ಘಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ ಹಾಗೂ ಉತ್ಪನ್ನ

ನೈಜ ಅಕ್ಷರೇಖೆಯ ಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರಿಸುವ (map) ಅನನ್ಯವಾದ ನೈಜ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಅವಕಲನಾಂಕ ಇದರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚರ x ನ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು exp x ಅಥವಾ e^x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿಯು ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು

ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ (continuous) ಅವಲಂಬಿ ಚರವೊಂದು ಏರುತ್ತ ಹೋಗುವ ದರವು ಕ್ಷಣಕ್ಷಣಕ್ಕೂ ಅದಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವ ಪ್ರಚಲಿತ ಬೆಲೆಗೇ ಅನುಪಾತೀಯವಾಗಿರುವುದುಂಟು (ಪ್ರಪೋರ್ಷನಲ್). ಇಂಥ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿ ಚರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಾಧಕವಾಗುವ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಮಾಧ್ಯಮವೇ ಘಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ (ಎಕ್ಸ್‌ಪೊನೆನ್ಷಲ್ ಸೀರೀಸ್). ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ರೂಪ:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots +\infty$

ಈ ರೂಪದಿಂದ ಘಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿಯು ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಸಂಗ ಎಂಬ ಅಂಶ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಈಗ ಪ್ರಚಲಿತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಅನುಪಾತೀಯ ದರದಲ್ಲಿ ಏರುವ  ಚರಗಳಿಗೆ ಎರಡು ನಿತ್ಯ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.

1. ಮೊದಲನೆಯದು, ಪ್ರತ್ಯೇಕಿತ ಭೂಭಾಗವೊಂದರ ಜನಸಂಖ್ಯೆ (ಅಲ್ಲಿ 20 ಮಿಲಿಯನ್ ಜನರಿರುವಾಗ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಷಂಪ್ರತಿ ಏರಿಕೆ 100 ಸಹಸ್ರ ಆದಲ್ಲಿ 40 ಮಿಲಿಯನ್ ಜನರಿರುವಾಗ ಅದರ ವರ್ಷಂಪ್ರತಿ ಏರಿಕೆ 200 ಸಹಸ್ರ ಆದೀತೆಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ);
2. ಎರಡನೆಯದು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ಗಳಿಸಿ ವೃದ್ಧಿಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಹಣದ ಮೊಬಲಗು (1000 ರೂಪಾಯಿಗಳಿಷ್ಟಿರುವಾಗ ತಿಂಗಳಿಗೆ 10 ರೂಪಾಯಿ ಬಡ್ಡಿ ಗಳಿಸುವ ಮೊಬಲಗು 2,000 ರೂಪಾಯಿಯಾಗಿ ಬೆಳೆದಾಗ ತಿಂಗಳಿಗೆ 20 ರೂಪಾಯಿ ಬಡ್ಡಿ ಸಂಪಾದಿಸುತ್ತದೆ).

ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲೂ ಈ ಬಗೆಯ ಚರಗಳು ಪ್ರಕಾಶಕ್ಕೆ ಬಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಡಿಯಮ್ ಅದಿರಿನ ಒಂದು ಚೂರಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ (10¹²) ರೇಡಿಯಂ ಪರಮಾಣುಗಳಿರುವಾಗ ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದು ಸೆಕೆಂಡಿಗೂ 14 ಪರಮಾಣುಗಳು ವಿಕಿರಣ ಪಟುತ್ವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕ್ಷಯಿಸುತ್ತಿರುತ್ತವೆ (ರೇಡಿಯೋಆ್ಯಕ್ಟಿವ್ ಡಿಕೇ); ಆ ಚೂರಿನಲ್ಲಿರುವ ರೇಡಿಯಂ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಐನೂರು ಸಹಸ್ರ ಮಿಲಿಯನ್‌ಗೆ (5 x 10¹¹) ಇಳಿದಾಗಲಾದರೋ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 7 ರೇಡಿಯಂ ಪರಮಾಣುಗಳು ಮಾತ್ರ ಕ್ಷಯಿಸುವುವು.

ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಈ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗಳಿರುವುದು ನಿಜ. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ರೂಢಿಯಂತೆ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಕೊಡುವುದು ತಿಂಗಳು ಅಥವಾ ವರ್ಷಕ್ಕೊಮ್ಮೆಯೇ ವಿನಾ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಲ್ಲ; ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏರಿಕೆ ಹಾಗೂ ವಿಕಿರಣಪಟು ಪರಮಾಣುಗಳ ಕ್ಷಯ ಅಂತಿಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳೇ ವಿನಾ ನಿರುಪಾಧಿಕ ನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇರಬೇಕಾದಂಥವಲ್ಲ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಬಡ್ಡಿ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಪೈಸೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ರೇಡಿಯಂ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇಳಿತ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏರಿಕೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಬೇಕೇ ಹೊರತು ಅಪರಿಮೇಯಗಳಾಗಲು (ಇರ‍್ಯಾಷನಲ್ಸ್) ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ನಾವು ಉದಾಹರಿಸಿರುವ  ಚರಗಳಾವುವೂ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರಗಳಲ್ಲವೇ ಅಲ್ಲ (ನಾಟ್ ಕಂಟೆನ್ಯುವಸ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್). ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಅಪರಿಪೂರ್ಣ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆದರ್ಶೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರಚಲಿತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಖರಾನುಪಾತೀಯ ದರದಲ್ಲೇ ಏರುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ. ಇಂಥದೊಂದು ಆದರ್ಶೀಕೃತ [ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿಶ್ರ (ರಿಯಲ್ ಆರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್) ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ] ಚರವನ್ನು f = (t) ಎಂಬ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ f ಚರದ ಏರಿಕೆಯ ದರವನ್ನು t ಮತ್ತೊಂದು (ಸ್ವತಂತ್ರ) ಚರದ ಏರಿಕೆಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ t ಕಾಲಸೂಚಕ ಚರವಾಗುವುದು). t ಚರ dt ಯಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿದಾಗ f ಚರ df ನಷ್ಟು ಏರಿದರೆ f ನ ಏರಿಕೆಯ ದರವನ್ನು ${\frac {df}{dt}}$ ಎಂಬ ಅವಕಲನಾಂಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ದರ f ನ ಪ್ರಚಲಿತ ಮೌಲ್ಯ f(t) ಗೆ ಅನುಪಾತೀಯವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಕಾರಣ ${\frac {df}{dt}}=kf(t)$ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ದತ್ತ ನಿಯತಾಂಕ k ಇರಬೇಕಾಗುವುದು. k = 0 ಆಗುವ ಸ್ವಾರಸ್ಯರಹಿತ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ df = 0 ಎಂದಾಗಿ f ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಏರಿಕೆಯೂ ಸಂಭವಿಸದೆ ಅದು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಉಳಿದು ಹೋಗುವುದು. k ≠ 0 ಆದಾಗ x = kt ಎಂಬ ಹೊಸತೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರವನ್ನು x ನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ y(x) = f(t) = f(x/k) ಎಂಬ ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಿ ${\frac {df}{dt}}=kf(t)$ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ${\frac {dy}{dx}}=y(x)$ ಅಥವಾ y'(x) = y(x) ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. [ಇಲ್ಲಿ y'(x) ಪ್ರತೀಕ y(x) ನ ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.] ಈ ರೂಪಾಂತರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರ y(x) ಗೂ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೊದಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ f(t) = y(kt) ಎಂಬ ಪರಿಹಾರ ಲಭಿಸುವುದರಿಂದ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ y'(x) = y(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. x = 0 ಯ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪರಿಹಾರ (ಸೊಲ್ಯೂಷನ್) y(x) ಆದಲ್ಲಿ

${\frac {d}{dx}}[y(x)y(-x)]=y'(x)y(-x)+y(x)\{-y'(-x)\}=y(x)y(-x)-y(x)y(-x)=0$

ಇದರಿಂದ y(x)y(-x) ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು: y(x)y(-x) = [y(0)]². ಈಗ y(0) = 1 ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರ y(x) ನ್ನು

y(x) = 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ………………∞

ಎಂಬ ಘಾತಶ್ರೇಣಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಭಿಸರಣ ವೃತ್ತದೊಳಗೆ (ಸರ್ಕಲ್ ಆಫ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್)

y'(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ………. ∞

y'(x) = y(x) ಆಗಬೇಕಾದ ಕಾರಣ a₁ = 1, 2a₂ = a₁, 3a₃ = a₂,

ಅಥವಾ

$a_{1}=1,a_{2}={\frac {a_{1}}{2}}={\frac {1}{2!}},a_{3}={\frac {a_{2}}{3}}={\frac {1}{3!}}$ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ y(x) ಉತ್ಪನ್ನ, ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲೇ ಸೂಚನೆ ನೀಡಿರುವಂತೆ

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots +\infty$ ………[1]

ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದು. ಹೀಗೆ ಫಲಿಸುವ ಫಾತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ x ನ ಎಲ್ಲ (ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿಶ್ರ) ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. [1] ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು x ನ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಎಕ್ಸ್‌ಪೊನೆನ್ಷಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ಕರೆದು exp x ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. y'(x) = y(x), y(0) = 1 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ y(x) = exp x ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗುವುದರಿಂದ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಿಸಿರುವಂತೆ y(x)y(-x) = [y(0)]² = [exp x][exp (-x)] = [exp 0]² = 1.

ಈ ಕೊನೆಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ x ನ ಎಲ್ಲ ನೈಜ ಹಾಗೂ ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ exp x ≠ 0 ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ y(x) ಎಂಬುದು y'(x) = y(x) ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿ, y(x) / exp x ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಶಕ್ಯವಾಗಿ

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {y(x)}{\exp x}}\right]&={\frac {\exp x.y'(x)-y(x).\exp '(x)}{(\exp x)^{2}}}\\&={\frac {\exp x.y(x)-y(x).\exp x}{(\exp x)^{2}}}=0\end{aligned}}$

ಆಗಬೇಕಾಗುವುದು. ಎಂತಲೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ y(x)/exp x ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ C ಆಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿ y'(x)  = y(x) ನ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು y(x) = C exp x ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ a ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾದಲ್ಲಿ y(x) = exp (a + x) ಸಹ y'(x) = y(x) ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಗಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಕ್ತ C ಗೆ ಎಲ್ಲ x ಗಳಿಗೂ exp (a + x) = C exp x ಆಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ x = 0 ಆದೇಶಿಸಿ, C = exp a ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

exp (a +x) = exp a exp x ……………….[2]

a ಹಾಗೂ x ಗಳ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಸತ್ಯವಾಗುವ ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣ (ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಈಕ್ವೇಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಿಂದ exp² a  = (exp a)², exp³ a = (exp a)³, ……………, expⁿ a = (exp a)ⁿ ಇತ್ಯಾದಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.

e ಎಂಬ ನಿಯತಾಂಕ

exp 1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು e ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ:

$e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots +\infty$ ………….[3]

ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲೊಂದಾದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆ (ಟ್ರ್ಯಾನ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ನಂಬರ್). ಇದರ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪ e = 2.718281828459….. e ಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸುವ ಮತ್ತಿತರ ಗಮನಾರ್ಹ ಸೂತ್ರಗಳು ಇಂತಿವೆ:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ ………………[4]

$e^{z}=1+\prod _{n=1}^{\infty }z\left({\frac {z}{4n^{2}\pi ^{2}}}+1\right)$

$e=1+\prod _{n=1}^{\infty }z\left({\frac {1}{4n^{2}\pi ^{2}}}+1\right)$ ……….[5]

$e=2+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{6}}+\cdots$

ಅಥವಾ e-1 = [1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,…]

${\sqrt[{q}]{e}}$ = [1, q –1, 1, 1, 3q-1, 1, 1, 5q-1, 1, 1, 7q-1, 1, 1, 1, ….(q>1).........[6]

ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣ [2] ರಲ್ಲಿ a = x = 1 ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ exp 2 = [exp 1]² ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಷನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೂ exp n = eⁿ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. n ಅಪರಿಮೇಯವಾದಾಗಲಾದರೋ eⁿ = exp n ಎಂಬುದನ್ನು eⁿ ಘಾತದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

x ನೈಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ exp x ಕೂಡ ನೈಜವೆಂಬುದು [1] ಶ್ರೇಣಿಯ ರೂಪದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. [exp x] [exp (-x)] = 1 ಆದ ಕಾರಣ x ಯಾವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ exp 0 > 0 ಮತ್ತು ತತ್ಫಲವಾಗಿ exp' x = exp x > 0 ಆಗಬೇಕಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ $-\infty <x<\infty$ ಅಂತರದಲ್ಲಿ exp x ಒಂದು ನಿರಂತರ ಆರೋಹಣಶೀಲ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮಾನಟಾನಿಕ್ ಇನ್‍ಕ್ರೀಸಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಶ್ರುತಪಡುತ್ತದೆ. e > 2 ಆದ್ದರಿಂದ n ಪೂಣಾಂಕ ಚರವಾದಾಗ lim n → exp n = lim → n eⁿ = 8. ತತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ log exp x = x ಆಗುವಂತೆ exp x ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ log ξ ಎಂಬ ಆರೋಹಣಶೀಲ ವ್ಯಸ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $0<\xi <\infty$ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. log ξ ಗೆ ξ ಯ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಲಘುಗಣಕ ಎಂದು ಹೆಸರು; ಇದನ್ನು In ξ ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಸೂಚಿಸುವುದುಂಟು. log ξ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು [2] ರಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು:

log (ξ n) = log ξ + log n …… [7]

ಅಲ್ಲದೆ b ಮತ್ತು x ಗಳು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ, b ಧನವೂ ಆದಾಗ, b^x ಘಾತವನ್ನು exp (x log b) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಫಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ನೆರವಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ:

cosh x = ${\frac {1}{2}}$[exp x + exp (-x)]

sinh x = ${\frac {1}{2}}$[exp x – exp (-x)]

cos x = ${\frac {1}{2}}$[exp (ix) + exp (-ix)]

sin x = ${\frac {1}{2i}}$[exp (ix) – exp (-ix)]

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

exp x = cosh x + sinh x = cos ix – isin ix

exp ix = cos x + isin x

cosh² x – sinh² x = cos² x + sin² x = 1

cos a cos x – sin a sin x = cos (a+x)

sin a cos x + cos a sin x = sin (a+x)

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots +\infty$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +\infty$

x ಮತ್ತು ξ ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೇವಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯಾಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಧನ ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಾಂತಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದೆ ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಆಗಬಹುದಾದರೆ exp x = ξ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳ ಗಣವನ್ನು log ξ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಗಲೆ ಸೂಚಿಸಿರುವಂತೆ exp x = 0 ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ log 0 ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಣ. x ≠ 0 ಆದಾಗಲಾದರೋ log x ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. exp x ಉತ್ಪನ್ನ 2πi ಅವಧಿಯ ಒಂದು ಆವರ್ತೋತ್ಪನ್ನ (ಪೀರಿಯಾಡಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಆಗಿರುವುದೇ ಹೀಗಾಗಲು ಕಾರಣ. [cos x = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಧನ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಿ ಆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪೈಕಿ ಕನಿಷ್ಠವಾದುದಕ್ಕೆ π/2 ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾಮಕರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ exp x ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವರ್ತತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ exp (x + 2πin) = exp x, n = 0, ±1, ±2 …….. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು.] ಕೊನೆಯದಾಗಿ b ಮತ್ತು x ಗಳು ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ (b ≠ 0) b^x ಘಾತವನ್ನು ಸಹ ಒಂದು ಗಣವನ್ನಾಗಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯ: b^x = exp (x log b) = {exp (xL) | L ∈ log b} ಈ ಗಣ x ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಒಂದು ಏಕಧಾತುಗಣವೂ, x ಪರಿಮೇಯವಾದಾಗ ಸಾಂತಗಣವೂ (finite set), x ಅಪರಿಮೇಯವಾದಾಗ ಅನಂತಗಣವೂ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]