ಸದಸ್ಯ:1840367POOJA?ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ (ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ)

ವಿಕಿಪೀಡಿಯ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search



ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸಾಲು ವಿಭಾಗಗಳು
ಒಂದು ಸುವರ್ಣ ಅಯಾತ ಉದ್ದವು a ಕಡೆ ಒಂದು ಚದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಹರಿಸಿದಾಗ ಉದ್ದವಾದ ಬದಿಗೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಬದಿ b ಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಇದೇ ಮುಂದೆ ಅಡ್ಡ ಒಂದು + b ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅಡ್ಡ ಒಂದು ಜೊತೆ ಚಿನ್ನದ ಆಯಾತ. ಇದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾದರೆ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ . ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, a ಮತ್ತು b ಯೊಂದಿಗೆ a   >   b  >   0,

ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ಫಿ ( ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. [lower-alpha ೧] ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ , ಇದರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ:

ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಗೋಲ್ಡನ್ ಮೀನ್ ಅಥವಾ ಗೋಲ್ಡನ್ ವಿಭಾಗ (ಲ್ಯಾಟಿನ್: ಸೆಕ್ಟಿಯೋ ಆರಿಯಾ ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. [೧] [೨]ಇದರ ಇತರ ಹೆಸರುಗಳು ತೀವ್ರ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ ಅರ್ಥ, [೩] ಗೋಲ್ಡನ್ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸುವರ್ಣ ಕಟ್, ಮಧ್ಯದ ವಿಭಾಗ, ದೈವಿಕ ಪ್ರಮಾಣ, ದೈವಿಕ ವಿಭಾಗ [೪] ಮತ್ತು ಚಿನ್ನದ ಸಂಖ್ಯೆ. [೫] [೬] [೭]

ಯುಕ್ಲಿಡ್‌ನ ನಂತರದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ.ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಚಿನ್ನದ ಆಯತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಆಯತವನ್ನು ಒಂದೇ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಂತಹ ಮಾನವ ನಿರ್ಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಶಯಾಸ್ಪದ ಫಿಟ್‌ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. [೮] ಎಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಸ್ಯ ಭಾಗಗಳ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲೆ ಕಾರ್ಬೂಸಿಯರ್ ಮತ್ತು ಸಾಲ್ವಡಾರ್ ಡಾಲಿ ಸೇರಿದಂತೆ ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೆಲವು ಕಲಾವಿದರು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ-ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಚಿನ್ನದ ಆಯತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಉದ್ದದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತವು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಈ ಅನುಪಾತವು ಕಲಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.

ಫಿ ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ (φ ಅಥವಾ φ) ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದೊಡ್ಡಕ್ಷರ ರೂಪ (ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ, 1 / φ. [೯]

ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು φ ವೇಳೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ

φ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎಡ ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು,ಭಾಗ ಸರಳಗೊಳಿಸಿ / ಬಿ ಬದಲಾಗಿ ಮೂಲಕ = 1 / φ,

ಆದ್ದರಿಂದ,

Φ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ ನೀಡುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು

ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ φ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವು, φ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತವು ಕನಿಷ್ಠ 2,400 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ವಿಶೇಷ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಕಾರಣ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; [೧] ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೆಂಟಾಗ್ರಾಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು "ತೀವ್ರ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತ" (ಚಿನ್ನದ ವಿಭಾಗ) ಎಂದು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. [೧] ಒಂದು ಕಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ರಿ.ಪೂ 5 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಭಾಗವಲ್ಲ ( ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ) ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಗೊಳಿಸಿತು . [೧] ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ( c. 300 BC ) ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು [೧] [lower-alpha ೨] ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: [೧೦]  

ಅನುಪಾತದ ದಶಮಾಂಶ ಅಂದಾಜು ಬರೆದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಮೈಕೆಲ್ ಮಾಸ್ಟ್ಲಿನ್.

ಮುಂದಿನ ಸಹಸ್ರಮಾನದಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಬು ಕಾಮಿಲ್ (ಸು. 850-930) ಇದನ್ನು ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಕಾಗನ್‌ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡರು; ಅವರ ಬರಹಗಳು ಫಿಬೊನಾಕಿ (ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಆಫ್ ಪಿಸಾ) (ಸಿ. 1170–1250) ಅವರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು, ಅವರು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು, ಆದರೂ ಅದನ್ನು ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಿಲ್ಲ. [೧] ಲುಕಾ ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ಡಿವಿನಾ ಅನುಪಾತ ( 1509 ) ಎಂದು ಹೆಸರಿಟ್ಟರು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ನೋಟ ಸೇರಿದಂತೆ ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿದರು. [೭] [೧] ಈ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿ, ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೆಕ್ಟಿಯೊ ಆರಿಯಾ ('ಗೋಲ್ಡನ್ ಸೆಕ್ಷನ್') ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. [೧೧] 16 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ರಾಫೆಲ್ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯವರು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. [೧]

18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಅಬ್ರಹಾಂ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ, ಡೇನಿಯಲ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಅವರು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ಆಧಾರಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಫೈಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 1843 ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಫಿಲಿಪ್ ಮೇರಿ ಬಿನೆಟ್ ಅವರು ಮರುಶೋಧಿಸಿ, ಅವರಿಗೆ ಇದನ್ನು "ಬಿನೆಟ್‌ನ ಸೂತ್ರ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. [೧೨] ಮಾರ್ಟಿನ್ ಓಮ್ 1835 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಪದವನ್ನು ಗೋಲ್ಡರ್ ಷ್ನಿಟ್ ('ಗೋಲ್ಡನ್ ಸೆಕ್ಷನ್') ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು. [೧೩] ಜೇಮ್ಸ್ ಸುಲ್ಲಿ 1875 ರಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. [೧೪]

1974 ರಲ್ಲಿ, ರೋಜರ್ ಪೆನ್ರೋಸ್ ಪೆನ್ರೋಸ್ ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, [೧೫] ಇದು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರ ಎರಡು ರೋಂಬಿಕ್ ಅಂಚುಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ. [೧೬] ಇದು 1980 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಡಾನ್ ಶೆಚ್ಟ್‌ಮ್ಯಾನ್‌ರ ಕ್ವಾಸಿಕ್ರಿಸ್ಟಲ್‌ಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, [೧೭] [೧೮] ಇವು ಕೆಲವು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. [೧] [೧೯]

ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಗ್ರೇಟ್ ಮಸೀದಿ ಆಫ್ ಕೈರೋವಾನ್ (670) ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯು 2004 ರ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಿನ್ಯಾಸದಾದ್ಯಂತ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. [೨೦] ಒಟ್ಟಾರೆ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರ್ಥನಾ ಸ್ಥಳ, ನ್ಯಾಯಾಲಯ ಮತ್ತು ಮಿನಾರ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮೂಲ ಯೋಜನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನರ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. [೨೦]

ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಕ್ಷ್-ಇ ಜಹಾನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ (1629) ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಲೊಟ್ಫೊಲ್ಲಾ ಮಸೀದಿಯ ವಿನ್ಯಾಸಕರು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆಂದು ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ . [೨೧]

ಆಧುನಿಕ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಶೈಲಿಗೆ ನೀಡಿದ ಕೊಡುಗೆಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಸ್ವಿಸ್ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿ ಲೆ ಕಾರ್ಬೂಸಿಯರ್ ಅವರ ವಿನ್ಯಾಸ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಾಮರಸ್ಯ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದರು. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಗಣಿತದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಲೆ ಕಾರ್ಬೂಸಿಯರ್‌ನ ನಂಬಿಕೆಯು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸರಣಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅವರು "ಕಣ್ಣಿಗೆ ಗೋಚರಿಸುವ ಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರರೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದರು. ಮತ್ತು ಈ ಲಯಗಳು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮೂಲದಲ್ಲಿವೆ. ಅವರು ಸಾವಯವ ಅನಿವಾರ್ಯತೆಯಿಂದ ಮನುಷ್ಯನಲ್ಲಿ ಮರುಕಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದೇ ಉತ್ತಮ ಅನಿವಾರ್ಯತೆಯು ಮಕ್ಕಳು, ವೃದ್ಧರು, ಅನಾಗರಿಕರು ಮತ್ತು ಕಲಿತವರು ಗೋಲ್ಡನ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. " [೨೨] [೨೩]

ಲಿ ಕೊರ್ಬಸೈಯರ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತನ್ನ ಸುವರ್ಣಾಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಅನುಪಾತ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಅವರು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಟ್ರುವಿಯಸ್, ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯವರ " ವಿಟ್ರುವಿಯನ್ ಮ್ಯಾನ್ ", ಲಿಯಾನ್ ಬ್ಯಾಟಿಸ್ಟಾ ಆಲ್ಬರ್ಟಿಯವರ ದೀರ್ಘ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿ ನೋಡಿದರು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದ ನೋಟ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮಾನವ ದೇಹದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಇತರರು. ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಜೊತೆಗೆ, ಲೆ ಕಾರ್ಬೂಸಿಯರ್ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಾನವ ಅಳತೆಗಳು, ಫೈಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಯುನಿಟ್ ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅವರು ಮಾನವನ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಮಾದರಿ ಮಾನವ ದೇಹದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಕ್ಕುಳದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರು, ನಂತರ ಆ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೊಣಕಾಲು ಮತ್ತು ಗಂಟಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗ ಮಾಡಿದರು. ಅವರು ಈ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು . ವಿಲ್ಲಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ನೆಲದ ಯೋಜನೆ, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯು ಚಿನ್ನದ ಆಯತಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. [೨೪]

ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸ್ವಿಸ್ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿ ಮಾರಿಯೋ ಬೊಟ್ಟಾ ಅವರ ಅನೇಕ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಆಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ವಿಟ್ಜರ್‌ಲ್ಯಾಂಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವರು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಖಾಸಗಿ ಮನೆಗಳು ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳು, ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಒರಿಗ್ಲಿಯೊದಲ್ಲಿ ಅವರು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ ಮನೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಕೇಂದ್ರ ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಮನೆಯ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. [೨೫]

ಕಲೆ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿಯ ಡಿವಿನಾ ಅನುಪಾತದಿಂದ (1509) ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್‌ನ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ವಿವರಣೆ

ಲುಕಾ ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿಯ ಮೂರು ಸಂಪುಟಗಳ ಕೃತಿಯಾದ ಡಿವಿನಾ ಅನುಪಾತ ( ದೈವಿಕ ಅನುಪಾತ ) 1509 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿ, ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕನ್ ಫ್ರೈಯರ್, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತಿದ್ದನು. ಆದರೆ ಅವನಿಗೆ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು ಕಲೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿ ಇತ್ತು. ಡಿವಿನಾ ಅನುಪಾತವು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದ ಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು. ಪ್ಯಾಸಿಯೊಲಿ ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತದ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾದ, ಸಾಮರಸ್ಯದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುವಂತೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದನೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಲಿವಿಯೊ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1799 ರಲ್ಲಿ ದೋಷದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಸೆಳೆದರು ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿಟ್ರುವಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. [೧] ಪ್ಯಾಸಿಯೋಲಿ ಕ್ಯಾಥೊಲಿಕ್ ಧಾರ್ಮಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಂಡರು. ಇದು ಅವರ ಕೆಲಸದ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿ ಅವರ ಡಿವಿನಾ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಚಿತ್ರಣಗಳು [೨೬] , ಅವರು ತಮ್ಮ ವರ್ಣಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ಕೆಲವರು ಉಹಿಸಿದ್ದಾರೆ . ಆದರೆ ಅವರ ಮೋನಾ ಲಿಸಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಅವರ ಸ್ವಂತ ಬರಹಗಳು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. [೨೭] ಅಂತೆಯೇ, ವಿಟ್ರುವಿಯನ್ ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಆಕೃತಿಯ ಅನುಪಾತವು ನಿಜವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪಠ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. [೨೮] [೨೯]

ಮಟಿಲಾ ಘೈಕಾ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತರಾದ ಸಾಲ್ವಡಾರ್ ಡಾಲಿ, [೩೦] ತಮ್ಮ ಮೇರುಕೃತಿ ದಿ ಸ್ಯಾಕ್ರಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ದಿ ಲಾಸ್ಟ್ ಸಪ್ಪರ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳು ಚಿನ್ನದ ಆಯತ. ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್, ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ, ಯೇಸುವಿನ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ. [೨೭] [೩೧]

1999 ರಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ವಿಭಿನ್ನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ವರ್ಣಚಿತ್ರಕಾರರ 565 ಕಲಾಕೃತಿಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಈ ಕಲಾವಿದರು ತಮ್ಮ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್‌ಗಳ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವರ್ಣಚಿತ್ರಗಳ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತವು 1.34 ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದೆ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಲಾವಿದರ ಸರಾಸರಿ 1.04 (ಗೋಯಾ) ದಿಂದ 1.46 (ಬೆಲ್ಲಿನಿ) ವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. [೩೨] ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ಯಾಬ್ಲೊ ಟೋಸ್ಟೊ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕಲಾವಿದರ 350 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ 100 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಚಿನ್ನದ ಆಯತ ಮತ್ತು ರೂಟ್ -5 ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಇತರರು ರೂಟ್ -2, 3, 4 ಮತ್ತು 6 ರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. [೩೩]

ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಚಿತ್ರಣ. ಜಾನ್ ಟ್ಚಿಚೋಲ್ಡ್ ಪ್ರಕಾರ: "ಪುಟ ಅನುಪಾತ 2: 3. ಅಂಚು ಪ್ರಮಾಣ 1: 1: 2: 3. ಪಠ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುವರ್ಣ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರಿಸಲಾಗಿದೆ. " [೩೪]

ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ನಿಜವಾದ ಸುಂದರ ಪುಟದ ಅನುಪಾತಗಳು 2: 3, 1: √3, ಮತ್ತು ಸುವರ್ಣ ವಿಭಾಗದಿಂದ ವಿಚಲನವಾಗಿದ್ದ ಸಮಯವಿತ್ತು. 1550 ಮತ್ತು 1770 ರ ನಡುವೆ ತಯಾರಾದ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಧ ಮಿಲಿಮೀಟರ್ ಒಳಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. [೩೫]

ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ದೈನಂದಿನ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಸ್ಪೀಟೆಲೆಗಳು, ಪೋಸ್ಟ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು, ಪೋಸ್ಟರ್‌ಗಳು, ಲೈಟ್ ಸ್ವಿಚ್ ಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಲಿವಿಷನ್‌ಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ. [೩೬] [೩೭] [೩೮] [೩೯]

ಎರ್ನೆ ಲೆಂಡ್ವಾಯ್ ಅವರು ಬೇಲಾ ಬಾರ್ಟೆಕ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಎದುರಾಳಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಸ್ಕೇಲ್. [೪೦] ಇತರ ಸಂಗೀತ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. [೧] ಫ್ರೆಂಚ್ ಸಂಯೋಜಕ ಎರಿಕ್ ಸ್ಯಾಟಿ ಸೊನ್ನೆರೀಸ್ ಡೆ ಲಾ ರೋಸ್ + ಕ್ರೋಯಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಅವರ ಹಲವಾರು ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ (1 ನೇ ಸರಣಿ, 1905) ಡೆಬಸ್ಸಿಯ ರಿಫ್ಲೆಟ್ಸ್ ಡ್ಯಾನ್ಸ್ ಎಲ್ (ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು) ಸಂಗೀತದಲ್ಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಕೀಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು 34, 21, 13 ಮತ್ತು 8, ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಪರಾಕಾಷ್ಠೆಯು ಫೈ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ ". [೪೧]

ಟ್ರೆಜೈಸ್ ಆಂತರಿಕ ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು "ಗಮನಾರ್ಹ" ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಲಿಖಿತ ಅಥವಾ ವರದಿಯಾದ ಪುರಾವೆಗಳು ಡೆಬಸ್ಸಿ ಪ್ರಜ್ಞಾಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಯಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. [೪೨]

ಪರ್ಲ್ ಡ್ರಮ್ಸ್ ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮಾಸ್ಟರ್ಸ್ ಪ್ರೀಮಿಯಂ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಳಿ ದ್ವಾರಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬಾಸ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ನಾವೀನ್ಯತೆಯ ಪೇಟೆಂಟ್‌ಗಾಗಿ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಿದೆ ಎಂದು ಕಂಪನಿ ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದೆ. [೪೩]

ಪ್ರಕೃತಿ[ಬದಲಾಯಿಸಿ]

ಬಹು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಅಯೋನಿಯಮ್ ಟ್ಯಾಬುಲಿಫಾರ್ಮ್‌ನ ವಿವರ ( ಪ್ಯಾರಾಸ್ಟಿಚಿ )

ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ "ಪುರುಷ ಮತ್ತು ಮಹಿಳೆಯ ಚಿತ್ರಣವು ದೈವಿಕ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಸಸ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ". [೧]

ಅಡಾಲ್ಫ್ ಝಿಸಿಂಗ್ಗೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಆಸಕ್ತಿ ಇತ್ತು. ಸಸ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿನ ಸಿರೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಎಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಂಬೆಗಳಂತಹ ಭಾಗಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರಕ್ತನಾಳಗಳು ಮತ್ತು ನರಗಳ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಂಯುಕ್ತಗಳ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಹರಳುಗಳ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ , ಕಲಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಬಳಕೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕಾನೂನಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಅವನು ನೋಡಿದನು. [೪೪] [೪೫] ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ ಆಧಾರಿತ ಮಾನವ ದೇಹದ ಅನುಪಾತಕ್ಕಾಗಿ ಅವರ ಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಝಿಸಿಂಗ್ 1854 ರಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕಾನೂನಿನೊಂದನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ . ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕೃತಿ ಮತ್ತು ಕಲೆ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರಚನೆಯ ನೆಲದ ತತ್ವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ ಆದರ್ಶವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರಚನೆಗಳು, ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಪಾತಗಳು, ಕಾಸ್ಮಿಕ್ ಅಥವಾ ವೈಯಕ್ತಿಕ, ಸಾವಯವ ಅಥವಾ ಅಜೈವಿಕ ಆಗಿರಬಹುದು . ಇದು ಮಾನವನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. " [೪೬]

2010 ರಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ಸ್ ಜರ್ನಲ್ ಕೋಬಾಲ್ಟ್ ನಿಯೋಬೇಟ್ ಹರಳುಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಪಿನ್‌ಗಳ ಕಾಂತೀಯ ಅನುರಣನದಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವಿದೆ ಎಂದು ವರದಿ ಮಾಡಿದೆ. [೪೭]

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಅನೇಕ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕವೆಂದು ಕೆಲವರು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. [೪೮]

  1. If the constraint on a and b each being greater than zero is lifted, then there are actually two solutions, one positive and one negative, to this equation. ϕ is defined as the positive solution. The negative solution can be written as . The sum of the two solutions is one, and the product of the two solutions is negative one.
  2. Euclid, Elements, Book II, Proposition 11; Book IV, Propositions 10–11; Book VI, Proposition 30; Book XIII, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.
  1. ೧.೦೦ ೧.೦೧ ೧.೦೨ ೧.೦೩ ೧.೦೪ ೧.೦೫ ೧.೦೬ ೧.೦೭ ೧.೦೮ ೧.೦೯ ೧.೧೦ ೧.೧೧ Livio 2003.
  2. Dunlap, Richard A., The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  3. Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  4. Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
  5. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  6. William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  7. ೭.೦ ೭.೧ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  8. Strogatz, Steven (September 24, 2012). "Me, Myself, and Math: Proportion Control". The New York Times. 
  9. Weisstein, Eric W., "Golden Ratio Conjugate", MathWorld.
  10. Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. New York: Sterling. pp. 20–21. ISBN 978-1-4027-3522-6. 
  11. Baravalle, H. V. (1948). "The geometry of the pentagon and the golden section". Mathematics Teacher. 41: 22–31. 
  12. Weisstein, Eric W., "Binet's Fibonacci Number Formula", MathWorld.
  13. Herz-Fischler, Roger (1987). A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio. Wilfred Laurier University Press. ISBN 978-0889201521. 
  14. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. Prometheus Books. p. 8. ISBN 9-781-61614-424-1. 
  15. Penrose, Roger (1974). "The role of aesthetics in pure and applied mathematical research". Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications. 10: 266ff. 
  16. Gardner, Martin (2001), The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems : Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics, W. W. Norton & Company, p. 88, ISBN 9780393020236 .
  17. Gerlin, Andrea (October 5, 2011). "Tecnion's Shechtman Wins Nobel in Chemistry for Quasicrystals Discovery". Bloomberg. Archived from the original on December 5, 2014. Retrieved January 4, 2019. 
  18. Jaric, Marko V. (2012), Introduction to the Mathematics of Quasicrystals, Elsevier, p. x, ISBN 9780323159470, Although at the time of the discovery of quasicrystals the theory of quasiperiodic functions had been known for nearly sixty years, it was the mathematics of aperiodic Penrose tilings, mostly developed by Nicolaas de Bruijn, that provided the major influence on the new field. 
  19. Goldman, Alan I.; et al. (1996). "Quasicrystalline Materials". American Scientist. 84 (3): 230–241. 
  20. ೨೦.೦ ೨೦.೧ Boussora, Kenza and Mazouz, Said, The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan, Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004).
  21. Elliot, Jason (2006). Mirrors of the Unseen: Journeys in Iran. Macmillan. pp. 277, 284. ISBN 978-0-312-30191-0. 
  22. Le Corbusier, The Modulor p. 25, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 316, Taylor and Francis, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn
  23. Frings, Marcus, The Golden Section in Architectural Theory, Nexus Network Journal vol. 4 no. 1 (Winter 2002).
  24. Le Corbusier, The Modulor, p. 35, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor & Francis. ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
  25. Urwin, Simon. Analysing Architecture (2003) pp. 154–155, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn
  26. Hart, George W. (1999). "Leonardo da Vinci's Polyhedra". George W. Hart. Retrieved March 10, 2019. 
  27. ೨೭.೦ ೨೭.೧ Livio, Mario (November 1, 2002). "The golden ratio and aesthetics". Plus Magazine. Retrieved November 26, 2018. 
  28. Keith Devlin (May 2007). "The Myth That Will Not Go Away". Retrieved September 26, 2013. Part of the process of becoming a mathematics writer is, it appears, learning that you cannot refer to the golden ratio without following the first mention by a phrase that goes something like 'which the ancient Greeks and others believed to have divine and mystical properties.' Almost as compulsive is the urge to add a second factoid along the lines of 'Leonardo Da Vinci believed that the human form displays the golden ratio.' There is not a shred of evidence to back up either claim, and every reason to assume they are both false. Yet both claims, along with various others in a similar vein, live on. 
  29. Donald E. Simanek. "Fibonacci Flim-Flam". Archived from the original on February 1, 2010. Retrieved April 9, 2013. 
  30. Empty citation (help) 
  31. Hunt, Carla Herndon and Gilkey, Susan Nicodemus. Teaching Mathematics in the Block pp. 44, 47, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn
  32. Olariu, Agata, Golden Section and the Art of Painting Available online
  33. Tosto, Pablo, La composición áurea en las artes plásticas – El número de oro, Librería Hachette, 1969, pp. 134–144
  34. Jan Tschichold. The Form of the Book, p. 43 Fig 4. "Framework of ideal proportions in a medieval manuscript without multiple columns. Determined by Jan Tschichold 1953. Page proportion 2:3. margin proportions 1:1:2:3, Text area proportioned in the Golden Section. The lower outer corner of the text area is fixed by a diagonal as well."
  35. Tschichold, Jan. The Form of the Book. Hartley & Marks (1991). pp. 27–28. ISBN 0-88179-116-4. 
  36. Jones, Ronald (1971). "The golden section: A most remarkable measure". The Structurist. 11: 44–52. Who would suspect, for example, that the switch plate for single light switches are standardized in terms of a Golden Rectangle? 
  37. Johnson, Art (1999). Famous problems and their mathematicians. Libraries Unlimited. p. 45. ISBN 978-1-56308-446-1. The Golden Ratio is a standard feature of many modern designs, from postcards and credit cards to posters and light-switch plates. 
  38. Stakhov & Olsen 2009.
  39. Cox, Simon (2004). Cracking the Da Vinci code: the unauthorized guide to the facts behind Dan Brown's bestselling novel. Barnes & Noble Books. p. 62. ISBN 978-0-7607-5931-8. The Golden Ratio also crops up in some very unlikely places: widescreen televisions, postcards, credit cards and photographs all commonly conform to its proportions. 
  40. Lendvai, Ernő (1971). Béla Bartók: An Analysis of His Music. London: Kahn and Averill.
  41. Smith, Peter F. The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics (New York: Routledge, 2003) pp 83, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn
  42. Simon Trezise (1994). Debussy: La Mer. Cambridge University Press. p. 53. ISBN 978-0-521-44656-3. 
  43. "Pearl Masters Premium". Pearl Corporation. Archived from the original on December 19, 2007. Retrieved December 2, 2007. 
  44. Richard Padovan (1999). Proportion. Taylor & Francis. pp. 305–306. ISBN 978-0-419-22780-9. 
  45. Padovan, Richard (2002). "Proportion: Science, Philosophy, Architecture". Nexus Network Journal. 4 (1): 113–122. doi:10.1007/s00004-001-0008-7. 
  46. Zeising, Adolf (1854). Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers. preface. 
  47. "Golden ratio discovered in a quantum world". Eurekalert.org. 2010-01-07. Retrieved 2011-10-31. 
  48. Pommersheim, James E., Tim K. Marks, and Erica L. Flapan, eds. 2010. "Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories". John Wiley and Sons: 82.