ಸದಸ್ಯ:Akshaya361/ನನ್ನ ಪ್ರಯೋಗಪುಟ

ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search
ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್
Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg
ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ೧೮೬೩ರಲ್ಲಿ
ಜನನಜಾರ್ಜ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್
೧೭ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ೧೮೨೬
ಬ್ರೆಸ್ಲೆನ್ಜ್, ಹ್ಯಾನೋವರ್ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯ (ಆಧುನಿಕ ದಿನ ಜರ್ಮನಿ)
ಮರಣ20 ಜುಲೈ 1866(1866-07-20) (ವಯಸ್ಸು 39)
ವಾಸಸ್ಥಳಹ್ಯಾನೋವರ್ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯ
ರಾಷ್ಟ್ರೀಯತೆಜರ್ಮನಿ
ಕಾರ್ಯಕ್ಷೇತ್ರ
ಸಂಸ್ಥೆಗಳು[ಗೋಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ
ಅಭ್ಯಸಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾಪೀಠಗೋಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ,ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ
ಮಹಾಪ್ರಬಂಧಗ್ರುಂಡ್ಲಾಜೆನ್ ಫರ್ ಎನೆ ಆಲ್ಜೆಮಿನ್ ಥಿಯೊರಿ ಡೆ ಫಂಕಿಶನ್ ಇನೆರ್ ವೆರೆನ್ಡಿಲಿಹೆನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗ್ರೋಬ್ (1851)
ಗಮನಾರ್ಹ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳುಗುಸ್ಟಾವ್ ರೋಚ್
ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಸೆಲ್ಲಿಂಗ್
ಪ್ರಸಿದ್ಧಿಗೆ ಕಾರಣList of topics named after Bernhard Riemann
ಪ್ರಭಾವಗಳುಪೀಟರ್ ಗುಸ್ಟಾವ್ ಲೆಜೆನ್ಯೂ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್
ಹಸ್ತಾಕ್ಷರ

ಜಾರ್ಜ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ (ಜರ್ಮನ್: ೧೭ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ೧೮೨೬ - ೨೦ ಜುಲೈ ೧೮೬೬) ಒಬ್ಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾಗಿದ್ದು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇವರು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ರೈಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ರೈಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಪರಿಚಯ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ನೆಲವನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತಿವೆ. ರಿಮ್ಯಾನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಧಾನ-ಎಣಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಕುರಿತಾದ ಆತನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ೧೮೫೯ ರ ಕಾಗದವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಭಾವೀ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅವರ ಪ್ರವರ್ತಕ ಕೊಡುಗೆಗಳ ಮೂಲಕ, ರೈಮನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು. ಅವರು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರೆಂದು ಅನೇಕರು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಆರಂಭಿಕ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

2009 11 riemann 008.jpg

ರಿಮನ್ ೧೮೨೬ ರ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ೧೭ ರಂದು ಹ್ಯಾನೊವರ್ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದ ಡನೆನ್ಬರ್ಗ್ ಬಳಿಯ ಬ್ರಸೆಲೆಂಜ್ ಎಂಬ ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವನ ತಂದೆ, ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರಿಮನ್, ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಯುದ್ಧಗಳಲ್ಲಿ ಹೋರಾಡಿದ ಬ್ರೆಸ್ಲೆನ್ಜ್ನ ಬಡ ಲೂಥರನ್ ಪಾದ್ರಿ. ರಿಮಾನ್ ಆರು ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯವರಾಗಿದ್ದರು, ಹಲವಾರು ನರಗಳ ಕುಸಿತದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದರು. ರಿಯಾಮನ್ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಗಣನೀಯವಾದ ಗಣಿತದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು, ಆದರೆ ವಯಸ್ಸಿನಿಂದಲೂ, ಅಂಜುಬುರುಕವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುವ ಭಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದರು.

ಶಿಕ್ಷಣ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

Riemann surface sqrt.jpg

೧೮೪೦ ರಲ್ಲಿ, ರೈಮನ್ ಹ್ಯಾನೋವರ್ಗೆ ತನ್ನ ಅಜ್ಜಿಯೊಂದಿಗೆ ವಾಸಿಸಲು ಮತ್ತು ಲೈಸಿಯಮ್ (ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ) ಹಾಜರಾಗಲು ಹೋದರು. ೧೮೪೨ ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಅಜ್ಜಿಯ ಮರಣದ ನಂತರ, ಅವರು ಜೋಹಾನ್ನಿಯಮ್ ಲುನೆಬರ್ಗ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ಗೊಂಡರು. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ರೈಮನ್ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬೈಬಲ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಮನಸೆಳೆದರು. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅವರ ಸಮರ್ಥ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಅವರ ಶಿಕ್ಷಕರು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತನ್ನ ಬೋಧಕನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮೀರಿಸಿತು. ೧೮೪೬ ರಲ್ಲಿ, ೧೯ ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ, ಪಾದ್ರಿಯಾಗಲು ಮತ್ತು ಅವರ ಕುಟುಂಬದ ಹಣಕಾಸಿನ ಸಹಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ದೇವತಾಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು.

೧೮೪೬ ರ ವಸಂತಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ನಂತರ ಅವರ ತಂದೆ, ರೈಮನ್ರನ್ನು ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಿದನು. ಅಲ್ಲಿ ಆತ ಥಿಯೊಲಾಜಿ ಪದವಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಯೋಜಿಸಿದನು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಮ್ಮೆ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಚ್ ಗಾಸ್ (ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ರೈಮನ್ ತನ್ನ ಮತಧರ್ಮಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಗಾಸ್ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ; ತನ್ನ ತಂದೆಯ ಅನುಮೋದನೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ, ರೈಮನ್ ೧೮೪೭ ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರು.

ರಿಮಾನ್ ೧೮೫೪ ರಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮೊದಲ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದನು. ಇದು ರೈಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹಂತವನ್ನು ರೂಪಿಸಿತು. ೧೮೫೭ ರಲ್ಲಿ, ಗೋಂಟಿಂಗ್ನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಸ್ಥಾನಮಾನಕ್ಕೆ ರೈಮನ್ ಉತ್ತೇಜಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಿತ್ತು. ಈ ಪ್ರಯತ್ನವು ವಿಫಲವಾದರೂ, ರೈಮನ್ಗೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಸಂಬಳ ನೀಡಲಾಯಿತು ೧೮೫೯ ರಲ್ಲಿ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಮರಣದ ನಂತರ, ಅವರು ಗೋಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗದ ಮುಖ್ಯಸ್ಥರಾಗಿ ನೇಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು. ಭೌತಿಕ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕೇವಲ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೊದಲಿಗನೂ ಸಹ ಅವನು. ೧೮೬೨ ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಎಲೀಸ್ ಕೊಚ್ಳನ್ನು ವಿವಾಹವಾದರು.

ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಟೆಸ್ಟಂಟ್ ಕುಟುಂಬ ಮತ್ತು ಸಾವು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ರೀಮನ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಕೃತಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ತೆರೆದವು. ಇವುಗಳು ತರುವಾಯ ರೀಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಬೀಜಗಣಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ​​ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲೂ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ಭಾಗವು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಡಿಪಾಯದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ನವೀನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ರಿಯಾಮಾನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸರಿಯಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರೀಮನ್ ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಗಾಸ್ ಸ್ವತಃ ತನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುವನ್ನು ರೈಮನ್ ವಕ್ರತೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್), ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು; ಶೂನ್ಯೇತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮಾದರಿಗಳು.

ರಿಯಾಮಾನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

Riemann Minimal Surface.png

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ರೀಮನ್ರ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅದು ಬಾಗಿದ ಅಥವಾ ಬಾಗಿದ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯು ಒಂದು ಬಹುವಿಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ರಿಮ್ಯಾನ್ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದು ಎಷ್ಟು ವಿರೂಪಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ. ಇದು ಅವನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗ ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರು ಆಧುನಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಏಕೈಕ, ಅವರು ಈಗ ತನ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವನು ಮಾಡಿದ ಊಹೆಗಳ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ರೈಮನ್ ಕಲ್ಪಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು.

ರೀಮನ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಹಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಿವೆ. ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ (ಈಗಾಗಲೇ ಲಿಯೋನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅವನು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಅದರ ಹಿಂದೆ ಒಂದು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಭಾಗ ೧/೨ ರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪ-ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಶೂನ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯದ ಸಂಕಲನದ ಮೂಲಕಗೆ ನಿಖರ "ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರ" ನೀಡಿದರು.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

[೧] [೨] [೩]

[೪]

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
  2. https://www.britannica.com/biography/Bernhard-Riemann
  3. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Riemann.html
  4. https://famous-mathematicians.com/bernhard-riemann