿಸಿಟಿ-IIಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ "ತಾರ್ಕಿಕ" ವಾಸ್ತವ-ಸಮ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗೆ ಬಳಸಿದ ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌-4 ಡೆಸಿಮೇಷನ್‌-ಇನ್‌-ಟೈಮ್‌‍ ಕೂಲಿ-ಟ್ಯೂಕಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಒಂದು ಹಂತವೆಂಬಂತೆ ನೋಡಬಹುದು.ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌-4 ಹಂತವು $4N$ ಗಾತ್ರದ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನು -$N$ ನಾಲ್ಕು ಗಾತ್ರದ, ವಾಸ್ತವ ಡೇಟಾ ಡಿಎಫ್‌ಟಿಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಿಬಿಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮ ಸಮಿಮಿತಿಯಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮ, ಆದ್ದರಿಂದ -$N$ಗಾತ್ರದ $O(N)$ ಬಟರ್‌ಫ್ಲೈಸ್‌.ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಾಸ್ತವ ಡೇಟಾದ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.) ಸಮ-ಸೂಚಿಕೆಯ ಅಂಶಗಳು ಸೊನ್ನೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌-4 ಹಂತವು ಸ್ಪ್ಲಿಟ್‌-ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನ; ಸ್ಪ್ಲಿಟ್‌-ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌‍ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದಲೇ, ಮುಂದಿನ ಗಾತ್ರ-$N$ಯ ವಾಸ್ತವ-ಡೇಟಾ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಯನ್ನೂ ಸಹ ಮಾಡಿದರೆ (ಸೋರೇನ್ಸೆನ್‌ ಎಟ್‌ ಆಲ್‌.ನಂತೆ, 1987), ಪರಿಣಮಿಸುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು power-of-two ಡಿಸಿಟಿ-IIಕ್ಕೆ ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ’ಪ್ರಕಟಿತ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯಾಗಣನೆ’ ಎನಿಸಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮವಾಗುತ್ತದೆ ($2N\log _{2}N-N+2$ವಾಸ್ತವ-ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯಗಳು). ಹಾಗಾಗಿ, ಡಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಎಫ್‍ಎಫ್‌ಟಿ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯಾ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತಪ್ಪಿಲ್ಲ — ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಕೇವಲ ಸಂವಾದಿ ಎಫ್‍ಎಫ್‌ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಮಾತ್ರ. (ವ್ಯಾವಹಾರಿಕವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿ ನಿಯತಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾಡವ ಕಾರ್ಯ-ಮೇಲ್ವೆಚ್ಚವು ಸಣ್ಣ $N$ಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ವಹಣೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಅನ್‌ರಾಲಿಂಗ್‌/ಇನ್‌ಲೈನಿಂಗ್‌ ಮೂಲಕವೂ ಮಾಡಬಹುದು.)

ಆಕರಗಳು

• ಎನ್. ಅಹಮ್ಮದ್, ಟಿ. ನಟರಾಜನ್, ಮತ್ತು ಕೆ. ಆರ್.ರಾವ್, "ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪಾರ್ಮ್", IEEE ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಸ್ , 90-93, ಜನವರಿ 1974.
• ಎನ್. ಅಹಮ್ಮದ್, ಹೌ ಐ ಕೇಮ್ ಅಪ್ ವಿತ್ ದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್", ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ , ಆವೃತ್ತಿ. 1, ಪು.4-5 (1991).
• ಡಬ್ಲೂ.-ಎಹ್. ಚೆನ್, ಸಿ. ಎಹ್. ಸ್ಮಿತ್, ಮತ್ತು ಎಸ್. ಫ್ರಾಲಿಕ್, “ಎ ಫಾಸ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಯುಟೇಶನಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಫಾರ‍್ ದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್", IEEE ಟ್ರಾನ್ಸ್.ಆನ್ ಕಮ್ಯೂನಿಕೇಶನ್ಸ್ 25 , 1004–1009, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1977.
• ಎಮ್. ಜೆ. ನರಸಿಂಹ ಮತ್ತು ಎ. ಎ‌ಎಮ್. ಪೀಟರ್‌ಸನ್, " ಆನ್ ದ ಕಾಂಪ್ಯುಟೇಶನ್ ಆಫ್ ದ ಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್," ಈಏಏಏ ಟ್ರಾನ್ಸ್. Commun. 26 (6), ಪು. 934–936 (1978).
• ವಾಯ್. ಅರಾಯ್, ಟಿ. ಅಗುಯ್, ಮತ್ತು ಎಮ್. ನಕಜಿಮಾ, "ಎ ಫಾಸ್ಟ್ ಡಿಸಿಟಿ-ಎಸ್‌ಕ್ಯೂ ಸ್ಕೀಮ್ ಫಾರ್ ಇಮೇಜಸ್," ಟ್ರಾನ್ಸ್.IEICE 71 (11), 1095–1097 (1988).
• ಪಿ. ದುಹಮೆಲ್ ಮತ್ತು ಎಮ್. ವೆಟ್ಟರ್ಲಿ, "ಫಾಸ್ಟ್ ಪೌರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮರ್: ಎ ಟ್ಯೂಟೋರಿಯಲ್ ರಿವ್ಯೂ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ಎ ಸ್ಟೇಟ್ ಆಫ್ ದ ಆರ್ಟ್" ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ 19 , 259–299 (1990).
• ಇ. ಫೆಗ್, ಎಸ್. ವಿನೋಗ್ರಾಡ್. "ಫಾಸ್ಟ್ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್ ಫಾರ್ ದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್," IEEE ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಶನ್ಸ್ ಆನ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ 40 (9), 2174-2193 (1992).
• ಎಮ್. ಫ್ರಿಗೋ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಗಿ. ಜಾನ್ಸನ್, "Tದ ಡಿಸೈನ್ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ಇಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಎಫ್‌ಎಫ್‌ಟಿಡ್ಲ್ಯೂ3," ಪ್ರೊಸಿಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದ IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
• ಜಾನ್ ಮಕೌಲ್, "ಎ ಫಾಸ್ಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಇನ್ ಒನ್ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ಟು ಡೈಮೆನ್ಶನ್," IEEE Trans. Acoust. Speech Sig. Proc. 28 (1), 27-34 (1980).
• ಎಸ್. ಎ. ಮಾರ್ಕುಸಿ, "ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕನ್ವೊಲ್ಶನ್ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸೈನ್ ಆ‍ಯ್‌ಂ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ಸ್," IEEE Trans. Sig. ಪ್ರೋಸೆಸಿಂಗ್ SP-42 , 1038-1051 (1994).
• ಎ. ವಿ. ಒಪ್ಪೆನ್‌‍ಹೇಮ್, ಆರ್. ಡ್ಲ್ಯೂ. ಸ್ಕಾಫರ್, ಮತ್ತು ಜೆ. ಆರ್. ಬಕ್, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಸಿಗ್ನ್ಲ್ ಪ್ರೋಸೆಸಿಂಗ್ ,ಎರಡನೇಯ ಆವೃತ್ತಿ (ಪ್ರೆನ್ಟಿಸ್-ಹಾಲ್, ನ್ಯೂ ಜೆರ್ಸಿ, 1999).
• ಕೆ. ಆರ್. ರಾವ್ ಮತ್ತು ಪಿ. ಯಿಪ್, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್:ಅ ಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್, ಆಡ್ವಾಂಟೇಜಸ್, ಅಪ್ಲೀಕೇಶನ್ಸ್ (ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್,ಬೊಸ್ಟನ್, 1990).
• ಹೆಚ್. ವಿ. ಸೊರೆನ್‌ಸೇನ್, ಡಿ. ಎಲ್. ನೋನ್ಸ್, ಎಮ್. ಟಿ. ಹೈಡ್‌ಮನ್, ಮತ್ತು ಸಿ. ಎಸ್. ಬುರ್ರುನ್ಸ್, "ರಿಯಲ್ ವ್ಯಾಲ್ಯುಡ್ ಫಾಸ್ಟ್ ಫೌರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಸ್," IEEE Trans. Acoust. ಸ್ಪೀಚ್ ಸಿಗ್. ಪ್ರೋಸೆಸಿಂಗ್ {1ಎ‌ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಪಿ-35{/1}, 849–863 (1987).
• ಎಚ್. ಎಸ್. ಮಲ್ವರ್, ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೋಸೆಸಿಂಗ್ ವಿತ್ ಲಾಪ್ಡ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ಸ್, (ಆರ್ಟೆಕ್ ಹೌಸ್, ಬೊಸ್ಟನ್, 1992).

ಇವನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ

• ಜೆಪಿಇಜಿ - ಇದು ಒಂದು ಸುಲಭದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹ ಡಿಸಿಟಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಶನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
• ರೂಪಾಂತರಿಸಿದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್
• ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್
• ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಫೌರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ
• ಲಿಸ್ಟ್ ಆಫ್ ಫೌರಿಯರ್-ರಿಲೇಟೆಡ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Planetmath reference
• ದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್(ಡಿಸಿಟಿ): ಥಿಯರಿ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ಅಪ್ಲೀಕೇಶನ್
• ಲಿಯೊಫ್ಲೆರ್ ಐಡಿಸಿಟಿ ಮೊಡಿಫೈಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇಂಪ್ಲೀಂಮೆಂಟೆಶನ್ Archived 2011-03-08 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ.
• ಮಾಟ್ಟೇಯೊ ಫ್ರಿಂಗೋ ಆ‍ಯ್‌೦ಡ್ ಸ್ಟೀವನ್ಜಿ ಜಾನ್ಸ್‌ನ್: FFTW , http://www.fftw.org/. ಎ ಫ್ರೀ(ಜಿಪಿಎಲ್) ಸಿ ಲೈಬ್ರರಿ ದ್ಯಾಟ್ ಕ್ಯಾನ್ ಕಾಂಪ್ಯುಟ್ ಫಾಸ್ಟ್ ಡಿಸಿಟಿಎಸ್ (ಟೈಪ್ಸ್ I-IV) ಇನ್ ಒನ್ ಆರ್ ಮೋರ್ ಡೈಮೆನ್ಶನ್ಸ್, ಆಫ್ ಆರ‍್ಬಿಟ್ರರಿ ಸೈಜ್.