ಸದಸ್ಯ:Greeshma greesh/WEP 2018-19 dec

ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search
IterationAJ3.jpg
Mumbai University Buildings.jpg 09.jpg

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಪ್ರೆಕರ್ (೧೯೦೫-೧೯೮೬):[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಭಾರತೀಯ ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದು, ಕಪ್ರೇಕರ್, ಹರ್ಷದ್ ಮತ್ತು ಸ್ವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು ಅದಕ್ಕೆ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ತರಬೇತಿಯಿಲ್ಲದೆಯೂ ಮತ್ತು ಶಾಲಾಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿಯೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದರೂ, ಅವರು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮನರಂಜನಾ ಗಣಿತ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದರು.

ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಕಪ್ರೇಕರ್ ತಮ್ಮ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಥಾನೇನಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಪುಣೆಯಲ್ಲಿನ ಫರ್ಗುಸನ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ೧೯೨೭ ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಕೃತಿಗಾಗಿ ರಾಂಗ್ಲರ್ ಆರ್. ಪಿ. ಪರಂಜೆ ಗಣಿತ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಗೆದ್ದರು.ಅವರು ಮುಂಬೈ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದರು, ೧೯೨೯ ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅವರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತಿಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ (೧೯೩೦-೧೯೬೨) ಅವರು ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ, ಭಾರತದ ನಾಶಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಾಂಶಗಳು, ಮಾಯಾ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತಹ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾ, ಅನೇಕ ಕಡೆ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅವರು "ಗಣಿತನಾಂದ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಶೋಧನೆಗಳು:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರ್ಯ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾ, ಕಪ್ರೇಕರ್ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಕಾನ್ಸ್ಟಂಟ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ದೇವ್ಲಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಮ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವರು ಕಾಪರ್ನಿಕಸ್ ಮಾಯಾ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ವಿಧದ ಮಾಯಾ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಾ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ತಜ್ಞರು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯತಕಾಲಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು ಅಥವಾ ಖಾಸಗಿಯಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು, ಆದರೆ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಬರೆದಾಗ ಅಂತರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಖ್ಯಾತಿಯು ಬಂದಿತು.[೧] ಮಾರ್ಚ್ ೧೯೭೫ ರಲ್ಲಿ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೇರಿಕನ್ಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಗೇಮ್ಸ್ನ ಕಪ್ರೇಕರ್ ಬಗ್ಗೆ. ಇಂದು ಅವರ ಹೆಸರು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಗಣಿತ ತಜ್ಞರು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗುಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರು.

ಕಪ್ರೆಕರ್ ಸ್ಥಿರ:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

೧೯೪೯ ರಲ್ಲಿ, ಕಪ್ರೇಕರ್ ೬೧೭೪ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿ ಪತ್ತೆ, ತದನಂತರ ಕಪ್ರೇಕರ್ ಸ್ಥಿರ ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಅವರು ೬೧೭೪ ಅನ್ನು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಿದ್ದಾರೆಂದು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಅತಿಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳ ಸಮೂಹದಿಂದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ೧೨೩೪ ರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಮಗೆ:

೪೩೨೧ − ೧೨೩೪ = ೩೦೮೭, ನಂತರ
೮೭೩೦ − ೦೩೭೮ = ೮೩೫೨, ಮತ್ತು
೮೫೩೨ − ೨೩೫೮ = ೬೧೭೪.
ಈ ಹಂತದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ (೭೬೪೧ - ೧೪೬೭ = ೬೧೭೪). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ,ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅದು ಏಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.[೨]
೩ ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವಂತಿರುವ ಸ್ಥಿರವಾದವು ೪೯೫ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಮೂಲ ೧೦ ರಲ್ಲಿ ೩ ಅಥವಾ ೪ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಸ್ಥಿರ ಒಂದೇ ಇರುತ್ತದೆ; ೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಉದ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಬೇಸ್ಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ನ ವಾಡಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಬಹು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕಪ್ರೆಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆ:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಪ್ರೆಕರ್ರವರು ಕಪ್ರೆಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ.ಒಂದು ಕಪ್ರೆಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ವರ್ಗಗೊಂಡರೆ, ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ೪೫, ರಿಂದ ೪೫೨ = ೨೦೨೫, ಮತ್ತು ೨೦ + ೨೫ = ೪೫ , ೯, ೫೫, ೯೯ ಇತ್ಯಾದಿ.) [೩]ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ೧೦೦, ೧೦೦೨ = ೧೦೦೦೦, ಮತ್ತು ೧೦೦ + ೦೦ = ೧೦೦ ಆದರೂ ಕಪ್ರೇಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು, ಒಂದು ಚೌಕದ ಬಲಗಡೆಯಿರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಎಡಗಡೆಯ ಅಂಕೆಗಳು ರಚಿಸಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು, ಕಪ್ರೆಕರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ.
೯, ೯೯, ೯೯೯, ... ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮೂಲ ೧೦ ರಲ್ಲಿನ ಕಪ್ರೆಕರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಸಂಖ್ಯೆ ಚದರ ವಿಭಜನೆ
೭೦೩ (೭೦೩)^೨=೪೯೪೨೦೯ ೪೯೪+೨೦೯=೭೦೩
೨೭೨೮ (೨೭೨೮)^೨=೭೪೪೧೯೮೪ ೭೪೪+೧೯೮೪=೨೭೨೮
೫೨೯೨ (೫೨೯೨)^೨=೨೮೦೦೫೨೬೪ ೨೮+೦೦೫೨೬೪=೫೨೯೨
೮೫೭೧೪೩ (೮೫೭೧೪೩)^೨=೭೩೪೬೯೪೧೨೨೪೪೯ ೭೩೪೬೯೪+೧೨೨೪೪೯=೮೫೭೧೪೩

ದೇವ್ಲಾಲಿ ಅಥವಾ ಸ್ವ ಸಂಖ್ಯೆ:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

೧೯೬೩ ರಲ್ಲಿ, ಕಪ್ರೆಕರ್ ಅವರು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅವುಗಳು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ೨೧ ಒಂದು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ೧೫: ೧೫ + ೧ + ೫ = ೨೧ ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ೨೦ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವಂತಿಲ್ಲ. ಅವರು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿದರು. ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದೇವ್ಲಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವನು ವಾಸಿಸಿದ ಪಟ್ಟಣ ನಂತರ); ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಅವರ ಆದ್ಯತೆಯ ಹೆಸರಾಗಿತ್ತು, ಸ್ವಯಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಹರಡಿತು.ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕೊಲಂಬಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು.

ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಪ್ರೆಕರ್ ಅವರು ಹರ್ಷದ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರು, ಇದರ ಅರ್ಥ "ಸಂತೋಷವನ್ನು " (ಸಂಸ್ಕೃತ ಹರ್ಷ, ಸಂತೋಷ + ಡಾ ತದ್ದಿತ ಪ್ರತ್ಯಾಯ ,ಕಾರಣ). ಇವುಗಳು ತಮ್ಮ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಗುಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ೧೨, ೧ + ೨ = ೩ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆ.[೪] ಕೆನಡಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಇವಾನ್ ಎಮ್. ನಿವೆನ್ ಅವರ ೧೯೭೭ ರ ಉಪನ್ಯಾಸದ ನಂತರ ಇವುಗಳನ್ನು ನಂತರ ನಿವೆನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಎಲ್ಲಾ ನೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಹರ್ಷದ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಕೇವಲ ೧, ೨, ೪, ಮತ್ತು ೬) ಎಲ್ಲಾ-ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಹರ್ಷದ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆ, ಆವರ್ತನ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಇಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಡೆಮ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಕಪ್ರೆಕರ್ ಕೂಡ ಡೆಮ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ನಂತರದ ಜಿಐಪಿ ರೈಲ್ವೆ ೩೦ ಮೈಲುಗಳಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದ ಹೆಸರನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಜಿಐಪಿ ರೈಲ್ವೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದರು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದವುಗಳೆಂದರೆ ವಂಡರ್ಫುಲ್ ಡೆಮ್ಲೋ ಸಂಖ್ಯೆ ೧, ೧೨೧, ೧೨೩೨೧, ೧೨೩೪೩೨೧ .... ೧, ೧೧, ೧೧೧,೧೧೧೧ ರ ಮರುಪೂರಣಗಳ ಚೌಕಗಳಾಗಿವೆ.[೫]

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

  1. Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica. 15: 244–245.
  2. Dilip M. Salwi (24 January 2005). "Dattaraya Ramchandra Kaprekar". Archived from the original on 16 November 2007. Retrieved 30 November 2007.
  3. Athmaraman, R. (2004). The Wonder World of Kaprekar Numbers. Chennai (India): The Association of Mathematics Teachers of India.
  4. Kaprekar, D. R. (1974). "The Copernicus Magic Square". Indian Journal of History of Science. 9 (1).
  5. Dilip M. Salwi (24 January 2005). "Dattaraya Ramchandra Kaprekar". Archived from the original on 16 November 2007. Retrieved 30 November 2007.