ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನ

ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನವು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ, ತಿರುಚುವಿಕೆ, ಮುದುರಿಸುವಿಕೆ, ಮತ್ತು ಬಾಗಿಸುವಿಕೆಯಂತಹ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವಿಕೃತಿಗಳಾದಾಗ ಸಂರಕ್ಷಿತವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಭಾಗ.

ವಿವೃತ ಗಣ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

a < b ಆಗಿರುವ ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a, b ನಡುವೆ a < x < b ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು x ಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ವಿವೃತ ಅವಧಿ (open interval) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು (a, b) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. A ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು x ಗೂ (A, B)CA ಆಗಿರುವಂತೆ ಒಂದು ವಿವೃತ ಅವಧಿ (a, b) ಇದ್ದರೆ A ಗಣವನ್ನು ವಿವೃತ ಗಣ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು X ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. X ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿವೃತ ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ X ನಲ್ಲಿ ವಿವೃತ ಗಣವೆಂದೂ, ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯುಳ್ಳ (finite number) ವಿವೃತ ಗಣಗಳ ಛೇದನ X ನಲ್ಲಿ ವಿವೃತ ಗಣವೆಂದೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. X ಎಂಬುದೇ ವಿವೃತ ಗಣವೆಂದೂ, ∅ ಕೂಡ X ನಲ್ಲಿ ವಿವೃತವಾಗಿದೆಯೆಂದೂ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಣ ವಿವೃತ ಗಣಗಳ ಈ ಗುಣಗಳಿಂದ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಂಕುರಿಸಿದೆ.

ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಥಿತಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

X ಯಾವುದೇ ಗಣ (ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವೇ ಆಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). X ನ ಉಪಗಣಗಳ ವ್ಯೂಹವಾದ (collection) T ಯಲ್ಲಿ^[೧]

(i) X ∈ T

(ii) ∅ ∈ T

(iii) T ಯ ಸದಸ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಗವೂ T ಯ ಸದಸ್ಯ

(iv) T ಯ ಸದಸ್ಯಗಳ ಸಾಂತ ಛೇದನವೂ (finite intersection) T ಯ ಸದಸ್ಯ.

ಈ ಗುಣಗಳಿದ್ದರೆ T ಯನ್ನು X ಮೇಲಣ ಸಂಸ್ಥಿತಿ (topology) ಎಂದೂ (X, T) ಅಥವಾ X ನ್ನು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ (topological space) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. T ಯ ಸದಸ್ಯಗಳಿಗೆ X ನ ವಿವೃತ ಗಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. X ಎಂಬ ಒಂದು ಗಣದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹಚ್ಚುವುದೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ (i)–(iv) ಗುಣಗಳಿರುವಂಥ X ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಗಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಉದಾಹರಣೆಗೆ x ∈ A ಆದಾಗ, x ನ್ನು ಒಳಗೊಂಡು A ಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ವಿವೃತ ಅವಧಿ ಇರುವಂಥ A ಗಣಗಳ ವ್ಯೂಹವನ್ನು ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದ ವಿವೃತಗಣಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ, ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶವಾಗುವುದು.

ಅನಿರ್ಧೃತ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧೃತ ಸಂಸ್ಥಿತಿ: ಒಂದೇ ಗಣ X ನ ಮೇಲೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, X ನ ಉಪಗಣಗಳ ವ್ಯೂಹ (collection of subsets) T ಯಲ್ಲಿ X ಮತ್ತು ∅ ಮಾತ್ರ ಇರುವುದಾದರೆ T ಎಂಬುದು X ಮೇಲಣ ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತಿ. ಈ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು X ಮೇಲಣ ಅನಿರ್ಧೃತ (ಇನ್‍ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಸಂಸ್ಥಿತಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. T ಯಲ್ಲಿ X ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳೂ ಇದ್ದರೆ ಆಗಲೂ T ಎಂಬುದು X ಮೇಲಣ ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತಿ. ಇದು X ಮೇಲಣ ನಿರ್ಧೃತ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಸಂಸ್ಥಿತಿ (discrete topology). ನಿರ್ಧೃತ ಅನಿರ್ಧೃತಗಳನ್ನು X ಮೇಲಣ ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳೆಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ತೀರ ಸುಲಭ.

ತುಲನಾತ್ಮಕ ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳು: ಒಂದೇ ಗಣ X ನ ಮೇಲೆ T₁, T₂ ಎರಡು ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿರಲಿ. T₁ ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯವೂ T₂ ರ ಸದಸ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ T₁ ⊂ T₂ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. T₁ ⊂ T₂ ಅಥವಾ T₂ ⊂ T₁ ಆಗಿದ್ದರೆ X ಗಣದ ಸಂಸ್ಥತಿಗಳಾದ T₁, T₂ ಗಳನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕಗಳು (ಕಂಪೇರೆಬಲ್ಸ್) ಎನ್ನುತೇವೆ. ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧೃತ ಅನಿರ್ಧೃತ ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತುಲನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಒಂದು ಗಣ X ನ ಮೇಲೆ ತುಲನಿಸಲಾಗದ ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ರಚಿಸಬಹುದು.

ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಸಂಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಉಪಾಕಾಶ: X ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ. A ⊂ X ಆಗಿರಲಿ. VX ನಲ್ಲಿ ವಿವೃತವಾಗಿರುವ A ∩ V ರೂಪದ ಗಣಗಳನ್ನೆಲ್ಲ A ಯ ವಿವೃತ ಗಣಗಳೆಂದು ನಮೂದಿಸಿ A ಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವೆವು. ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳೆಲ್ಲ (axioms) ಇಲ್ಲಿ ತಾಳೆ ಆಗುವುದೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. A ಮೇಲಣ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು X ನ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಸಂಸ್ಥಿತಿ (induced topology) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರೇರಿತ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಉಂಟಾದ ಗಣ A ಗೆ X ನ ಉಪಾಕಾಶ (subspace) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಸಂವೃತ ಗಣ: X ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶವಾಗಿ A ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗಿರಲಿ. A ಗೆ ಸೇರದ ಎಲ್ಲ v ∈ X ಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ X ನ್ನು ಕುರಿತು A ಯ ಪೂರಕ (ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ವಿವೃತ ಗಣದ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಂವೃತ ಗಣವೆಂದು ಹೆಸರು.^[೨]^[೩] ಇದರಂತೆ X ಮತ್ತು ∅ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಿ ಎರಡೂ ಸಂವೃತ ಗಣಗಳು. ಡಿಮಾರ್ಗನನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂವೃತ ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವೂ ಸಂವೃತ ಗಣ (union of a finite number of closed sets is also a closed set). ಸಂವೃತ ಗಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಛೇದನವೂ ಸಂವೃತ ಗಣ.

ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು (continuous map) ಏರ್ಪಡಿಸುವುದರ ಅಧ್ಯಯನ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದ ಅತಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ. f ನ ಪ್ರಾಂತ (domain) X ಆಗಿ, f ನ ಅವಧಿ y ಯ ಒಂದು ಉಪಗಣ. ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ f: X → y ಆಗಿದ್ದರೆ, f ನ್ನು y ಮೇಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಅಥವಾ ಫಲನ (ಫಂಕ್ಷನ್), ಅಥವಾ X ನ್ನು y ಗೆ ಪರಿವರ್ತನ (ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಶನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. a ∈ A ಆಗಿರುವ f(a) ಗಳ ಗಣವನ್ನು f(A) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ f ಎಂಬ ನಕ್ಷೆ ಅನೇಕ-ಏಕ (many to one) ಪರಸ್ಪರತ್ವವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. f(x)∈B ⊂ y ಆಗುವಂತೆ ಎಲ್ಲ x ∈ X ಗಳ ಗಣವನ್ನು f^-1(B) ಎನ್ನುತೇವೆ. f ಅನೇಕ-ಏಕವಾದ್ದರಿಂದ f^-1 ಏಕ-ಅನೇಕ (one to many). F(x) = f(y) ಆದಾಗ x = y ಆದರೆ, f: X → Y ಎಂಬುದನ್ನು ಏಕ-ಏಕ (one to one) ಎಂದು ಕರೆದ f(X) = Y ಆದರೆ f ನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ (ಆನ್ ಟು) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯುಳ್ಳ (continuity) ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಹಿಸುವ ಸಂಸ್ಥಿತಿ ವಿಜ್ಞಾನದ ಶಾಖೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನವೆಂದು (analytic topology) ಹೆಸರು. ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಸಹ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದ (set of real numbers) ಮೇಲೆ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆಯುಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನದ (ε, δ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅಮೂರ್ತೀಕರಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ವಗಾಮಿತ್ವದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: (X, T) ಮತ್ತು (Y, W) ಎರಡು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶಗಳಾಗಿರಲಿ. f: (X, T) → (Y, W) ಆಗಿರಲಿ. V ∈ W ಆದಾಗ f^-1(V) ∈ T ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೀಕರಣ (continuous mapping) ಎರಡು ಸಂಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದು. ವಾಸ್ತವ ಚರವುಳ್ಳ (real variables) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಎರಡು ಆಕಾಶಗಳೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯುಳ್ಳ (general topology) ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಕಾಶಗಳು. f: X → Y ಎಂಬ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದು ಅದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಮತ್ತು ಏಕ-ಏಕ ಆಗಿದ್ದು f^-1 ಕೂಡ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶಗಳನ್ನು ಸ್ವಗಾಮಿ (ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಲವು ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿವೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಮುನ್ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶವೇನೆಂಬುದನ್ನು (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್ ಟಾಪಾಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ X ಎಂಬುದನ್ನು ಎರಡು ಅಶೂನ್ಯ ಅಚ್ಛೇದ್ಯ ವಿವೃತಗಣಗಳ (non-empty disjoint open set) ಸಂಯೋಗವಾಗಿ (union) ಕೊಡಲಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅದು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.^[೪] X ನ ಉಪಾಕಾಶ A ಆದರೆ, ಪ್ರೇರಿತ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ A ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. A ಸಂಯೋಜಿತತೆಗೆ ಇದು ಬಹಳ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ. ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದ ಒಂದು ಉಪಗಣ A ಅವಧಿಯಾದಾಗ, ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವೂ ಇದೆ.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಪ್ರಮೇಯ 1: X ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ, Y ಯಾವುದೇ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ. f: X → Y ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೆಯಾದರೆ f(X) ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಧನೆ: f(x) = A ಆಗಿರಲಿ. ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ A ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎನ್ನೋಣ. ಆಗ A = 0₁ U 0₂. ಇಲ್ಲಿ O₁ ∩ O₂ = ∅, O₁ ≠ ∅, O₂ ≠ ∅, O₁,O₂ ಗಳು A ಯಲ್ಲಿ ವಿವೃತವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ O₁=U₁ U A, O₂=U₂ ∩ A. ಇಲ್ಲಿ U₁,U₂ ಗಳು Y ಯಲ್ಲಿ ವಿವೃತವಾಗಿವೆ. f₁ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದ್ದರಿಂದ f^-1(U₁) ಮತ್ತು f^-1(U₂) ಗಳು X ನಲ್ಲಿ ವಿವೃತವಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಲದೆ f^-1(U₁) ≠ ∅, f^-1(U₂) ≠ ∅ ಮತ್ತು X = f^-1(U₁) ∪ f^-1(U₂), f^-1(U₁) ∩ f^-1(U₂) = ∅ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ X ನ್ನು ಎರಡು ಅಶೂನ್ಯ, ಅಚ್ಛೇದ್ಯವೂ ಆದ ವಿವೃತ ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವಂತೆ ಕೊಡಲಾಯಿತು. X ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಇದು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಯಿತು.

{∪i}_i∈I ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ X ನ ವಿವೃತ ಗಣಗಳ ವ್ಯೂಹವಾಗಿರಲಿ. $X=\bigcup _{i\in I}\cup i$ ಆಗಿದ್ದರೆ {∪i}_i∈I ವ್ಯೂಹಕ್ಕೆ ವಿವೃತಾಚ್ಛಾದನೆ (ಓಪನ್ ಕವರಿಂಗ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. X ನ ಯಾವುದೇ ವಿವೃತಾಚ್ಛಾದನೆಯಿಂದ X ನ ಸಾಂತ ವಿವೃತಾಚ್ಛಾದನೆಯನ್ನು ಎಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ X ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ ನಿಕಟವಾಗಿದೆ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್) ಎನ್ನುತೇವೆ. X ನ ಉಪಗಣ A ಎಂಬುದು ಪ್ರೇರಿತ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒತ್ತಾಗಿದ್ದರೆ ನಿಕಟವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ನಿಕಟವಾದ ಬಲು ಸುಲಭ ಉದಾಹರಣೆ ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಣ ಸಂವೃತ ಪರಿಬಂಧ ಗಣ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್). ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣ ಸಂವೃತ ಪರಿಬಂಧಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಆಗ ಮಾತ್ರ ನಿಕಟವಾಗಿರುವುದು ಎಂಬುದು ಹೈನೆ ಬೋರೆಲ್ ಅವರ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯ. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 2: f: X → Y ಎಂಬುದು ನಿಕಟವಾದ ಒಂದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ X ನ್ನು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶ Y ಒಳಕ್ಕೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೀಕರಣ ಮಾಡಲಿ. ಆಗ f(X) ನಿಕಟವಾಗಿರುವುದು. ಎಂದರೆ ನಿಕಟವಾದ ಆಕಾಶದ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ನಿಕಟವಾಗಿರುವುದು.

ಈಗ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆಗಳುಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮೇಲಣ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕೊಡುವೆವು.

ಪ್ರಮೇಯ 3: ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ನಿಕಟವಾದ ಒಂದು ಉಪಗಣ A ಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆಯುಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನ f ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ

(i) f ಪರಿಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಎಂದರೆ x∈ A ಆದಾಗ |f(x)|≤M

(ii) A ಯ ಮೇಲೆ f ಉತ್ಪನ್ನ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧವನ್ನೂ (ಲೀಸ್ಟ್ ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್) ಕನಿಷ್ಠ ನೀಚ ಪರಿಬಂಧವನ್ನೂ (ಲೀಸ್ಟ್ ಲೋಯರ್ ಬೌಂಡ್) ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ f(x) ನ ನೀಚ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧಗಳು α, β ಆದರೆ f(x₁) = α ಮತ್ತು f(x₂) = β ಆಗಿರುವಂತೆ x₁, x₂ ಬಿಂದುಗಳಿರುತ್ತವೆ; x₁ ∈ A, x₂ ∈ A.

ಸಾಧನೆ: ಪ್ರಮೇಯ 2 ರಿಂದ f(A) ನಿಕಟವಾಗಿದೆ. ಹೈನೆ ಬೋರಲರ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದ ನಿಕಟವಾದ ಉಪಗಣ ಪರಿಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. (i)ನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಯಿತು. ಅಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದ ನಿಕಟವಾದ ಉಪಗಣ ಸಂವೃತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ f(A) ಸಂವೃತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಣ ನಿಕಟವಾದ ಗಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧವೂ, ಗರಿಪ್ಠ ನೀಚ ಪರಿಬಂಧವೂ ಗಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಆದ್ದರಂದ (ii)ರ ಸಾಧನೆಯಾಯಿತು.

ಪ್ರಮೇಯ 4: ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಉಪಗಣವಾಗಿರಲಿ. A ಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆಯ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ f ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವಣ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೆಲೆಯನ್ನೂ f ಪಡೆಯುವುದು.

ಸಾಧನೆ: f ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ 1ರ ಪ್ರಕಾರ f(A) ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾಗಣದ ಸಂಯೋಜಿತ ಉಪಗಣ ಒಂದು ಅವಧಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಧಿತವಾಯಿತು.

ಗಣಿತದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುವಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಮಾದರಿ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬ್ರೂವರ್ ಸ್ಥಿರಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 5: f ಎಂಬುದು ಸಂವೃತ ಏಕಮಾನ n-ಚಂಡಾದ Eⁿ⁺¹ ಅದರೊಳಕ್ಕೆ ಹಾಕುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ Eⁿ⁺¹ ಎಂಬುದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ (n + 1)-ಆಕಾಶದ ಒಂದು ಉಪಾಕಾಶ. ಆಗ f(x) = x ಆಗುವಂತೆ x ∈ Eⁿ⁺¹ ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವೊಂದಿರುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ತಳದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯನ್ನು ಉದಾಹರಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ, A ಒಂದು ಸಂವೃತ ವೃತ್ತಾಕೃತಿಯ ತಟ್ಟೆಯಾಗಿರಲಿ, ಎಂದರೆ ವೃತ್ತದ ಒಳಗಣ ಬಿಂದುಗಳೂ, ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಣ ಬಿಂದುಗಳೂ ಸೇರಿದ ಆಕೃತಿ. ಪ್ರತಿ a ∈ A ಗೂ f(a) ಪುನಃ A ಯ ಒಂದು ಬಿಂದು ಆಗುವಂತೆ ಆಗುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆ (continuous transformation) f ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ ತಿಳಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ x ∈ A ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನಾದರೂ f ಅದಕ್ಕೇ ನಕ್ಷೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಧನೆ: ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಗೆ ಹೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗುಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವೆವು. Eⁿ⁺¹ ಎಂಬುದು 0 ≤ t ≤ 1 = A ಎಂಬ ಸಂವೃತ ಏಕಮಾನದ ಅವಧಿಯಾಗಿರಲಿ. f: A → A ಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವಿಲ್ಲದಿರಲಿ. ಆಗ f(x) - x = g(x) ≠ 0, x ∈ A ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವ ಗಣದ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೀಕರಣೆಯಿಂದ ಬಂದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವೂ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವುದರಿAದ g(A) ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವ ಗಣ ಒಂದು ಅವಧಿ. ಆದ್ದರಿಂದ g(A) ಒಂದು ಅವಧಿ. ಆದರೆ ಮೂಲಬಿಂದು g(A) ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು a ∈ A ಗೂ g(1) > 0, ಇಲ್ಲವೇ g(A) < 0. g(A) > 0 ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ g(1) > 0. ಹೀಗೆ f(1) > 1. ಆದರೆ f ಎಂಬುದು A ಯ ಮೇಲೆ A ಯ ಒಳಕ್ಕೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದರಂತೆಯೇ g(A) < 0 ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ವಿರೋಧಕ್ಕೆ ಆಸ್ಪದ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾಯಿತು.

ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಅನ್ವಯಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿವೆ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಗ್ರೂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ. ಗ್ರೂಪ್ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ ಸಂಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಗ್ರೂಪ್‌ಗೆ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಹೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ, ಸೆಷ್ ಹೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೇರಳವಾಗಿ ಎಳೆಯುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ವರ್ಣಿಸಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ವಾಸ್ತವ ಚರಗಳಿಗೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಕ್ಷೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಬಲುಮುಖ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳ ಪೈಕಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿಂಗಡಣೆ ಒಂದು. ಫ್ರಾನ್ಸ್ ದೇಶದ ಹೆನ್ರಿ ಪ್ವಾನ್‍ಕ್ಯಾರೇ ಈ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು 1895ರಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಸಿದ. ರೀಮಾನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ ಇದರಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿವೆ. ಹೊಮಾಲಜಿಯ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನೂ ಪ್ವಾನ್‌ಕ್ಯಾರೇಯ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಫಲವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂಬುವನ್ನು ಪ್ವಾನ್‌ಕ್ಯಾರೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ. ಇವನ್ನು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರಗಳೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಯಿತು. ಸ್ವಗಾಮಿಗಳಾದ (ಹೋಮಿಯೊ ಮಾರ್ಫಿಕ್) ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕಾಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಯೋಜಿತತೆ ಇಂಥದೊಂದು ಗುಣ. ಒಂದು ಬಹುಫಲಕದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ (vertices) ಸಂಖ್ಯೆ V, ಫಲಕಗಳ (faces) ಸಂಖ್ಯೆ F, ಅಂಚುಗಳ (edges) ಸಂಖ್ಯೆ E ಆದರೆ V + F = E + 2 ಎಂಬುದು ಆಯಿಲರನ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯ.^[೫]^[೬] ಇದನ್ನು ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ವಾನ್‌ಕ್ಯಾರೇ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ. ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರಗಳಾದ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಗುಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸದೆ ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು (closed curve) ಎಳೆಯಲಾಗುವುದೇ ಎಂಬುದು ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಗುಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. X ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈ, α ಅದರ ಮೇಲಣ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ. Y ಎಂಬುದು X ಗೆ ಸ್ವಗಾಮಿಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಸ್ವಗಾಮಿತ್ವದಲ್ಲಿ α ವನ್ನು Y ಯ ಮೇಲೆ ಅನುಸರಿಸುವ ರೇಖೆ β ಆಗಿದ್ದರೆ β ರೇಖೆ Y ಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಗ ಮಾತ್ರ, α ರೇಖೆ X ನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರಗಳ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನ ಹೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದಾಗಿದೆ.

ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಹೊಕ್ಕಿದೆ. ಹಳೆಯ ಊಹ್ಯ ಚರಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಬಹಳವಾಗಿ ಪುಷ್ಟಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಕೌಷಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪೂರ್ಣ ರೂಪವಾದ f(z) ಒಂದು ಪ್ರಾಂತ (domain) D ಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಕ (ಅನಾಲಿಟಿಕ್) ಆಗಿದ್ದರೆ, D ಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಮಾಲಜಿ ಪಡೆದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಕ್ರ α ದ ಮೇಲೆ f(z) ನ ಅನುಕಲ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಶೂನ್ಯ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಸಾಧನೆ ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ.

ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುವುದಾದರೂ ಸಂಸ್ಥಿತಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಅನ್ವಿತ ಗಣಿತವನ್ನೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದೆ. ಸಂಸ್ಥಿತಿ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಅಭಿಜಾತ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (classical dynamics) ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಸಾಂಸ್ಥಿತಿಕ ಅಚರ ಗುಣಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಪರಿವರ್ತನ ಗ್ರೂಪುಗಳನ್ನು (transformation groups) ಸಂಸ್ಥಿತಿ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ ಅಭ್ಯಸಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗ ಪ್ವಾನ್‌ಕ್ಯಾರೆಯ ಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ಆರಂಭವಾಯಿತು. ಈತ ಅಭಿಜಾತ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಲೆಕ್ಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಾಧಿಸಿದ. ತರುವಾಯ ಇದರ ಸಕ್ರಮ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಜಿ.ಡಿ.ಬಿರ್ಕಾಫ್ ಕೈಕೊಂಡ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

↑ Armstrong 1983, definition 2.1.
↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
↑ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
↑ Munkres, James (2000). Topology. Pearson. p. 148. ISBN 978-0131816299.
↑ Euler, L. (1758). "Elementa doctrinae solidorum" [Elements of rubrics for solids]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in ಲ್ಯಾಟಿನ್): 109–140 – via U. Pacific, Stockton, CA.
↑ Richeson (2008)

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

"Topology, general", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
ಸಂಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನ at Curlie
The Topological Zoo at The Geometry Center.
Topology Atlas
Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
Topology Glossary
Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.

[FOOTNOTEArmstrong1983definition_2.1-1] Armstrong 1983, definition 2.1.

[2] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.

[3] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Munkres, James (2000). Topology. Pearson. p. 148. ISBN 978-0131816299.

[5] Euler, L. (1758). "Elementa doctrinae solidorum" [Elements of rubrics for solids]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in ಲ್ಯಾಟಿನ್): 109–140 – via U. Pacific, Stockton, CA.

[6] Richeson (2008)

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]