ಚತುಷ್ಫಲಕ

ಚತುಷ್ಫಲಕ ಎಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಫಲಕಗಳು ಇರುವ ಒಂದು ಬಹುಫಲಕ (ಟೆಟ್ರಹೆಡ್ರನ್). ಇದರ ಒಂದೊಂದು ಫಲಕವೂ ಒಂದೊಂದು ತ್ರಿಭುಜ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚತುಷ್ಫಲಕವನ್ನು ತ್ರಿಭುಜದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದೂ ಉಂಟು. ಎಲ್ಲ ಫಲಕಗಳೂ ಸಮಭುಜ ತ್ರಿಭುಜಗಳಾದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಘನಾಕೃತಿಗೆ ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕ (ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಟೆಟ್ರಹೆಡ್ರನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಚತುಷ್ಫಲಕವು ಎಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ತಲ ಬಹುಫಲಕಗಳ ಪೈಕಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದದ್ದು.

ಗುಣಗಳು

ಚತುಷ್ಫಲಕಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳು (v), ನಾಲ್ಕು ಫಲಕಗಳು (f) ಮತ್ತು ಆರು ಅಂಚುಗಳು (e) ಇವೆ. ಇವು

v + f – e = 2

ಎಂಬ ಆಯ್ಲರನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಾಳೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಶೃಂಗಗಳು ಸಮತಲೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದೊಂದು ಜೊತೆ ಎದುರು ಅಂಚುಗಳೂ ಅತಲೀಯವಾಗಿವೆ (ಸ್ಕ್ಯೂ). ಅತಲೀಯ ಅಂಚುಗಳ ನಡುಬಿಂದು ಜೋಡಣೆಗಳು ಏಕಬಿಂದುಸ್ಥವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದು ಘನ ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವೂ ಹೌದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನೂ ಎದುರು ಫಲಕದ ಕೇಂದ್ರಕಕ್ಕೆ (ಸೆಂಟ್ರಾಯಿಡ್) ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾಯುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ 3:1 ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಖಂಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮ ಚತುಷ್ಫಲಕ ABCD ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿರೇಖಿಸುವ ಗೋಳ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABCD ಒಂದು ಚತುಷ್ಫಲಕವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. AB, CD; AC, BD; AD, BC ಮೂರು ಜೊತೆ ಅತಲೀಯ ಅಂಚುಗಳು. ಇವಗಳು ನಡುಬಿಂದುಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ P, M; Q, N; R, L ಇವುಗಳ ಜೋಡಣೆಗಳು-ಅಂದರೆ PM, QN, RL-O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.

O ಯು ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ. ಅಲ್ಲದೆ AO, BO, CO, DO ಗಳು ಎದುರು ಫಲಕದ ಕೇಂದ್ರಕದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಚತುಷ್ಫಲಕದ ನಾಲ್ಕು ಲಂಬಗಳೂ (ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದಿಂದ ಎದುರು ಫಲಕಕ್ಕೆ ಇಳೆದ ಲಂಬ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕಬಿಂದುಸ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದತ್ತ ಆರು ಅಂಚುಗಳಿರುವ (ಅಂದರೆ AB, AC, AD, BC, CD, DB ಗಳೆಲ್ಲವೂ ದತ್ತವಾಗಿರುವಾಗ) 30 ಭಿನ್ನ ಚತುಷ್ಫಲಕಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ-ದೃಢ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಲಿ, ಒಂದು ತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವದರಿಂದಾಗಲಿ ಇವನ್ನು ಅಧ್ಯಾರೋಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ A, B, C, D ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (co-ordinates) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ (x_r, y_r, z_r), r = 1, 2, 3, 4 ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ABCD ಚತುಷ್ಫಲಕದ ಘನಗಾತ್ರ V ಯನ್ನು

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}$

ಸೂತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Alsina, C.; Nelsen, R. B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. Mathematical Association of America. ISBN 978-1-61444-216-5.