ಪರಸ್ಪರವಾಗಿ ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು

ಸಂಚಯಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಾರೋಪಿಸಿದಾಗ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ನಮೂದುಗಳೆಲ್ಲ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳು ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಯುಗ್ಮಗಳು ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವನ್ನು ಪರಸ್ಪರವಾಗಿ ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು

ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಎಂದರೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನೀಯ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ, ಆದರೆ ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಆಲೇಖ್ಯಗಳು (ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಡಿಸೈನ್ಸ್). ಬದಿ p ಇರುವ ಒಂದು ಚೌಕಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ p ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರವೂ ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅಂಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು pXp ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷರವೂ ಒಟ್ಟು p ಸಲ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

1 (a) A B C D E B C D E A C D E A B D E A B C E A B C D

1 (b) A B C D E C D E A B E A B C D B C D E A D E A B C

1 (c) α β γ δ ε β γ δ ε α γ δ ε α β δ ε α β γ ε α β γ δ

1 (d) α β γ δ ε γ δ ε α β ε α β γ δ β γ δ ε α δ ε α β γ

ಸಮಾನ ಬದಿಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಒಂದರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ (A, B, C, D ಇತ್ಯಾದಿ) ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ α, β, γ, δ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವೂ ಪ್ರತಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ, ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆ ಎರಡು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ (ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ; ಮತ್ತು ಅವೆರಡೂ ಸೇರಿ ಒಂದು ಗ್ರೀಕೊ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರ(1) ರಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕ (b) ಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಬದಲು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಚೌಕ (a) ಯ ಮೇಲೆ ಅಳವಡಿಸಿದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ 5X5 ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

3X3 Aα Bβ Cγ Bγ Cα Aβ Cβ Aγ Bα

4X4 Aα Bγ Cδ Dβ Bβ Aδ Dγ Cα Cγ Dα Aβ Bδ Dδ Cβ Bα Aγ

5X5 Aα Bβ Cγ Dδ Eε Bγ Cδ Dε Eα Aβ Cε Dα Eβ Aγ Bδ Dβ Eγ Aδ Bε Cα Eδ Aε Bα Cβ Dγ

ಚಿತ್ರ 2 ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು

ಮೂರನೆಯ ಒಂದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಮೇಲೆ, ಮೊದಲನೆಯ ಎರಡು ಚೌಕಗಳಿಗೂ ಲಂಬವಾಗಿರುವಂತೆ, ಅಳವಡಿಸಿದರೆ ಆಗ ಒಂದು ಹೈಪರ್-ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ:

P ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಪ್ರೈಮ್ ನಂಬರ್) ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತವಾಗಿರುವಾಗ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಣದಲ್ಲೂ (p-1) ಭಾಷೆಗಳ ಒಂದೊಂದು ಅಕ್ಷರಗಳಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಾಷೆಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳು ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ತೋರ್ಪಡಿಸುವ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಂತೆ, ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರ(1)ರ ಚೌಕ (b) ಯಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನೂ ಚೌಕ (c) ಯಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳನ್ನೂ ಬಳಸಿ ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಅಳವಡಿಸಿದೆ. ಆಗ ಚಿತ್ರದ ಹೈಪರ್-ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

Aα1	Bβ2	Cγ3	Dδ4	Eε5
Bγ4	Cδ5	Dε1	Eα2	Aβ3
Cε2	Dα3	Eβ4	Aγ5	Bδ1
Dβ5	Eγ1	Aδ2	Bε3	Cα4
Eδ3	Aε4	Bα5	Cβ1	Dγ2

ಚಿತ್ರ 3 5Χ5  ಹೈಪರ್-ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕ

ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳು ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ:

1. ಒಂದು ಎಕರೆಗೆ ದೊರೆಯುವ ಬತ್ತದ ಬೆಳೆಯ ಮೇಲೆ, ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಗೊಬ್ಬರಗಳ, ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ನೀಟ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಮಣ್ಣಿನ ಸಾರದ ಏರಿಳಿತಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಬೀಜದ ನಮೂನೆಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸುವುದು.
2. ಪ್ರಾಣಿಗಳ ತೂಕದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೇಲೆ, ಅವುಗಳ ಮೊದಲ ತೂಕಗಳು, ಅವುಗಳ ತಳಿಗಳು, ಅವು ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಕೊಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವಕ್ಕೆ ತಿನ್ನಿಸಿದ ಆಹಾರಗಳು-ಇವುಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸುವುದು.

ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳು, ನೀಟಸಾಲುಗಳು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳು-ಇವನ್ನು ಚರದ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ನಾಲ್ಕು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧೀಕರಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುವುದು. p X p ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳು, ನೀಟ ಸಾಲುಗಳು, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳು-ಇವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ p ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಧ್ಯಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ p ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ. ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ದೊರೆಯುವ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚಲನೀಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯಿಸಬಹುದು. p X p ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ಎರರ್ ಸಮ್ ಆಫ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್) ದೊರೆಯುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳು ಕೇವಲ

$(p^{2}-1)-4(p-1)=(p-1)(p-3)$

p > 4 ಆಗಿರದ ಹೊರತು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಇಂಥ ಆಲೇಖ್ಯದ ಒಂದು ದೌರ್ಬಲ್ಯ. ಪ್ರಯೋಗದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸದೆಯೇ ಹಲವು ಅಂಶಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಲು ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಅಥವಾ ಹೈಪರ್-ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳು ಬಹಳ ಅನುಕೂಲ ಎಂದು ತೋರಿಕೆಗೆ ಕಂಡರೂ, ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆ ದೋಷಗಳ ವರ್ಗಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ದೊರೆಯುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಅಸಂಕಲನೀಯತೆಯ (ನಾನ್‌ಆ್ಯಡ್ಡಿಟಿವಿಟಿ) ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎದುರಾಗುವುದು-ಇವು ಇಂಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಕುಂಠಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಥ ಚೌಕಗಳ ರಚನೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕುತೂಹಲಕ್ಕಾಗಿಯೇ. ಆಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಉಪಯೋಗ ತೀರ ವಿರಳ. p ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತವಾಗಿಲ್ಲದಿರುವಾಗಲೂ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನುರೂಪವಾದ ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬರುವುದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ p = 10 ಅಥವಾ p = 12. ಆರ್.ಎ. ಫಿಶರ್ ಮತ್ತು ಎಫ್. ಯೇಟ್ಸ್ ಅವರ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಟೇಬಲ್ಸ್ ಫಾರ್ ಬಯಾಲಾಜಿಕಲ್, ಅಗ್ರಿಕಲ್ಚರಲ್ ಅಂಡ್ ಮೆಡಿಕಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥ p = 3,4,5,7,8 ಮತ್ತು 9 ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ (p - 1) ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. p = 6 ಆಗಿರುವ ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕದ ರಚನೆ ಅಸಾಧ್ಯ. ಭಾರತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆರ್.ಸಿ. ಬೋಸ್ ಅವರು p ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತವಾಗಿರುವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ (p -1) ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ (1938). ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಲೇಖ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸರ್ವತೋಮುಖ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣನಾದ ಆರ್.ಎ.ಫಿಷರ್ (1890-1962) "ಗ್ರೀಕೋ-ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಉನ್ನತ ದರ್ಜೆಯ ಚೌಕಗಳ ಮುಖ್ಯ ಉಪಯೋಗ ಕ್ಲಿಷ್ಟತರವಾದ ಸಂಯೋಜನಾ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದರಲ್ಲಿದೆ" ಎಂದಿದ್ದಾನೆ.