ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ

ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ ಎನ್ನುವುದು ಯಾವುದೇ ತಲಕ್ಕೆ (ಸರ್ಫೇಸ್) ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸ್ಟೋಕ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ (ಪ್ಲೇನ್) ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ವಿಶೇಷ ರೂಪ. ಇದನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದು ಜಾರ್ಜ್ ಗ್ರೀನ್. ಆದ್ದರಿಂದ ಆತನ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ.

ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ 1

L ಎಂಬ ಸಂವೃತ ಎಲ್ಲೆಯಿಂದ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಕಾಂಟೂರ್) ಬಂಧಿತವಾದ ಒಂದು ಸಮತಲ ಉಂಟೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. $P(x_{1},x_{2}),Q(x_{1},x_{2})$ ಎಂಬ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ, ${\frac {\partial P}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}$ ಎಂಬ ಅವುಗಳ ಆಂಶಿಕ ಅವಕಲಗಳೂ (ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿರೈವೇಟಿವ್ಸ್) S U L ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿಯೂ ಅವಿಚ್ಚಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ

$\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}\right)ds=\oint _{L}(P\,dx_{1}+Q\,dx_{2})$

ಇಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾನುಕುಲವನ್ನು (ಲೈನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಗಣಿಸುವಾಗ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಂಧಿಸಿರುವ L ಎಲ್ಲೆಯನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿ ಪಡೆಯಬೇಕು.^[೧]^[೨]

ಸಾಧನೆ: S ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ x₁-ಇಲ್ಲವೇ x₂ -ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (axis) ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವಂತೆ ಎಳೆದ ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಂಧಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಷರತ್ತು ಅನಾವಶ್ಯಕ. ಅಂತೂ ಈ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಂತೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ ಬಳಿಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ಅದು ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಈಗ $S\iint {\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dS$ ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ $\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dx_{1}\,dx_{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ

$\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dS=\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dx_{1}\,dx_{2}$

$\int _{a}^{b}dx_{1}\int _{x_{2}=\phi _{1}(x_{1})}^{x_{2}=\phi _{2}(x_{1})}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dx_{2}$ ..............................(1)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ $a,b,\phi _{1}(x)$ ಮತ್ತು $\phi _{2}(x)$ ಗಳೇನೆಂಬುದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ

$\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dS=\int _{a}^{b}\{P[x_{1},\phi _{1},(x_{1})]\}dx_{1}=\int _{a}^{b}P[x_{1},\phi _{2},(x_{1})]dx_{1}-\int _{a}^{b}P[x_{1},\phi _{1},(x_{1})]dx_{1}$ .........................................(2)

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬಲಗಡೆಯ ರೇಖಾನುಕಲಗಳು $A\alpha B$ ಮತ್ತು $A\beta B$ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆದದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (2)ನ್ನು

$\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}dS=-\int \limits _{B\beta A}P(x_{1},x_{2})dx_{1}-\int \limits _{A\beta B}P(x_{1},x_{2})dx_{1}=-\oint \limits _{L}P(x_{1},x_{2})dx_{1}$ .........................................(3)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ Q ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅವಕಲಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ

$\iint _{S}{\frac {\partial P}{\partial x_{1}}}dS=\oint \limits _{L}Qdx_{2}$ ..........................................(4)

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣ (3)ನ್ನು (4)ರಿಂದ ಕಳೆದರೆ ಆಗ

$\iint _{S}\left({\frac {\partial P}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\right)dS=\oint \limits _{L}(Pdx_{1}+Qdx_{2})$ ............................................(5)

ಎಂಬುದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ 2

ಸದಿಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಏಕ ಮತ್ತು ಬಹು ಅನುಕಲಗಳ ನಡುವೆ (ಸಿಂಗಲ್ ಅಂಡ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಸ್) ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳಿರುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕಲಗಳ ನಡುವೆ ಲಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಪರಿಕರ್ಮಿಯನ್ನು (ಆಪರೇಟರ್) ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗುರುತ್ವಕ್ಷೇತ್ರ (ಗ್ರ್ಯಾವಿಟೇಶನ್), ದ್ರವಗತಿ ವಿಜ್ಞಾನ (ಹೈಡ್ರೊಡೈನಮಿಕ್ಸ್), ವೈದ್ಯುತ ಗತಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ದ್ಯುತಿವಿಜ್ಞಾನಗಳ (ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸುವಾಗ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇರಳವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗೌಸನ ಅಪಸರಣ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆಯುವುದು ರೂಢಿ. $\psi =\psi (\gamma )$ ಮತ್ತು $\phi =\phi (\gamma )$ ಎಂಬವು ಸ್ಥಾನಸದಿಶಚರದ ಎರಡು ಅದಿಶ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇವುಗಳಿಂದ $\psi \operatorname {grad} \phi \equiv \psi \nabla \phi$ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಸದಿಶಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಗಾತ್ರ V ಯನ್ನು ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಿರುವ S ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವೆ ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರವಹಿಸುತ್ತಿರುವ F ಎಂಬ ಒಂದು ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸುವ $\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=$ $\oiint$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.$

ಎಂಬ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸೋಣ.^[೩]^[೪]

ಈಗ $A=\psi \nabla \phi$ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಆಗ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

$\iiint _{V}\operatorname {div} (\psi \operatorname {grad} \phi )\,dV=\iint _{S}\psi \operatorname {grad} \phi \cdot {\hat {n}}\,dS$ .....................................(6)

ಸಮೀಕರಣ (6)ರ ಎಡಭಾಗದ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದರೆ

$\iiint _{V}(\psi \nabla ^{2}\phi +\operatorname {grad} \psi \cdot \operatorname {grad} \phi )\,dV=\iint _{S}\psi \operatorname {grad} \phi \cdot {\hat {n}}\,dS$ ......................................(7)

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು S ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಎಳೆದ ಹೊರಲಂಬ (ಔಟ್‍ವರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್). ಈ ನೇರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $\phi$ ಯ ಅವಕಲವನ್ನು ${\frac {\partial \phi }{\partial n}}$ ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಆಗ $\operatorname {grad} \phi \cdot n={\frac {\partial \phi }{\partial n}}$ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (7)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ

$\iiint _{V}(\psi \nabla ^{2}\phi +\operatorname {grad} \psi \cdot \operatorname {grad} \phi )\,dV=\iint _{S}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}\,dS$ ............................................(8)

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಥಮ ರೂಪ (Green's first identity) ಎಂದು ಹೆಸರು.^[೫] ಇದರಲ್ಲಿ

1. $\phi =\psi$ ಆದಾಗ

$\iiint _{V}(\psi \nabla ^{2}\phi +|\nabla \phi |^{2})\,dV=\iint _{S}\phi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}\,dS$ ........................................................(9)

2. ಹೀಗೆಯೇ $\psi$ ಸ್ಥಿರ ಆದಾಗ

$\iiint _{V}\nabla ^{2}\phi \,dV=\iint _{S}{\frac {\partial \phi }{\partial n}}\,dS$ ......................................................(10)

ಸಮೀಕರಣ (10)ನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಲಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಪರಿಕರ್ಮಿಗೆ

$\nabla ^{2}(\cdots )=\lim {\frac {1}{dV}}\iint _{S}{\frac {\partial (\cdots )}{\partial n}}\,dS$ ............................................(11)

ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಹೇರಳವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈಗ $(\psi \operatorname {grad} \phi -\phi \operatorname {grad} \psi )$ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಸದಿಶೋತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಗೌಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ

$\iiint _{V}\operatorname {div} (\psi \operatorname {grad} \phi -\phi \operatorname {grad} \psi )\,dV=\iint _{S}(\psi \operatorname {grad} \phi -\phi \operatorname {grad} \psi )\cdot n\,dS$ ........................................(12)

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣ (12)ರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದರೆ ಆಗ

$\iiint _{V}(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi )\,dV=\iint _{S}(\psi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}-\phi {\frac {\partial \psi }{\partial n}})\,dS$

ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಗ್ರೀನನ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೆಯ ರೂಪ (Green's second identity) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದರೆ ಪ್ರಥಮ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ರೂಪ ಎಂಬ ನಾಮಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಸಮವಾಗಿ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Lipschutz, Seymour; Spiegel, Murray R. (2009). Vector analysis and an introduction to tensor analysis. Schaum's outline series (2nd ed.). New York: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-161545-7. OCLC 244060713.
↑ Wiley, C. Ray Jr. Advanced Engineering Mathematics, 3rd Ed. McGraw-Hill. pp. 372–373.
↑ Kreyszig, Erwin; Kreyszig, Herbert; Norminton, Edward J. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10 ed.). John Wiley and Sons. pp. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5.
↑ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

Green's Theorem on MathWorld
"Green formulas", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Green's Identities at Wolfram MathWorld

[1] Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] Lipschutz, Seymour; Spiegel, Murray R. (2009). Vector analysis and an introduction to tensor analysis. Schaum's outline series (2nd ed.). New York: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-161545-7. OCLC 244060713.

[Wiley-3] Wiley, C. Ray Jr. Advanced Engineering Mathematics, 3rd Ed. McGraw-Hill. pp. 372–373.

[Kreyszig-4] Kreyszig, Erwin; Kreyszig, Herbert; Norminton, Edward J. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10 ed.). John Wiley and Sons. pp. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5.

[strauss-5] Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]