ಸಂಯೋಜನೆಗಳು: ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
No edit summary |
ಚು clean up, replaced: → (14) using AWB |
||
೧ ನೇ ಸಾಲು: | ೧ ನೇ ಸಾಲು: | ||
{{About|ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ}} |
{{About|ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ}} |
||
ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" (ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುವ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ "ಸಂಚಯಗಳು" ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯಬಹುದು. ಉಹಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೂಗಳಿವೆ - ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಿಗೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಹೂಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಟ್ಟು ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಗುಲಾಬಿ, ಸಂಪಿಗೆ}. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ} ಮತ್ತು {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಮಲ್ಲಿಗೆ} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. |
ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" (ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುವ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ "ಸಂಚಯಗಳು" ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯಬಹುದು. ಉಹಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೂಗಳಿವೆ - ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಿಗೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಹೂಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಟ್ಟು ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಗುಲಾಬಿ, ಸಂಪಿಗೆ}. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ} ಮತ್ತು {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಮಲ್ಲಿಗೆ} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. |
||
ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವೂ ಮುಖ್ಯ. ನಾಲ್ಕು ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೨ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು. |
ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವೂ ಮುಖ್ಯ. ನಾಲ್ಕು ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೨ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು. |
||
ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ''n'' ವಸ್ತುಗಳಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ''k'' ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು <math>nC_k</math> ಎಂದು ಅಥವಾ <math> \binom nk </math> ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಲು ''n'' ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ <math> \binom n1 = n</math>. ಹೀಗೇ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ವಿಧಾನ. ಹೀಗಾಗಿ <math> \binom nn = 1 </math>. |
ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ''n'' ವಸ್ತುಗಳಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ''k'' ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು <math>nC_k</math> ಎಂದು ಅಥವಾ <math> \binom nk </math> ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಲು ''n'' ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ <math> \binom n1 = n</math>. ಹೀಗೇ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ವಿಧಾನ. ಹೀಗಾಗಿ <math> \binom nn = 1 </math>. |
||
:<math> \binom nk = \frac{n(n-1)\dotsb(n-k+1)}{k(k-1)\dotsb1}</math> |
:<math> \binom nk = \frac{n(n-1)\dotsb(n-k+1)}{k(k-1)\dotsb1}</math> |
||
ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ -<math>\textstyle\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> |
ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ -<math>\textstyle\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> |
||
ಇಲ್ಲಿ <math> n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1</math> |
ಇಲ್ಲಿ <math> n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1</math> |
||
ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. |
ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. |
||
:<math>\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k</math> |
:<math>\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k</math> |
||
ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ <math>\binom nk</math> ಎಷ್ಟೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. |
ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ <math>\binom nk</math> ಎಷ್ಟೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. |
||
[[ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್]] ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯಕ<ref>[http://seepisampada.blogspot.com/2014/06/blog-post_5.html ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಥಿಯರಂ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲನ ತ್ರಿಕೋನ] |
[[ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್]] ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯಕ<ref>[http://seepisampada.blogspot.com/2014/06/blog-post_5.html ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಥಿಯರಂ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲನ ತ್ರಿಕೋನ]</ref>. ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸುವಾಗ ''k'' ಶೂನ್ಯವಾದರೆ <math>\binom nk = 1</math> ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಬೇಕು. |
||
ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೂಡಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು |
ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೂಡಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು |
||
:<math>\binom nk = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}</math>. |
:<math>\binom nk = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}</math>. |
||
ಗಣಕವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. |
ಗಣಕವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. |
||
:<math> |
:<math> |
||
೩೩ ನೇ ಸಾಲು: | ೨೨ ನೇ ಸಾಲು: | ||
\end{cases} |
\end{cases} |
||
</math>. |
</math>. |
||
=== ಉದಾಹರಣೆ === |
=== ಉದಾಹರಣೆ === |
||
೫೨ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಐದನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಬಹುದು? |
೫೨ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಐದನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಬಹುದು? |
||
:<math> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = |
:<math> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = |
||
2{,}598{,}960.</math> |
2{,}598{,}960.</math> |
||
==ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == |
==ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == |
೧೩:೫೦, ೨೯ ಡಿಸೆಂಬರ್ ೨೦೧೫ ನಂತೆ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ
Lua error in package.lua at line 80: module 'Module:Pagetype/setindex' not found. ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" (ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುವ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ "ಸಂಚಯಗಳು" ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯಬಹುದು. ಉಹಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೂಗಳಿವೆ - ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಿಗೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಹೂಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಟ್ಟು ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಗುಲಾಬಿ, ಸಂಪಿಗೆ}. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ} ಮತ್ತು {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಮಲ್ಲಿಗೆ} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವೂ ಮುಖ್ಯ. ನಾಲ್ಕು ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೨ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ n ವಸ್ತುಗಳಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ k ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಂದು ಅಥವಾ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಲು n ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ . ಹೀಗೇ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ವಿಧಾನ. ಹೀಗಾಗಿ .
ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ ಎಷ್ಟೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯಕ[೧]. ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸುವಾಗ k ಶೂನ್ಯವಾದರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಬೇಕು. ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೂಡಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
- .
ಗಣಕವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.
- .
ಉದಾಹರಣೆ
೫೨ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಐದನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಬಹುದು?