ಚಕ್ರಜ
ಚಕ್ರಜ ಎಂದರೆ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚಕ್ರ (ವೃತ್ತ) ಉರುಳುವಾಗ ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖಿಸುವ ಸಮತಲೀಯ ವಕ್ರರೇಖೆ (ಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್). S ಚಕ್ರವನ್ನು ಅಥವಾ ಉರುಳು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. P ಅದರ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಸ್ಥಿರಬಿಂದು. ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರ O ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ P ಯು O ನೊಡನೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವಂತೆ ನಿಂತಿತ್ತು.
OX ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಕ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಉರುಳಿದಾಗ P ಈಗಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ∠PCM = θ, ಕಂಸ MP (ಋಣದಿಶೆ) = OM. P ಯ ಪಥವೇ ಚಕ್ರಜ. OX, OY ಗಳನ್ನು ಕುರಿತು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (co-ordinates) (X, Y) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ
X = a(θ - sin θ) . . . (1)
Y = a(1 - cos θ) . . . (2)
ಇಲ್ಲಿ a ಚಕ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯ. (1) ಮತ್ತು (2) ಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ θ ಪ್ರಾಚಲ.
ಮೊರಿಟ್‍ಜ಼್ ಕ್ಯಾಂಟರ್[೧] ಮತ್ತು ಸೀಗ್ಮಂಡ್ ಗುಂಥರ್‌ರ[೨] ಕೆಲಸದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, ವಿದ್ವಾಂಸರು ಈಗ ಫ಼್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಚಾರ್ಲ್ ಡಿ ಬೊವೆಲೆಸ್‍ಗೆ, ೧೫೦೩ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅವನ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಟಿಯೊ ಇನ್ ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಮ್ನಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಜದ ಅವನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ[೩] ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.[೪][೫][೬]
ಗುಣಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]ಪ್ರಾಚಲ θ=0 ಇದ್ದಾಗ P ಯು O ನೊಡನೆ ಐಕ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. θ=2π ಆದಾಗ ಚಕ್ರ ಪೂರ್ಣ ಸುತ್ತನ್ನು ಮುಗಿಸುವುದರಿಂದ P ಈಗ A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ.
ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿನ ವಿದ್ಯಮಾನ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ OA ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಚಕ್ರದ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ; OA = 2πa. OHA ವಕ್ರರೇಖೆ ಚಕ್ರಜದ ಪೂರ್ತಿ ಚಾಪ (ಆರ್ಕ್). ಇದರ ಉದ್ದ 8a. ಚಕ್ರಜ ಹಾಗೂ OX ಅಕ್ಷವು ಸಂವೃತಿಸುವ ವಲಯದ ಸಲೆ 3πa2. ಇದು ಚಕ್ರದ ಸಲೆಯ (=πa2) ಮೂರರಷ್ಟು ಇದೆ. ಚಕ್ರಜದ ನಿಮ್ನತಮ ಬಿಂದುಗಳು O, A. ಇವುಗಳಿಗೆ ಉಭಯಾಗ್ರಗಳೆಂದು (ಕಸ್ಪ್ಸ್) ಹೆಸರು. ಚಕ್ರಜದ ಉನ್ನತತಮ ಬಿಂದು H. ಈಗ KH = ಚಕ್ರದ ವ್ಯಾಸ 2a ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಜದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಗಳಿಗೆ ಮಹತ್ತ್ವ ಉಂಟು.
1. OX ರೇಖೆ ಕ್ಷಿತಿಜೀಯವಾಗಿರಲಿ ಹಾಗೂ ಚಕ್ರಜ ಅಧೋಮುಖಿಯಾಗಿರಲಿ. ಚಕ್ರಜ ನುಣುಪು ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದೂ, ಅದು ಊರ್ಧ್ವತಲದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ.
ಆಗ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೊಡಗಿ ನಿಮ್ಮತಮ ಬಿಂದುವಿನ (H) ವರೆಗೆ ಜಾರಿ ತಲುಪಲು ಒಂದು ಕಣ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲ ಪ್ರಾರಂಭ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ ಸಮಕಾಲಿಕ ಗತಿ (ಐಸೊಕ್ರೊನಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.
2. P ಮತ್ತು Q ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವತಲದ ಮೇಲಿರುವ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರದ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ P ಯಿಂದ Q ಗೆ ಒಂದು ಕಣ ಬೀಳಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲ ಕಣದ ಪಥವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.
ಇಂಥ ವಿವಿಧ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಕಾಲ ದೊರೆಯುವುದು ಕಣದ ಪಥ P ಮತ್ತು Q ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಚಕ್ರಜದ ಕಂಸವಾದಾಗ. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ ದೃತತಮಪತನ (ಬ್ರ್ಯಾಕಿಸ್ಟೊಕ್ರೋನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.
ಅಧಿಕಚಕ್ರಜ (ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್) ಮತ್ತು ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜ (ಹೈಪೊಸೈಕ್ಲಾಯಿಡ್)
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]
ಸ್ಥಿರ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಹೊರಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಕ್ರ ಉರುಳಿದಾಗ ಚಕ್ರದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದು ರೇಖಿಸುವ ಸಮತಲೀಯ ರೇಖೆ ಅಧಿಕಚಕ್ರಜ. ಸ್ಥಿರ ವೃತ್ತ ಹಾಗೂ ಚಕ್ರಗಳೆರಡೂ ಒಂದೇ ಊರ್ಧ್ವತಲದಲ್ಲಿರಬೇಕು.
ಹೀಗಲ್ಲದೆ ಚಕ್ರವು ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ ಒಳಮೈಯಲ್ಲಿ ಉರುಳಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಪಥದ ಹೆಸರು ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜ.
ಅಧಿಕಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]X = (a + b)cos θ – a cos [(a + b)θ/a]
Y = (a + b)sin θ – a sin [(a + b)θ/a]
ಅಂತಶ್ಚಕ್ರಜದ ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]X = (a – b)cos θ + b cos [(a – b)θ/b]
Y = (a - b) sin θ – b sin [(a – b)θ/b]
ಇಲ್ಲಿ a ಚಕ್ರದ ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗಳು.
a = b/n ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ಎರಡು ಚಕ್ರಜಗಳಲ್ಲೂ ಪರಿಧಿಗಳು. n.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- ↑ Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: B. G. Teubner, OCLC 25376971
- ↑ Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften, Leipzig: Druck und Verlag Von B. G. Teubner, p. 352, OCLC 2060559
- ↑ de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam ... Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione sphere. Perspectiva introductio., OCLC 660960655
- ↑ Phillips, J. P. (May 1967), "Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid—Apple of Discord", The Mathematics Teacher, 60 (5): 506–508, doi:10.5951/MT.60.5.0506, JSTOR 27957609(subscription required)
- ↑ Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: An Intellectual Biography, Librairie Droz, p. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
- ↑ Martin, J. (2010). "The Helen of Geometry". The College Mathematics Journal. 41: 17–28. doi:10.4169/074683410X475083. S2CID 55099463.
ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು
[ಬದಲಾಯಿಸಿ]- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
- Weisstein, Eric W., "Cycloid", MathWorld. Retrieved April 27, 2007.
- Cycloids at cut-the-knot