ಗ್ಯಾಲ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೂಲತಃ ಎವರಿಸ್ಟ್ ಗ್ಯಾಲ್ವ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಗ್ಯಾಲ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಫ಼ೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು

ax² + bx + c = 0 ಎಂಬುದು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ. ಇಲ್ಲಿ a,b,c ಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

ಎಂಬುದು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಮೂಲಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ ಬಲು ಸರಳ. ಆದರೆ

ax³ + bx² + cx + d = 0

ಎಂಬ ಘನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಂಭೀರವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯೂ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರ ಉಂಟು. ಅದರೆ ಅದು ಬಲು ಜಟಿಲವಾದದ್ದು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ (1545).

ಚತುರ್ಥಘಾತದ ಸಮೀಕರಣ

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

ಎದುರಾದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಜಟಿಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರೆ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನೀಡಬಲ್ಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ (16ನೆಯ ಶತಮಾನ). ಆದರೆ ಪಂಚಮ ಮತ್ತು ಅಧಿಕ ಘಾತಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +.......... + a_n = 0, n ≥ 5

ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ, ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಶತಮಾನಗಳ ಕಾಲ ಯಾವ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೂ ಬರದೆ ತೊಳಲುತ್ತಿದ್ದರು. ಮೊಟ್ಟಮೊದಲಿಗ ಅಬೆಲ್ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದ. ಇದೇ ವಿಚಾರವನ್ನು ಗ್ಯಾಲ್ವ ಬಹು ಸೊಗಸಾದ ನೂತನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ.

ಗ್ಯಾಲ್ವನ ಪರಿಹಾರ

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು f(x)=0 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ a ಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. f(x) ನ್ನು n ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಘಾತಾಂಕ ಬೀಜವಾಕ್ಯಗಳ ಅಪವರ್ತನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. x₁, x₂, .............., x_n ಎಂಬುವು f(x)=0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇವು ಮಿಶ್ರ ಅಥವಾ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಈ n ಮೂಲಗಳಿಂದ n! ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು (ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್) ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಇವು ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್. ಇದಕ್ಕೆ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. x₁, x₂, .............., xⁿ ಮೂಲಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೀಜವಾಕ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಆ ಬೀಜವಾಕ್ಯ x₁, x₂, .............., x_n

x₁, x₂, .............., x_in

ಎಂಬ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪಾಲಿತವಾದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಗ್ರಾಹ್ಯ (ಅಡ್ಮಿಸ್ಸಿಬಲ್) ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು; ಹಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಗ್ರಾಹ್ಯ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

x⁴ - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು x₁= +2¼ , x₂ = ix₁, x₃ = -x₁, x₄ = -ix₁. ಇಲ್ಲಿ $i={\sqrt {-1}}$.

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\end{pmatrix}}$

ಎಂಬುದು ಗ್ರಾಹ್ಯ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ x₁, x₂+x₃x₄ ಮೂಲಗಳು x₁, x₃+x₂x₄ = 0 ಎಂಬುದನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ನಮ್ಮ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯಿಂದ ಈ ಸಂಬಂಧ x₁, x₃+x₂x₄ = 0 ಆಗುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ ix₁(-x₁) + x₁(-ix₁) = -2ix₁² ≠ 0. ಅಂತೆಯೇ ${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\end{pmatrix}}$ ಎಂಬುದು ಗ್ರಾಹ್ಯ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ. ಈ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಲೇ ಗ್ರಾಹ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರಾಹ್ಯ ಅಥವಾ ಅಗ್ರಾಹ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವ ಕ್ರಮ ಇಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳೆಲ್ಲದರ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದೆಯಷ್ಟೆ. ಗ್ರಾಹ್ಯ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳೆಲ್ಲ ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಗ್ಯಾಲ್ವ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಹೆಸರು.

G=G₁, G₂,G₃......G_r = {1} ಎಂಬವು G ಎಂಬ ಸಾಂತಪದಗಳ ಗ್ರೂಪಿನ ಉಪಗ್ರೂಪುಗಳಾಗಿರಲಿ (ಸಬ್‌ಗ್ರೂಪ್ಸ್). ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು G_i+1 ಎಂಬುದು G_i ಗ್ರೂಪಿನ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರೂಪಾಗಿದ್ದು (ನಾರ್ಮಲ್ ಗ್ರೂಪ್) H ಎಂಬುದು a ಯ ಉಪಗ್ರೂಪಾಗಿದ್ದು G ಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ a ಯು a₀H = H₀ ಎಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಆಗ H ಗೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗ್ರೂಪ್ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಪದಗಳು

${\frac {{\text{terms in}}\,G_{i}}{{\text{terms in}}\,G_{i+1}}}=Pi$ (ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ)

ಆಗಿದ್ದರೆ G ಯನ್ನು ಪರಿಹಾರ್ಯ ಗ್ರೂಪ್ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ (ಸಾಲ್ವೆಬಲ್ ಗ್ರೂಪ್). ಈಗ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರರೂಪದಿಂದ ಬಿಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಅದರ ಗ್ಯಾಲ್ವ ಗ್ರೂಪ್ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ್ಯ ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲೇಬೇಕು. n ≥ 5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಬಿಡಿಸಲಾಗದ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ n ≥ 5 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್ನುತ್ತಾನೆ ಗ್ಯಾಲ್ವ.