೧+೨+೪+೮

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ಎಂಬುದು ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪದಗಳು ಎರಡರ ಅನುಕ್ರಮ ಘಾತಗಳಾಗಿವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯಂತೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ 1 ಮತ್ತು 2 ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಕಲನವು −1 ಆಗಿದೆ, ಇದು 2-ಆಡಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸರಣಿಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

$1+2+4+8+\cdots$ನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು $1,3,7,15,\ldots ;$ ಇವೆ. ಇವುಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬೇರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಸರಣಿಯೂ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1$$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಯಮಿತ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವು ಸೆಸಾರೊ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಬೆಲ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನಂತತೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಧಾನವಿದೆ $1+2+4+8+\cdots$ ರ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ

$-1$

ಸಂಬಂಧಿತ ಘಾತ ಸರಣಿ $$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$$

ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 0 ರ ಸುತ್ತ ${\frac {1}{2}}$ ನ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು $x=1$ ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಹಾಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ f ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ $x={\frac {1}{2}}$ ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅದೇ ನಿಯಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ $f(x)={\frac {1}{1-2x}}$ . ಅಂದಿನಿಂದ $f(1)=-1$ , ಮೂಲ ಸರಣಿ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ −1 ಗೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದಾದ (E) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು −1 ಸರಣಿಯ (E) ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. (ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ G. H. ಹಾರ್ಡಿ ಅವರ ಸಂಕೇತವು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ). ಎಲ್ಲಾ 1 ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ (ಯುಲರ್ ಸ್ವತಃ ತೆಗೆದುಕೊಂಡದ್ದು), ಅಂದರೆ, $$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$$ ಮತ್ತು $y=2$ ರಲ್ಲಿ ಪ್ಲಗಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು. ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳು y=2x ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.