ತ್ರಿಕೋನ

ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಇಂದ
ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗು: ಸಂಚರಣೆ, ಹುಡುಕು
ಈ article the basic geometric shape ಬಗ್ಗೆ. For other uses, see ತ್ರಿಕೋನ (disambiguation).
"Isosceles" redirects here. For the trapezoid, see Isosceles trapezoid.
  1. REDIRECT Template:Infobox polygon

ತ್ರಿಕೋನ ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ : ಎಂದರೆ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಹಾಗೂ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳ ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿ. A , B , ಹಾಗೂ C ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ \triangle ABC.

ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು-ಸಹರೇಖಿಯಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು ಹಾಗೂ ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ ಸಮತಲವನ್ನು (i.e. ದ್ವಿ-ಪರಿಮಾಣೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಂತರ/ಅವಕಾಶ) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿವಿಡಿ

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಧಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉದ್ದಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಉದ್ದಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

  • ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿ/ಭುಜಗಳೂ ಸಮಾನ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 60° ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸುಸಮ್ಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಕೂಡಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.[೧]
  • ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳೂ ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.[೨] ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳಿಗೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕೆಲ ನಿರೂಪಣೆಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಮಾನ ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸಮಾನ ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.[೩] ಎರಡನೆಯ ನಿರೂಪಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
  • ವಿಷಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಅಸಮಾನ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.[೪] ಅದರಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಕೂಡಾ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ವಿಷಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ
ಸಮಬಾಹು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ವಿಷಮಬಾಹು

ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೋನಾಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯಲಾಗುವ ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೂಡಾ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

  • ಒಂದು ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ವು (ಅಥವಾ ಸಮ/ಲಂಬ -ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನ , ಮುಂಚೆ ಆಯತಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನ ವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು) ತನ್ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ 90° ಅಳತೆಯ ಕೋನವೊಂದನ್ನು (ಒಂದು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಬದಿಯೇ ಅದರ ಕರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಹಾಗೂ ಅದೇ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರೆ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಭುಜಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಥೆಟೀ [೫] (ಏಕವಚನ: ಕ್ಯಾಥೆಟಸ್‌ ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ : ಎರಡೂ ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ : ಎಂದರೆ a 2 + b 2 = c 2, ಇದರಲ್ಲಿ a ಹಾಗೂ b ಗಳು ಭುಜಗಳ ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದು c ಯು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳೆಂದರೆ ತಮ್ಮನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಲಿತಗೊಳಿಸುವಂತಹಾ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದುದು 3 2 + 4 2 = 5 2 ಆಗಿರುವ 3-4-5 ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 3, 4, ಹಾಗೂ 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ತ್ರಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
  • 90° ಅಳತೆಯದಲ್ಲದ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಶಾಲಕೋನದ/ತಿರ್ಯಕ್‌ ತ್ರಿಕೋನ ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
  • ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು 90°ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಳತೆಯನ್ನೇ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಲಘು ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಲಘು -ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ}.
  • 90°ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಳತೆಯ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ವಿಶಾಲ ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ವಿಶಾಲ-ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನ ವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದೊಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳೂ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿಗಳೂ ಒಂದೇ ಉದ್ದವಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅಂತಹಾ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ವಿಶಾಲ ತ್ರಿಕೋನ ಲಘು ತ್ರಿಕೋನ
ಸಮ/ಲಂಬ ವಿಶಾಲ ಲಘು
  \underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}
  ಓರೆಯಾದ

ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಆಯಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ರೀತಿ ತಿಳಿಯಪಡಿಸದೇ ಇದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ದ್ವಿ-ವಿಮಿತೀಯ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮತಲೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ನಿಖರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು 2-ಸರಳೀಕೃತ/ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ (ಪಾಲಿಟೋಪ್‌‌ ಅನ್ನೂ ನೋಡಿ) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕುರಿತಾದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ರು ಅಂದಾಜು 300 BC ಅವಧಿಯ ತಮ್ಮ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಗ್ರಂಥದ 1–4 ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಸಾದರಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

d ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ

ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಕೋನಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರನೇ ಕೋನದ ಅಳೆತಯ ಮಾಪನವನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ/ರೇಖಾತ್ಮಕ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಯಾದ (ಹಾಗಾಗಿಯೇ ಪೂರಕವಾದ) ಒಂದು ಕೋನವೇ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನದ ಅಳತೆಯು ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ (ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಒಂದರಂತೆ) ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೊತ್ತವು 360 ಕೋನಾಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.[೬]

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದದ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂರನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಂಬುದೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ವಿಷಮತಾ ನಿಯಮ ವೆನ್ನುತ್ತಾರೆ. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಶೃಂಗಗಳು ಸಹರೇಖೀಯ/ಸಹರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಕಾರಣ, ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದದ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಪ್ರತಿ ಕೋನವೂ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನದಷ್ಟೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸದೃಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದೃಶ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಲಕ್ಷಣವು ಸದೃಶತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸದೃಶ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲ ಮೂಲ/ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

  • ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
  • ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಅಂತರ್ಗತ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸದೃಶವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. (ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂತರ್ಗತ ಕೋನ ವು ಆಯಾ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ನಡುವಿನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.)
  • ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂರು ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ.[೭]

ಏಕರೂಪ/ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುವ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನ ಗಾತ್ರ ಹಾಗೂ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ :[೮] ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಗಳು ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿದ್ದು, ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. (ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಆರು ಸಮತೆಗಳಿದ್ದು, ಆದರೆ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಮೂರು ಸಮತೆಗಳು ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ರುಜುವಾತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕಾಗಿರುತ್ತದೆ.)

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಗಳು ಏಕರೂಪತೆ/ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕೆಂದರೆ ಕೆಲ ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿಯಮ/ನಿಬಂಧನೆಗಳೆಂ ದರೆ :

  • SAS ಆಧಾರಸೂತ್ರ: ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂತರ್ಗತ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
  • ASA: ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಅಂತರ್ಗತ ಬದಿಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಳತೆ ಹಾಗೂ ಉದ್ದದಷ್ಟೇ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. (ಕೋನಗಳ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಯ ಅಂತರ್ಗತ ಬದಿ ಯೆಂದರೆ ಅವೆರಡಕ್ಕೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬದಿ.)
  • SSS: ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯೂ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಯಷ್ಟೇ ಉದ್ದವಿರಬೇಕು.
  • AAS: ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಅನುಗುಣವಾದ (ಅಂತರ್ಗತವಲ್ಲದ) ಬದಿಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದಷ್ಟೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಳತೆ ಹಾಗೂ ಉದ್ದದಷ್ಟೇ ಹೊಂದಿರಬೇಕು.
  • ಕರ್ಣ-ಭುಜ (HL) ಪ್ರಮೇಯ: ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಕರ್ಣ ಹಾಗೂ ಭುಜಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಷ್ಟೇ ಉದ್ದವಾಗಿರಬೇಕು.
  • ಕರ್ಣ-ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ : ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಕರ್ಣ ಹಾಗೂ ಲಘು ಕೋನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಷ್ಟೇ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು AAS ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭವಷ್ಟೇ.

ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂದರ್ಭ:

  • ಬದಿ-ಬದಿ-ಕೋನ (ಅಥವಾ ಕೋನ-ಬದಿ-ಬದಿ) ಸಂದರ್ಭ: ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಹಾಗೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂತರ್ಗತವಲ್ಲದ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದಷ್ಟೇ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮಾತ್ರವೇ ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ; ಬದಲಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವು ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳಲ್ಲಿನ ಉದ್ದವಾದ ಬದಿಗೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಏಕರೂಪತೆ/ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣ-ಭುಜ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ. ಬದಿ-ಬದಿ-ಕೋನ ಸಂದರ್ಭವೊಂದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಏಕರೂಪತೆ/ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ವಿಶಾಲ-ಕೋನಸಹಿತವಾಗಿದ್ದು ಮತ್ತೊಂದು ಲಘು-ಕೋನಸಹಿತವಾಗಿರಬಹುದು.

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಸದೃಶತೆಯ ಕಲ್ನೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಫಲನ/ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಾದ ಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಸ್ವರೂಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ. ಇವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುವ ಕೋನವೊಂದರ ಫಲನ/ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮುಖ/ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣದ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಎರಡು ಇತರೆ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳ ವರ್ಗದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯ. ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವು c ಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳು a ಹಾಗೂ b ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ

a^2 + b^2 = c^2.\,

ಇದರ ವಿಪರ್ಯಾಯವೂ ಯಥಾರ್ಥವಾಗಿದೆ : ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ತ್ರಿಕೋನವು c ಬದಿಯ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿ ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಇತರೆ ಕೆಲ ಸಂಗತಿಗಳು:

a + b + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow a + b = 90^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ} - b
  • ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಭುಜಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ಭುಜಗಳ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾದುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು 45 ಕೋನಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಂದು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವು ಭುಜ ಗುಣಕ √2ರಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • 30 ಹಾಗೂ 60 ಕೋನಾಂಶಗಳ ಲಘು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣವು ಕಿರು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ದುಪ್ಪಟ್ಟಿನಷ್ಟಿದ್ದರೆ, ನೀಳ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಕಿರುಬದಿಯ ಗುಣಕ √3ರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ :
c = 2a\,
b = a\times\sqrt{3}.

ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಬದಿ/ಭುಜಗಳು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ ಹಾಗೂ ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರಗಳ ಅನುಸಾರ (ಕೊಸೈನ್‌ ಸೂತ್ರ ಹಾಗೂ ಸೈನ್‌ ಸೂತ್ರ ಗಳೆಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಹಾಗೆ ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಹಾಗೂ ವೃತ್ತಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ (ಹಾಗೂ ಅನೇಕವೇಳೆ ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಹಾಗೆ ವಿಶೇಷ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಕೆಲ ಅನನ್ಯ/ಏಕೈಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಂತಹಾ ನೂರಾರು ವಿವಿಧ ನಿರ್ಮಿತಿ/ರಚನೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು : ಅವುಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ ಆಕರಗಳು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿರುವ ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜ(ಅಥವಾ ಶೃಂಗಗಳು)ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ ಆ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ : ಮೂರು ಅಂತಹಾ ರೇಖೆಗಳು ಎಲ್ಲಿ/ಯಾವಾಗ ಏಕಾಭಿಮುಖವಾಗಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾದ ಮಾನದಂಡ/ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಸೀವಾ'ರ ಪ್ರಮೇಯ ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಅದೇರೀತಿ, ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿತವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಸಹರೇಖೀಯ/ಸಹರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ : ಇಲ್ಲಿ ಮೆನೆಲಾಸ್‌' ಪ್ರಮೇಯವು ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಧಾನ ಮಾನದಂಡ/ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವಂತಹಾ ನಿರ್ಮಿತಿ/ರಚನೆಗಳ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ದ್ವಿಭಾಜಕವೆಂದರೆ ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿರುವ i.e. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಮೂಡಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ. ಮೂರೂ ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅದೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನ'ದ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತ; ಈ ಬಿಂದುವು, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವಾದ ಪರಿವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಥೇಲ್ಸ್‌' ಪ್ರಮೇಯವು ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನವು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಲಘು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಶಾಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳ ಛೇದಕ/ಛೇದನವು ಲಂಬಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಲಂಬೋನ್ನತಿಯು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖವಿರುವ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ (i.e. ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸುವಂತಹಾ) ಲಂಬ/ಸಮಕೋನೀಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯನ್ನು ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಆಧಾರತಲ ವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಎತ್ತರವು/ಲಂಬೋನ್ನತಿಯು ಆಧಾರತಲವನ್ನು (ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆ) ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಪಾದ ವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಉದ್ದವು ಪಾದ ಹಾಗೂ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ/ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಮೂರೂ ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಕೇಂದ್ರವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ಆ ತ್ರಿಕೋನವು ಲಘುತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರವೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕ/ಛೇದನವು ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ. ಮೂರೂ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ತ್ರಿಕೋನ'ದ ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾದ ಅಂತರ್‌‌ಕೇಂದ್ರವೆಂಬ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತವೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹಾಗೂ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೂರು ಇನ್ನಿತರ ಪ್ರಮುಖ ವೃತ್ತಗಳಿವೆ, ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತಗಳು; ಅವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾಗೂ ಉಳಿದೆರಡರ ವಿಸ್ತರಣಗಳಿಗೆ ತಾಗಿದಂತಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತ ಹಾಗೂ ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಲಂಬಸಂಪಾತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕ/ಛೇದನವು ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯೆಂದರೆ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಿ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ತಲುಪಿ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರೂ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಮಧ್ಯಬಿಂದುವೆನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಥಿರ ತ್ರಿಕೋನೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ಏಕರೂಪ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ತೆಳು ಹಾಳೆಯಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದ) ಅದರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣಾ ಕೇಂದ್ರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು 2:1ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, i.e. ಶೃಂಗ ಹಾಗೂ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ನಡುಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ದುಪ್ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತ ತ್ರಿಕೋನದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಆರು ಬಿಂದುಗಳಿರುವ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ನಡುಬಿಂದುಗಳು ಹಾಗೂ ಮೂರು ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳ ಪಾದ ಎಲ್ಲವೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತವೆಂಬ ಒಂದೇ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅದರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿರುವ ಉಳಿದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಶೃಂಗಗಳು ಹಾಗೂ ಲಂಬಕೇಂದ್ರದ ನಡುವಿನ ಲಂಬೋನ್ನತಿಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಡುಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಪರಿವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತ (ಫ್ಯೂಯರ್‌ಬಾಚ್‌/ಷ್‌ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ) ಹಾಗೂ ಮೂರು ಬಹಿರ್‌ಕೇಂದ್ರವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ತಾಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆs.

ಯೂಲರ್‌'ರ ರೇಖೆಯು ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ಕಿತ್ತಳೆ), ಲಂಬಕೇಂದ್ರ (ನೀಲಿ), ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತ (ಹಸಿರು) ಹಾಗೂ ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ (ಕೆಂಪು) ಕೇಂದ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ಹಳದಿ), ಲಂಬಕೇಂದ್ರ(ನೀಲಿ), ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತ (ಹಸಿರು) ಹಾಗೂ ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ (ಕೆಂಪು ಬಿಂದು)ಭಾರಕೇಂದ್ರ/ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರಗಳೆಲ್ಲಾ ಯೂಲರ್‌'ರ ರೇಖೆ (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಲಂಬಕೇಂದ್ರ ಹಾಗೂ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ನಡುಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದಲ್ಲದೇ, ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಕೇಂದ್ರ ಪರಿವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಲಂಬಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತರ್‌‌ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಯೂಲರ್‌'ರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದೇ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನ ಪ್ರತಿಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯರೇಖೆ/ಸಿಮ್ಮೀಡಿಯನ್‌ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯರೇಖೆ/ಸಿಮ್ಮೀಡಿಯನ್‌ ಬಿಂದು ಎಂಬ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂರೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯಮಧ್ಯರೇಖೆ/ಸಿಮ್ಮೀಡಿಯನ್‌ಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಗಣಿಸುವುದು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಷ್ಟೇ ಪಾದದ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಗಣಿಸುವುದು ಅನೇಕವೇಳೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಹಾಗೂ ಸರಳೀಕೃತವಾದ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ :

\mathrm{Area}=\frac{1}{2}bh

ಇದರಲ್ಲಿ b ಪಾದದ ತ್ರಿಕೋನದ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ h ಅದರ ಎತ್ತರ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬೋನ್ನತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. 'ಪಾದ' ಎಂಬ ಪದವು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯನ್ನು, ಹಾಗೂ 'ಎತ್ತರ'ವು ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸೂಚಿತ ಬದಿವರೆಗೆ ಇರುವ ಸಮಕೋನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿಯೇ ಇದ್ದರೂ, ಎತ್ತರವು ಮೊದಲಿಗೇ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರವೇ ಈ ಸೂತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೋಜಣಿದಾರ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, 'ಎತ್ತರ'ವನ್ನು ರಚಿಸಿಕೊಳ್ಳದೆಯೇ ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಲ್ಲನು. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇರೆಗೆ ಕಾರ್ಯರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಆಗ್ಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.[೯]

ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿವಿಮಿತೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿಸಬಹುದು. ಸದಿಶಗಳಾದ AB ಹಾಗೂ AC ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ A ಇಂದ Bಗೆ ಹಾಗೂ A ಇಂದ Cಗೆ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಿರಲಿ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABDCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಆಗ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ

|{AB}\times{AC}|,

ಇದು AB ಹಾಗೂ AC ಸದಿಶಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಅಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದಲ್ಲದೇ ಕೆಳಗಿನದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

|{h}\times{AC}|,

ಇಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಎತ್ತರ h ಅನ್ನು ಸದಿಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಇದರ ಅರ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

\frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|..

ABC ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಬಿಂದು ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಹಾಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು::

 \frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}.\,

ದ್ವಿವಿಮಿತೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಸದಿಶವಾದಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್‌ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬಿಂಬಿಸಿದಾಗ AB ಸದಿಶವನ್ನು (x 1,y 1) ಎಂದೂ ಹಾಗೂ AC ಅನ್ನು (x 2,y 2) ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

 \frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|.\,
h ಲಂಬೋನ್ನತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಡದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರವು/ಲಂಬೋನ್ನತಿಯು h = a sin γ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದ Area = ½bh ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೀಗೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

Area = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta

(ಇದರಲ್ಲಿ α ಎಂಬುದು Aಯಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ, β ಎಂಬುದು Bಯಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ, γ ಎಂಬುದು Cಯಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನ ಹಾಗೂ c ಎಂದರೆ ರೇಖೆ ABಯಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಇದಾದನಂತರ, sin α = sin (π - α) = sin (β + γ) ಆದುದರಿಂದ, ಹಾಗೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದರಿಂದ:

Area = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ/ಭುಜಯುಗ್ಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಶೃಂಗ Aಯು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್‌ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ/ಭುಜಯುಗ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲ (0, 0) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಇತರ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ/ಭುಜಯುಗ್ಮಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು B = (x B, y B) ಹಾಗೂ C = (x C, y C), ಆಗ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ½ ಗುಣಕ ನಿರ್ಧಾರಕ ಅಂಶಸಮಗ್ರ ಬೆಲೆ ಎಂದು ಗಣಿಸಬಹುದು

Area=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.

ಮೂರು ಪ್ರಧಾನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಾದರೆ, ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

Area=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|
Area= \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.

ಮೂರು ವಿಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು {A = ({0}xA, y A, z A), B = (x B, y B, z B) ಹಾಗೂ C = (x C, y C, z C)} ಮೂರು ಪ್ರಧಾನ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ವಿಕ್ಷೇಪಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಪೈತಾಗೊರಸ್ಸನ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (i.e. x = 0, y = 0 ಹಾಗೂ z = 0):

Area=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.

ಹೆರಾನ್‌'ರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ತ್ರಿಕೋನದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೇವಲ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳಿಂದಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕೂಡಾ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳಿಂದಲೇ ಊಹಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಹೆರಾನ್‌'ರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

Area = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

ಇಲ್ಲಿ s= \frac{a+b+c}{2} ಅರೆ ಪರಿಧಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ'ದ ಪರಿಧಿಯ ಅರ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆರಾನ್‌'ರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಮೂರು ಸಮಾನ ವಿಧಗಳೆಂದರೆ

 Area = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
 Area = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
 Area = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.

ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಗಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ: Area = r × s , ಇದರಲ್ಲಿ r ಅಂತರ್‌ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, s ಅರೆಪರಿಧಿ ಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಿಕ್‌‌'ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಯಾವುದೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘನವಸ್ತುವಿನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪಿಕ್‌‌'ರ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ:

Area = I + \frac{1}{2}B - 1

ಇದರಲ್ಲಿ I ಆಂತರಿಕ ಘನಾಕೃತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು B ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಂತೆ ಇರುವ ಘನಾಕೃತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಹಾಗೂ ಕೋನಗಳ ಗಣಿಸುವಿಕೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ, ಬದಿಯೊಂದರ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಕೋನವೊಂದರ ಗಾತ್ರ/ಅಳತೆಯನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಅನೇಕ ಸ್ವೀಕೃತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಕೆಲವೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮ/ಲಂಬ -ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರೆ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು.

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇಲ್ಲಿ C ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿರುವ 90° (π/2 ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳು) ಕೋನವೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, A ಹಾಗೂ B ಕೋನಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಫಲನಗಳು ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ ಉದ್ದಗಳು ಹಾಗೂ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಸೈನ್‌, ಕೊಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಕ್ತ ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಅವ್ಯಕ್ತ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

  • ಕರ್ಣ ವು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಸಮ/ಲಂಬ -ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಧಿಕ ನೀಳವಾಗಿರುವ ಬದಿ ಎಂದೆನ್ನಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು h ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಅಭಿಮುಖ ಬದಿ ಯು ಸೂಚಿತ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಬದಿಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು a ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಸೂಚಿತ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬದಿಯೇ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿ ಯಾಗಿದ್ದು ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಆ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿ b ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೈನ್‌, ಕೊಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಕೋನವೊಂದರ ಸೈನ್‌ ಎಂಬುದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}\,.

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಕೋನ A ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೆಗೆ ಈ ಅನುಪಾತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಚಿತ ಸಮ/ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ}.

ಕೋನವೊಂದರ ಕೊಸೈನ್‌ ಎಂಬುದು ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}\,.

ಕೋನವೊಂದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂಬುದು ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿಯ ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಣ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}\,.

"SOH-CAH-TOA" ಪ್ರಥಮಾಕ್ಷರಿಯು ಈ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸ್ಮೃತಿವರ್ಧಕವಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ/ವಿಪರ್ಯಾಯ ಫಲನಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ವಿಲೋಮ/ವಿಪರ್ಯಾಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದದ ಮೂಲಕ ಸಮ/ಲಂಬ ಕೋನಸಹಿತ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಬಹುದು.

ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಆರ್ಕ್‌‌ಸೈನ್‌/ಸಿನ್‌ಅನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right)

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಆರ್ಕ್‌‌ಕಾಸ್‌‌ಅನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right)

ಅಭಿಮುಖ ಬದಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಆರ್ಕ್‌ಟ್ಯಾನ್‌ಅನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right)

ಆರಂಭಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹಾಗೂ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ತರಬೇತಿ/ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, sin−1, cos−1, etc., ಅಂಕನಗಳನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ಆರ್ಕ್‌‌ಸೈನ್‌/ಸಿನ್‌, ಆರ್ಕ್‌‌ಕಾಸ್‌‌, etc.ಗಳ ಬದಲಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರ್ಕ್‌‌ಸೈನ್‌/ಸಿನ್‌, ಆರ್ಕ್‌‌ಕಾಸ್‌‌, etc., ಅಂಕನಗಳು ಪರಿಣತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಘಾತಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಗುಣನಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮ/ವಿಪರ್ಯಾಯ ಹಾಗೂ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಲೋಮ/ವಿಪರ್ಯಾಯಗಳ ನಡುವಿನ ಗೊಂದಲವನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿದಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸೈನ್‌, ಕೊಸೈನ್‌ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ ನಿಯಮಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

a, b ಹಾಗೂ cಯಷ್ಟು ಉದ್ದವಿರುವ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ α, β ಹಾಗೂ γ ಬೆಲೆಗಳ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ, ಅಥವಾ ಸೈನ್‌ ನಿಯಮವು,[೧೦] ಬದಿಯೊಂದರ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಎಂದರೆ

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

ಈ ಅನುಪಾತವು ವೃತ್ತ ಸೂಚಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿವೃತ್ತಿಸಿದ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ \alpha, \beta ಹಾಗೂ \gamma ಎಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು \sin\alpha, \sin\beta ಹಾಗೂ \sin\gammaಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದಕ್ಕೆ ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ವ್ಯಾಸ 1ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದವು \sin\alpha, \sin\beta ಹಾಗೂ \sin\gamma ಆಗಿರುತ್ತದೆ. \sin\alphaದಷ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬದಿಯು \alphaದಷ್ಟು ಬೆಲೆಯಿರುವ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ, etc.

ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ, ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್‌ ನಿಯಮವು, ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಅವ್ಯಕ್ತ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಇತರೆ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದ ಹಾಗೂ ಅವ್ಯಕ್ತ ಬದಿಗೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ:

a, b, c ಬೆಲೆಯ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಾಗೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ \alpha, \beta, \gamma ಬೆಲೆಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತ ಉದ್ದಗಳಾದ a ಹಾಗೂ b ಗೊತ್ತಿರುವಾಗ, ಹಾಗೂ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ \gamma (ಅಥವಾ ಅವ್ಯಕ್ತ ಬದಿ cಗೆ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿರುವ ಕೋನ) ತಿಳಿದಿರುವಾಗ, ಮೂರನೇ ಬದಿ cಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಕೆಳಕಂಡ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು :

c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)
b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)
a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಉದ್ದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಗಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು :

\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)
\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)
\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಿಯಮ/ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಕ ನಿಯಮವು ಉಳಿದೆರಡರಷ್ಟು ಪರಿಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಅದು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ:

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಎರಡು ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹಾಗೂ ಕೋನಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಬದಿಯೊಂದರ ಬೆಲೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಬದಿ ಅಥವಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನವು (ಚಪ್ಪಟೆ/ಮಟ್ಟಸ) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವರ್ತುಲಾಕೃತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ವರ್ತುಲಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಹಾಗೂ ಅತಿಪರವಲಯಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅತಿಪರವಲಯಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಸಮತಲೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180°ಯಷ್ಟು ಇರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅತಿಪರವಲಯಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180°ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಹಾಗೂ ವರ್ತುಲಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180°ಯನ್ನು ಮೀರಿರುತ್ತದೆ. ಜೀನಿನ ಮೇಲ್ಮೈನಂತಹಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ರೇಖಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಅತಿಪರವಲಯಕ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು, ಹಾಗೂ ವರ್ತುಲದಂತಹಾ ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ರೇಖಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ವರ್ತುಲಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬದುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಬೃಹತ್‌ ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು ರೇಖಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 180°ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನವೊಂದನ್ನು ವರ್ತುಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಯು 90°ಗೆ ಸಮಾನವಿರುವಂತೆ, ಹಾಗೂ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ 270°ರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುವಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸ/ರೇಖಿಸಬಹುದು.

ಇವನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಆಕರಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

  1. Weisstein, Eric W., "Equilateral Triangle", MathWorld.
  2. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ ಸಮಾನ ಬದಿ/ಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ i.e. ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಮಾನ ಬದಿ/ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪರ್ಯಾಯ ನಿರೂಪಣೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ವಿವಿಧ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , i.e. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಶೇಷ ರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ . ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ Wiktionary ನಿರೂಪಣೆ, Weisstein, Eric W., "Isosceles triangle", MathWorld.
  3. Weisstein, Eric W., "Isosceles Triangle", MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W., "Scalene triangle", MathWorld.
  5. Zeidler, Eberhard (2004). Oxford User's Guide to Mathematics. Oxford University Press. p. 729. ISBN 978-0-19-850763-5. 
  6. ಯಾವುದೇ n -ಬದಿಗಳಿರುವ ಬಹಿರ್ವ್ರಕ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ n ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಮೊತ್ತವು 360 ಕೋನಾಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  7. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ "ಕನ್ನಡಿ ಬಿಂಬಗಳೂ" ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
  8. ಏಕರೂಪತೆಯ/ಸರ್ವಸಮತೆಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಗಳೂ ಕೂಡಾ ಸದೃಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಆದರೆ ಸದೃಶ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಯುಗ್ಮ/ಯುಗಳ/ಜೋಡಿಗಳು ಏಕರೂಪತೆ/ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.
  9. Weisstein, Eric W., "Triangle area", MathWorld.
  10. Prof. David E. Joyce. "The Laws of Cosines and Sines". Clark University. Retrieved 2008-11-01. 

ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:CommonsCat

"http://kn.wikipedia.org/w/index.php?title=ತ್ರಿಕೋನ&oldid=364980" ಇಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ