ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯ

ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯ ಎನ್ನುವುದು ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದಾಗ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಬರುವ ಅದರ ಒಂದು ಘಟಕ (ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಫ್ಲಕ್ಚುಯೇಷನ್).  ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಗಳೆಂದರೆ ದೀರ್ಘಕಾಲಿಕ ಪ್ರವೃತ್ತಿ (ಸೆಕ್ಯೂಲರ್ ಟ್ರೆಂಡ್), ಶ್ರಾಯಕ ವಿಚರತ್ವ (ಸೀಸನಲ್ ವೇರಿಯೇಷನ್) ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಾಂಚಲ್ಯ (ರ‍್ಯಾಂಡಮ್ ಫ್ಲಕ್ಚುಯೇಷನ್). ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ದೀರ್ಘಕಾಲಿಕ ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಾಂಚಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಉಳಿಯುವ ಅಂಶವಾದ ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಾಂಚಲ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿಮರ್ಶಿಸಲಾಗುವುದು.  ಇದು ಸ್ಥಾಯಿ ಅಥವಾ ಸಂಚಾರಿ (ಸ್ಟೇಷನರಿ ಆರ್ ನಾನ್‍ಸ್ಟೇಷನರಿ) ಸಾಂಭವಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾಶ್ರೇಣಿ (ಸ್ಟೊಕೇಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರೋಸೆಸ್) ಆಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರಕೃತ ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾಶ್ರೇಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ತೀರ ಈಚಿನದಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವಿಮರ್ಶೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಶಿಖರ (ಪೀಕ್), ಇಳಿಕೆ (ಡಿಕ್ಲೈನ್), ತಳ (ಟ್ರಫ್) ಮತ್ತು ಪುನರೇರಿಕೆ (ರಿಕವರಿ)-ಈ ನಾಲ್ಕು ಭಾವಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೊಂದುತ್ತ ಹೋಗುವುದೇ ಆರ್ಥಿಕ ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ (economic time series) ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸುಲಭೋಪಾಯ. ಈ ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯವು ಪ್ರಕೃತಿ ಸಹಜವಾದ ಶ್ರಾಯಕ ಚಾಂಚಲ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ. ಒಂದು ತಂಪು ಪಾನೀಯ ಮಾರಾಟ ಸಂಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಪಾರವು ಮಳೆ ಬಿಸಿಲುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿವಿಧ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿ ವರ್ಷದಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಶ್ರಾಯಕ ಚಾಂಚಲ್ಯದ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯದ ಆವರ್ತಾವಧಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರುತ್ತದೆ.  ಆರ್ಥಿಕ ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ 3, 7, 21, 50 ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಷಗಳ ಆವರ್ತಾವಧಿಗಳುಳ್ಳ ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

x_t ಯು t ಕಾಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಚರ x ನ ಬೆಲೆಯಾಗಿರಲಿ. t ಯ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಲೆಗಳಾದ ……., -2, -1, 0, 1, 2….. ಗಳಿಗೆ x ಪಡೆಯುವ ಬೆಲೆಗಳ ಗಣ {x_t} = {……, x_-2, x_-1, x₀, x₁, x₂……} ಒಂದು ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯೆಂದು ಹೇಳಿದಂತಾಯಿತು. ಈ x_t ಯನ್ನು ಚಕ್ರೀಯ ಘಟಕವಾದ y_t ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟಕವಾದ e_t ಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಭಾವಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. (ಪ್ರತಿಯೊಂದು t ಬೆಲೆಯಲ್ಲೂ ಶ್ರಾಯಕ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಕಾಲ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ತರುವಾಯ ಉಳಿಯುವ ಭಾಗವೇ ಮೇಲಿನ x_t ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು). y_t ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಚಕ್ರೀಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು-ಅಂದರೆ ಆವರ್ತನಾವಧಿ r ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ

y_t = y_t+r , t = …… -2, -1, 0, 1, 2,…………..

ಅದೇ e_t ಗಳಾದರೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಈ ಆವರ್ತಗುಣ ಇರುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಾಗಿ ಅವು ಸಂಭವಚರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ e_t ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ನಾರ್ಮಲ್ ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಅನುಸರಿಸುವುದೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ರೂಢಿ. ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಂದ ಅರಿತ ಅನುಭವಜನ್ಯ (ಎಂಪಿರಿಕಲ್) ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗಣಿತ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು (ಮೋಡೆಲ್ಸ್) ಕಟ್ಟಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕೃತದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಎರಡು ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇವು

• ಸ್ವಯಂಸಹಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಆಟೊಕಾರಿಲೇಷನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್) ಮತ್ತು
• ಆವರ್ತರೇಖಾ (ಪೀರಿಯಡೋಗ್ರಾಮ್) ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

ಸ್ವಯಂಸಹಸಂಬಂಧ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ರೇಖೀಯ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಎರಡು ಸಂಭವಚರಗಳು ರೇಖೀಯ ಅನುಬಂಧ (linear relationship) ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಂಬುದು ತಿಳಿದ ಸಂಗತಿಯೇ; ಆದ್ದರಿಂದ 2t + 1 ಆವರ್ತಾವಧಿಯ ಒಂದು ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಪದಾಂತರದಿಂದ (ಗ್ರಿವನ್ ಲ್ಯಾಗ್) ಪಲ್ಲಟಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ ಪದಾಂತರ 2t + 1 ಅಥವಾ ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕವಾದಾಗ (integer multiplier) ಇವೆರಡೂ ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದೇ ಆಗಬೇಕೆಂಬುದು ಸಹಜ. ಇವು ನಿಯತ ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳಾದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಷನ್ಸ್) ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಗುಣ ಇರುವುದು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರೀತಿ ವಿವಿಧ ಪದಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪಲ್ಲಟಗೊಂಡ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಈ ಪದಾಂತರ 2t + 1 ಅಥವಾ ಅದರ ಪೂರ್ಣ ಗುಣಕವಾದಾಗ ಸಹ-ಸಂಬಂಧ 1 ಆಗಬೇಕೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅರ್ಥಾತ್ Y_t = Y_t+r ಆಗುವಂತೆ  {Y_t} ಎಂಬ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಿಗೂ, {T_t} ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಹಸಂಬಂಧವನ್ನು ρ_r ಎಂದು ಕರೆದರೆ, r = (2T+1)k (ಇಲ್ಲಿ k ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆದಾಗ ρ_r = 1 ಆಗಲೇಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ಪದಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪಲ್ಲಟಿಸಿ ಪಡೆದ ವಿವಿಧ ρ_r ಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿದರೆ r ನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ ρ_r ಸರಿಸುಮಾರು 1 ಆಗುತ್ತದೋ ಅದನ್ನು y ಶ್ರೇಣಿಯ ಆವರ್ತಾವಧಿ ಎಂದು ಅನುಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಆವರ್ತರೇಖಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಈಗ ಆವರ್ತರೇಖಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆವರ್ತತೆಯನ್ನು ಪರಶೀಲಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ Y_t ಶ್ರೇಣಿ λ ಆವರ್ತತೆಯ n ಪದಗಳುಳ್ಳ ಸಾಂತ ಶ್ರೇಣಿಯೆಂದು (finite series) ಭಾವಿಸೋಣ. ಅರ್ಥಾತ್ $u_{t}=a\sin {\frac {2\pi t}{A}}$ ಆಗಿರಲಿ.

ಈಗ $A={\frac {2}{n}}\sum _{t=1}^{n}u_{t}\cos {\frac {2\pi t}{\mu }}$ ಮತ್ತು

$B={\frac {2}{n}}\sum _{t=1}^{n}u_{t}\sin {\frac {2\pi t}{\mu }}$

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ A² (μ) + B² (μ) = R² (μ) ವನ್ನು ತೀವ್ರತೆ (ಇನ್‌ಟೆಂನ್ಸಿಟಿ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. μ ವು λ ವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ R² ವು a² ವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆಯೇ μ ವು λ ದಿಂದ ದೂರವಾದರೆ R² ದ ಬೆಲೆ a² ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Y_t ಶ್ರೇಣಿಯ ಆವರ್ತಾವಧಿ λ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವಿಧ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ R² (μ) ವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಲೆ ಯಾವ μ ಗೆ ದೊರಕುತ್ತದೋ ಆ μ ಬೆಲೆಯೇ Y_t ಯ ಆವರ್ತಾವಧಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗ.

ಉಪಸಂಹಾರ

ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ಪ್ರವೃತ್ತಿ, ಶ್ರಾಯಕ ಚಲನೆ, ಚಕ್ರೀಯ ಚಾಂಚಲ್ಯ ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಆರ್ಥಿಕ ಕಾಲಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಪ್ರದಾಯ. ಆದರೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಧಾರ ಇರಬಹುದೇ ವಿನಾ ಗಣಿತರೀತ್ಯ ಇವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ನೋಡುವ ಅಗತ್ಯ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಯಂಸಮಾಶ್ರಯಣ (ಆಟೋರಿಗ್ರೆಸ್ಸಿವ್) ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅವುಗಳಿಂದ ಬರುವ ವಿಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದಾದ ದೀರ್ಘಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ಚಕ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳಿಗೂ ಹೊರಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ.